54、【完整版】2020考研数学一真题及解析.pdf

世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：20202020 考研数学一真题及解析考研数学一真题及解析（完整版）（完整版）来源：文都教育来源：文都教育一一、选择题选择题：18 小题小题，第小题第小题 4 分分，共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个选项只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0 x时，下列无穷小阶数最高的是A.20e1 dxttB.30ln 1+dxttC.sin20sin dxttD.1 cos30sindxt t1.答案：D解析：A.2320013xxtxedtt dtB.35322002ln 15xxtdtt dtxC.sin223001sin3xxt dtt dtxD.2311 cos32200sinxxtdtt dt25122025xt5252152x2.设函数()f x在区间（-1，1）内有定义，且0lim()0,xf x则（）A.当0()lim0,()0|xf xf xxx在处可导.B.当20()lim0,()0 xf xf xxx在处可导.C.当0()()0lim0.|xf xf xxx在处可导时,D.当20()()0lim0.xf xf xxx在处可导时,2.答案：B世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：解析:20000()()()()lim0lim0lim0,lim0|xxxxf xf xf xf xxxxx 00()lim0,lim()0 xxf xf xx00()(0)()limlim0(0)0 xxf xff xfxx()f x在0 x 处可导选 B3.设函数(,)f x y在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,1fffxyn且非零向量 d 与n 垂直，则（）A.22(,)(0,0)|(,(,)|lim0 x yx y f x yxy存在nB.22(,)(0,0)|(,(,)|lim0 x yx y f x yxy存在nC.22(,)(0,0)|(,(,)|lim0 x yx y f x yxy存在dD.22(,)(0,0)|(,(,)|lim0 x yx y f x yxyd3.答案：A解析：(,)(0,0)f x y在处可微.(0,0)0f=2200(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim0 xyxyf x yffxfyxy 即2200(,)(0,0)(0,0)lim0 xyxyf x yfxfyxy,(,)(0,0)(0,0)(,)xynx y f x yfxfyf x y22(,)(0,0),(,)lim0 x ynx y f x yxy存在选 A.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：4.设 R 为幂级数1nnna r的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nnna r发散时，|rRB.1nnna r发散时，|rRC.|rR时，1nnna r发散D.|rR时，1nnna r发散4.答案：A解析：R 为幂级数1nnna x的收敛半径.1nnna x在(,)R R内必收敛.1nnna r发散时，|rR.选 A.5.若矩阵 A 经初等列变换化成 B，则（）A.存在矩阵 P，使得 PA=BB.存在矩阵 P，使得 BP=AC.存在矩阵 P，使得 PB=AD.方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解5.答案：B解析：A 经初等列变换化成 B.存在可逆矩阵1P使得1APB1111ABPPP令.ABPB选世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：6.已知直线22211112:xaybcLabc与直线33322222:xaybcLabc相交于一点，法向量,1,2,3.iiiiaabic则A.1a可由23,a a线性表示B.2a可由13,a a线性表示C.3a可由12,a a线性表示D.123,a a a线性无关6.答案：C解析：令1L的方程222111=xaybzctabc即有21212121=aaxybt btzcc由2L的方程得32323223=aaxybt btzcc由直线1L与2L相交得存在 t 使2132tt即312(1)tt，3可由12,线性表示，故应选 C.7.设 A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()04P AP BP CP AB1()()12P ACP BC，则 A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：D.5127.答案：D解析：()()()()P ABCP ABUCP AP A BUC()()()()()()111004126P AP ABACP AP ABP ACP ABC()()()()()()()()111004126P BACP BAUCP BP B AUCP BP BAP BCP ABC()()()()()()()()111104121212P CBAP CBUAP CP CU BUAP CP CBP CAP ABC()()()()1115661212P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC选择 D8.