专题17 微分方程的解题方法（紧密）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 17 微分方程的解题方法（紧密）本讲义内容丰富，涵盖了考研数学中，微分方程几乎所有的考法吃透，高分！吃透，高分！一、非特定类型的微分方程求解一、非特定类型的微分方程求解.2（一）利用换元法.2（二）颠倒自变量与因变量的关系.2（三）消元法.2（四）合理分配，实现降阶.3（五）自由项为分段函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.3 二、已知通解，反求微分方程二、已知通解，反求微分方程.3（一）普通方程.3（二）线性常系数微分方程.3 三、微分方程解的周期性三、微分方程解的周期性.4 四、微分方程的跨章节综合题四、微分方程的跨章节综合题.4（一）微分方程与变限积分相结合.4（二）微分方程与与导数/积分的几何应用结合.4（三）微分方程与导数定义结合.5（四）微分方程与多元函数微分学结合.5（五）微分方程与二重积分结合.5（六）微分方程与反常积分结合.5 配套作业配套作业.6 特别提醒：各种最基本的微分方程的固定解法，本讲义不再涉及，它属于期末考试或考研基础阶段就应当熟知的内容.比如 一阶线性非齐次方程长什么样（），通解公式是什么？可降阶的微分方程长有哪几种（三种：、），分别怎么求解？二阶常系数齐次线性微分方程长什么样（），通解公式有哪几种情况？解的叠加原理是什么？我将这部分基础内容的往年讲义和视频发给大家，大家学完了以后方可学习现在这份讲义了.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、一、非特定类型的微分方程求解非特定类型的微分方程求解 有些题，我们可能无法一眼看出题目所给方程属于什么类型，但只要对题目稍作观察，采用变形、换元、颠倒自变量与因变量的关系等手段，就可以将题目所给的方程转化为熟悉的方程.（一）利用换元法（一）利用换元法 例题例题 1 求的通解.注注：形如的题目，都可令，转化为关于 的可分离变量的微分方程.类题(2024 年)微分方程满足的解为 .例题例题 2(姜晓千，压轴 150)求的通解 注注：要学会用整体的思想.比如此题是将看成一个整体，再比如可以看成是，而可以看成是再乘以，总之，必须敏锐地察觉出题目中的一些隐藏信息.类题 1(李艳芳，900 题)函数满足，其中，求.类题 2 求的通解.例题例题 3(李林，880 题)利用变换，求的通解.注注：出题人知道你不知道怎么做，所以直接把换元方式都告诉你了！类题(2024 年)设是微分方程满足条件的解.(1)利用变换将上述方程化为常系数线性方程，并求；(2)计算.（二）颠倒自变量与因变量的关系（二）颠倒自变量与因变量的关系 例题例题 4 求的通解.例题例题 5(李林，880 题)求的通解（其中）.（三）（三）消元法消元法 例题例题 6(汤家凤，辅导讲义)设是以为周期的二阶可导函数，且，求 注注：这一类题的解题套路求导、替换、抵消！例题例题 7(余丙森，1000 题)设二阶可导且，求 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（四）合理分配，实现降阶（四）合理分配，实现降阶 对于，若自由项并非我们讲过的两种特定类型时，可以利用“合理分配”的思想，将微分方程进行降阶，转化为一个新的“一阶线性非齐次微分方程”进行求解.例题例题 8 求的通解 （五）自由项为分段函数的二阶常系数非齐次线性微分方程（五）自由项为分段函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 这种题目，与分段函数的不定积分解法类似，一共两步(1)先分段，分别计算分别计算出不同区间上的原函数/微分方程的解；(2)利用连续性和可导性连续性和可导性，求出不同任意常数之间的约束关系.例题例题9(余丙森，1000题)求满足的解，其中 二二、已知通解，反求微分方程已知通解，反求微分方程（一）普通方程（一）普通方程 基本思路基本思路：通过求导消去任意常数，得到微分方程.