专题5 作业答案（中值定理）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 5 中值定理的解题方法（作业答案）作业作业 1(教材)请分别叙述带佩亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒中值定理，并进行证明.解：解：和正文部分的例题 67 相同，此处略.作业作业 2(武忠祥，十七堂课)在二阶可导，.证明：.解解：令，显然.又，由罗尔定理，存在，使得，故.又由罗尔定理，存在，使得，整理得，证毕.作业作业 3(汤家凤，1800 题)设在上连续，在内可导，且同号.证明：，使得.解解：由于同号，不妨假设.作业作业 4(李艳芳，900 题)设，在连续，可导，且.证明：，使得.解解：要证，即证 由柯西中值定理可得，只需证明.由立方差和平方差公式可知，上式显然成立，故证毕.作业作业 5(徐兵，证明题 500 例)在可导，.证明：.解解：要证，只需证明存在，使得 即证即可.显然，若存在，则上式自然成立.而又，且，则由介值定理可知，这样的 显然存在.故证毕.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 6(李正元，复习全书)已知在三阶连续可导.证明：，.解解：将和在处展开.，其中，.并将上面两个展开式相减，得.由导数介值定理知，使得，故，证毕.作业作业 7(张宇，1000 题)在可导，且.证明：存在，使得.解解：令.在中令，得，故；在中令，得，故.故.由广义罗尔定理，存在使得，即，证毕.