设12,nXXX为来自总体 X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P XP Xx表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155iiPX的近似值为A.1(1)B.(1)C.1(2)D.(2)8.答案：B解析：由题意11,24EXDX世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1001001110050.10025iiiiEXXEXDXDX由中心极限定理1001(50,25)iiXN1001001155555055(1)55iiiiXPXP 故选择 B二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分。请将解答写在答题纸指定位置上分。请将解答写在答题纸指定位置上.9.011lim1ln(1)xxex9.解析：011lime1ln(1)xxx0ln(1)e1lim(e1)ln(1)xxxxx20ln(1)e1limxxxx01e1lim2xxxx1 10.设221ln(1)xtytt，则212|td ydx10.解析：2221d1d11dddd1tyyttttxtxtt1t世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2222ddd1ddddddddd1yytytttxtxxtt231tt 得2212tdydx 11.若 函 数()f x满 足()()()0(0),(0),(0)fxafxf xafm fn且，则0()df xx11.解析：特 征 方 程 为210a 特 征 根 为12,，则1212,1a ，特 征 根120,000()d()()df xxfxafxx 0()()|fxaf x nam12.设函数20(,)edxyxtf x yt，则2(1,1)fx y 12.解析：232()eex xyx yfxxy332232=e3ex yx yfyfx yx yx 2(1,1)=e+3e4e.fx y 13.行列式011011110110aaaa世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：13.解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.00aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 14.设 X 服从区间,2 2 上的均匀分布，sinYX，则(,)Cov X Y 14.解析：解1()220 xf x其他cov(,)X YEXYEXEY(sin)(sin)E XXEXEX222222111sinsinxxdxxdxxdx2012sin0 xxdx202()cosx dx22002coscosxxxdx20220sin x三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明解答写出文字说明、证证世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：明过程或演算步骤明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）求函数33(,)8f x yxyxy的最大值15.解析：求一阶导可得22324fxyxfyxy令100601012fxxxfyyy可得求二阶导可得2222226148fffxyxx yy 当0,00.1.0 xyABC 时.20ACB故不是极值.当11612xy时1.1.4.ABC 2110.10,6 12ACBA 故是极小值点极小值33111111,866 1261212216f 16.（本题满分 10 分）计算曲线积分222444LxyxyIdxdyxyxy，其中L是222xy，方向为逆时针方向16.解析：设22224,44xyxyPQxyxy世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：则2222248(4)QPxyxyxyxy取路径222:4,Lxy方向为顺时针方向.222222222222222224444444441(4)()1111(1)22.2LL LLLDDDxyxydxdyxyxyxyxyxyxydxdydxdyxyxyxyxyQPdxdyxy dxxy dyxydxdyS 则17.（本题满分 10 分）设数列na满足111,(1)12nnanana，证明：当|1x 时幂级数1nnna x收敛，并求其和函数.17.证明：由111(1),12nnnana a知0na 则11211nnnaan，即1nnaa故na单调递减且01na，故nnna xx当|1x 时，1nnx绝对收敛，故1nnna x收敛.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1111011111111()(1)(1)11211211()211()()2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnS xa xna xnaxanaxna xna xa xxna xS xxS xS x 则1(1)()()12x S xS x即11()()2(1)1S xS xxx解得1()2 11S xxcx又(0)0S故2c 因此2()2.1S xx18.（本题满分 10 分）设为 曲 面22224Zxyxy的 下 侧，()f x是 连 续 函 数，计 算()2()2()Ixf xyxyy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy18.