例题例题 10 求曲线族满足的微分方程 例题例题 11 已知某个微分方程的通解为，则该微分方程为 例题例题 12 已知某微分方程的通解为，则该微分方程为 （二）线性常系数微分方程（二）线性常系数微分方程 基本思路基本思路：牢记通解公式，并将题干给出的解与公式做对比，分析出特征根，还原出特征方程，最终得到微分方程（有的题目还必须利用线性方程解的结构与性质）例题例题 13(2013 年)已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 类题 设为某首项系数为 1 的二阶常系数齐次线性微分方程的通解，求该方程.例题例题 14(2006 年)函数满足的一个微分方程是()例题例题 15(2015 年)设是的解，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 16 有特解的首项系数为 1 的三阶常系数齐次线性微分方程为 .例题例题 17 设方程有一个特解是，求的值及该方程的通解.三、微分方程解的周期性三、微分方程解的周期性 例题例题 18(2018 年，改编)设，其中是以为周期的周期函数.证明：该微分方程存在唯一以为周期的解.四四、微分方程的跨章节综合题、微分方程的跨章节综合题 微分方程就是个“万金油”，很容易与其它章节相结合.大家要明确一个观点：不论题干如何描述、背景如何变化，只要最后是让你“求的表达式”，那么这个题的落脚点基本就是微分方程没跑了.此时，如何根据题干信息，构建出一个微分方程，是该问题的核心.（一）（一）微分方程微分方程与变限积分相结合与变限积分相结合 例题例题 19(武忠祥，辅导讲义)设可导，求.注注：利用变限积分函数为背景，命制微分方程的题目，是考研的常见考法，此时只需要对方程两边求导，将积分方程变为微分方程即可.（这种微分方程，一般自带初值条件，所以求出来的是特解！）例题例题 20 设连续，且，求.例题例题 21(竞赛)时，有，.证明：时，.（二）（二）微分方程与微分方程与与导数与导数/积分的几何应用结合积分的几何应用结合 例题例题 22(2009 年)设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点；当时，函数满足.求函数的表达式.例题例题 23(2009 年)设曲线，可导且.已知曲线与直线及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转的立体体积值是曲边梯形面积的倍，求该曲线方程.例题例题 24(2023 年)设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处 的切线在轴的截距.(1)求的表达式；(2)在上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（三）（三）微分方程微分方程与导数定义结合与导数定义结合 例题例题 25 注注：利用导数定义以及题干等式，得出满足的微分方程.类题 例题例题 26(武忠祥，辅导讲义)设满足，求的表达式.类题 设对所有满足的实数均有，且，求的表达式.（四）（四）微分方程微分方程与多元函数微分学结合与多元函数微分学结合 例题例题 27(2006 年)设函数在二阶可导，且满足等式.(1)验证；(2)若，求函数的表达式.例题例题 28(2014 年)设二阶连续可导，且满足，若，求的表达式 （五）（五）微分方程微分方程与二重积分结合与二重积分结合 例题例题 29(李艳芳，900 题)在上连续，求.例题例题 30(姜晓千，压轴 150 改编)设在二阶连续可导，.满足，求，其中 （六）（六）微分方程微分方程与反常积分结合与反常积分结合 例题例题 31(2016 年)设函数满足方程，其中.(1)证明：反常积分收敛；(2)若，求的值.例题例题 32(2020 年)设，则=.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 配套作业配套作业 作业作业 1 求解微分方程.作业作业 2(李林，880 题)求微分方程的通解.作业作业 3(2003 年)设二阶可导，是的反函数，假设，求满足初始条件的函数.作业作业 4 求微分方程的通解.作业作业 5 求的通解.作业作业 6 求方程满足条件的特解.作业作业 7(1989 年)设连续，且，求 作业作业 8 求一个微分方程，使得它的通解为.作业作业 9(余丙森，1000 题)设，当时有连续的二阶导数，且，设，且，求.作业作业 10 作业作业 11(2011 年)设具有二阶导数，且曲线：与直线相切于原点.记 为曲线 在点处切线的倾角，若，求的表达式.作业作业 12(余丙森，1000 题)为大于零的可微函数，且，求.