高数第六章常微分方程59-69节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.21xyxxy2ddCxy2通解:12xy特解:例1.验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,,0Axt00ddttx的特解.解:22ddtxtkkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCtkkCcos2102xk利用初始条件易得:,1AC故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyOx解:如图所示,yYy1)(xX令Y=0,得Q点的横坐标yyxX,xyyx即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,转化解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得yygd)(xxfd)(①CxFyG)()(则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)≠0时,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由②确定例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy1eCC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程.令,x...