解析：22zxy则2222,xyxyzzxyxy方向余弦为2222111cos,cos,cos222xyxyxy 于是世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1222222222222222222222201011()2()2()d222d d24d d2sin474 24 32xyDDxyIxf xyxyyyf xyyxzf xyzSxyxyx yxyyxyxyxyxyyxyxyxyrdrdrdr drr70.319.设函数()f x在区间0,2上具有连续导数，(0,2)(0)(2)0,max|()|,xffMf x证明（1）存在(0,2)，使得|()|fM（2）若对任意的(0,2),|()|xfxM，则0M.19.证明：（1）由max|()|0,2Mf xx，知存在0,2c，使|()|f cM，若0,1c，由拉格朗日中值定理得至少存在一点(0,)c，使()(0)()()f cff cfcc从而|()|()|f cMfMcc若(1,2c，同理存在(,2)c使(2)()()()22ff cf cfcc从而|()|()|22f cMfMcc世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：综上，存在(0,2)，使|()|fM.（2）若0M，则0,2.c 由(0)(2)0ff及罗尔定理知，存在(0,2)，使()0,f当(0,c时，00()(0)()d|()|()(0)|()|d,ccf cffxxMf cf cffxxMc又2(2)()()dcff cfxx2|()|(2)()|()|(2)cMf cff cfxdxMc于是2(2)2MMcMcM矛盾.故0.M 20.设 二 次 型22121122(,)44f x xxx xx经 正 交 变 换1122xyQxy化 为 二 次 型22121122(,)4g y yayy yby，其中ab.（1）求,a b的值.（2）求正交矩阵Q.20.解析：（1）设1-22=,=-242aABb由题意可知T1.Q AQQ AQBA 合同、相似于 B144ababab4.1ab（2）212|524EA世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：A 的特征值为 0，5当0时，解(0)0EA x.得基础解为121 当5时，解(5)0EA x得基础解为212又 B 的特征值也为 0，5当0时，解(0)0EB x得1212当5时，解(5)0EB x得2121 对12,单位化1212122155,12|55令112221,QQ 则TT11220005Q AQQ BQ故TT2112Q Q AQQB可令T12211255551221555543553455QQQ 21.设A为 2 阶矩阵，(,)PA，其中是非零向量且不是A的特征向量.（1）证明P为可逆矩阵世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：（2）若260AA，求1P AP，并判断A是否相似于对角矩阵.21.解析：(1)0.A且故.A与线性无关则(,)2rA则 P 可逆.2106(,)(,)()1106.11APAAAA xAP AP 故(2)由260AA设2(6)0,(3)(2)0AAEAEAE由20(6)0AAE x得有非零解故|(3)(2)|0AEAE得|3|0|2|0AEAE或若|(3)|0(2)0,2,AEAEA则有故与题意矛盾|3|0,|2|0.AEAE故同理可得于是 A 的特征值为1232.A 有 2 个不同特征值，故A可相似对角化22.设随机变量 X1，X2，X3相互独立，其中 X1与 X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为333132101,(1)2P XP XYX XXX.（1）求二维随机变量（X1，Y）的分布函数，结果用标准正态分布函数()x表示.（2）证明随机变量 Y 服从标准正态分布.22.解析：1131223131223123113(1)(,),(),0,(),1,0,1F x yP Xx YyP Xx XXXXy XP Xx XXXXy XP Xx Xy XP Xx Xy X世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：若113111,1()22xyP Xx Xy XP Xxx则若113111,1()22xyP Xx Xy XP Xyy则故11()()(),22(,)11()()(),22xyx xyF x yxyy xy(2)312231223312232313()()11()|0()|12211|0|12211()()22().YFyP YyP XXXXyP XXXXy XP XXXXy XP Xy XP Xy Xyyy 23.设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为1 e,0,()0,.mttF t其他其中m,为参数且大于零.（1）求概率P Tt与|P Tst Ts，其中0,0st.（2）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,nt tt，若 m 已知，求的最大似然估计值.23.解析：（1）1()mtP TtF te|mtP Tst TsP Tte(2)1.,0()()0tmm mmtetf tF t其他世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：似然函数1()niiLf t，11100nmmiitmnmnnimttet其他当120,0,0nttt时111()nmmiitmnmnnLmtte取对数11ln()lnln(1)lnnnmmiiiiLnmmnmtt求导数(1)1ln()nmmiidmnmtd 令ln()0dd解得11nmmiitn所以的最大似然估计值11nmmiitn