高数12、13-微分方程【笔记版】【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 常微分方程 第九章 一阶微分方程与 可降阶的微分方程 第 1 节 第二部分、题型解析 题型一：一阶微分方程的求解()解题思路几种一阶微分方程都不难求解，属于基础题，将微分方程化简，判断微分方程的类型，然后用相应的方法计算即可.1.可分离变量的微分方程 形如()()dyf x g ydx=称为可分离变量的微分方程.求解步骤：第一步：分离x和y，写成()()dyf x dxg y=的形式.第二步：两端积分()()g y dyfx dx=.第三步：求出通解()()G yF xC=+=+，可以是显式通解也可以是隐式通解.2.齐次方程 形如dyyfdxx=称为齐次方程.求解步骤：第一步：令yux=,即yux=,则.dyduuxdxdx=+=+第二步：将yux=及dyduuxdxdx=+=+代入原方程，化成可分离变量方程.()dudxf uux=第三步：两端积分()dudxf uux=，得()uu x=.第四步：再用yx代替u，得通解().yxu x=3.一阶线性微分方程 形如()()dyP x yQ xdx+=+=叫做一阶线性微分方程.可利用通解公式来求解()()()P x dxP x dxyeQ x edxC=+=+.OTiax=IUM,UNITERC 4.伯努利方程(仅数一)形如()()(0,1)ndyP x yQ x yndx+=+=，其求解步骤如下：第一步：方程的两边同除ny 得1()()nndyyP x yQ xdx+=+=.第二步：凑微分得111()()1nndyP x yQ xndx +=+=第三步：换元令1 nzy=得一阶线性方程(1)()(1)()dzn P x zn Q xdx+=+=第四步：求(1)()(1)()dzn P x zn Q xdx+=+=的通解()zz x=.第五步：将1 nzy=回代得到原方程的通解为1()nyz x=.【例【例9.1.1】已知函数()yy x=在任意点x处增量21yyxx =+=+，且当0 x 时，是比x 的高阶无穷小.()0y=，则()1y等于().(A)2 (B)(C)4e (D)4e D:07=0 x+2,15BOX,ERBE=(i+a)=#=(a)InM=arcmx-cultmX+C=y=Ieearcmx=Ceariaxxy10)=z=C=7x=Y=X.earstixY11)=7.earctual=.e 【例【例9.1.2】求初值问题()2210(0)0 xyxydxxdyxy=+=+=的解.deY+x=y2E(9+)ax=xdY=ax-=+HX&u=z,an ax=u+xamax,itxalla=ax=M+Xax=&+1+42=Inur(x=InU+I tur=(n(X)+In)=In(I)=U+Hu=C.X=GX U+1+u=GX=z+H=GX=y+x+y=CX24(x=0iG=y+x+y=x=x=y=x-y,84=x+Y=xx-2y+/=1=x2y=y=x【例【例9.1.3】求解微分方程323(23)dyxxydxx=，10 xy=al=ax+2-3x=y=e(-(ax,()e(-(ax1ax+c=e*+31aX.,/e-5-blux.1ax+c=ex.(e.ax+c=e*.Y.(+)e.a(-*)+4=ex(t-e*+c=E+ce【例【例9.1.3】求解微分方程323(23)dyxxydxx=，10 xy=y=+ce2y(x=O.C=-2:Y=-e*【例【例9.1.4】求方程32(21)0y dxxydy+=+=的通解.=y.dx=(1-2xy)dy=an ax=431-2xyzdXIE-1-2xy=&x+x=aly3=X=e),JeSdMy+c)=e-cy.(Se214tdy+c)=i(yay+4=-p.(n(y)+2)【例【例9.1.5】微分方程24dyyxydxx=的通解是 .q124vy=x-E=xG=2d-E=d-=m=e(ax.c)fedX.xax+c)2=eanX.)Se-nXax+2-=x=(=ax+c)2=x(E+x)=+()y=(+x)题型二：可降阶类型的微分方程求解(仅数一、数二)()解题思路可降阶的微分方程考的较少，属于较基础的题目，掌握相应求解的方法即可.1.()()nyf x=型 积分n次即得()y x.2.(),yfx y=型(缺y型)，求解步骤如下：第一步：设yp =则yp=，于是方程降阶成一阶方程(),pfx p =第二步：求(),pfx p =的通解为()1,pp x C=.第三步：将yp =代入()1,pp x C=得1(,)dyp x Cdx=第四步：求1(,)dyp x Cdx=的解，从而得原方程的通解为12(,)yp x C dxC=+=+3.(),yfy y=型(缺x型)的微分方程，求解步骤如下：第一步：设yp =于是dpdp dydpyppdxdy dxdy=，于是原方程化为(,)dppf y pdy=.第二步：求出方程(,)dppf y pdy=的通解为1(,)ypp y C =.第三步：分离变量1(,)dydxy C=，求解该可分离变量的一阶微分方程.第四步：解得原方程的通解为21(,)dyxCy C=+=+【例【例9.1.6】微分方程30 xyy+=+=的通解为 ERY,/2 Y=P,y=P=x.p+3p=0=p+2p=0=p=efmx,)(e(*x0ax+4)=e-31nx.c=2C=y=X3C,=y=/Gax=-2x+C 【例【例9.1.7】微分方程20yyy+=+=满足初始条件0|1xy=，01|2xy=的特解是 EXEy:P=4,y=p.&,=y.p.&P+p=0=y.p+p=0=Balay+y.p=0C=p=eStm.(e(tmy0ny+4=e-my.cIY=y=f(xY(x=0=1,y(x=0=E=C=t=y=zy=anax=ty =an ax=ty=(yay=)dC2=q=+Z=y=x+2x4(x=0=1=Cr=1=y=x+1+y=x+1 高阶线性微分方程的求解 第 2 节 题型一：线性微分方程解的性质与结构()解题思路根据线性微分方程的性质来进行求解.二阶线性微分方程：()()0yP x yQ x y+=+=，()()()yP x yQ x yf x+=+=.定理 1 如果1y与2y是齐次方程()()0yP x yQ x y+=+=的两个解，那么1122yC yC y=+=+也是该方程的解 其中1C,2C是任意常数 如果21yky=,称1y和2y线性相关;如果21yky,则称1y,2y线性无关 *E+ArE(FEJIHE)定理 2 如果1y与2y是()()0yP x yQ x y+=+=两个线性无关的解 那么1122yC yC y=+=+即为该方程的通解 定理 3 设*y是()()()yP x yQ x yf x+=+=的一个特解 且Y是()()0yP x yQ x y+=+=的通解 那么*yYy=+=+是()()()yP x yQ x yf x+=+=的通解 w-Y=C:Y,+1242FER=F+E.FERT=E 定理 4 如果12,lyyy都是()()()yP x yQ x yf x+=+=的解，那么1122llk yk yk y+是()()0yP x yQ x y+=+=解的充分必要条件是120lkkk+=+=；是()()()yP x yQ x yf x+=+=解的充要条件是121lkkk+=+=.定理 5 如果*1y与*2y分别是1()()()yP x yQ x yfx+=+=与2()()()yP x yQ x yfx+=+=的两个解 那么*12yy+是方程12()()()()yP x yQ x yfxfx+=+=+的特解 4.424E-FERT,42-41,43-4,54+542+2437【例【例9.2.1】已知12,yy是微分方程()0yP x y+=+=两个不同的特解，则该方程的通解是().(A)112()yC yy+(B)12yCy+(C)1122C yC y+(D)12()C yy DXXX(A)+Y=-4,%:+Yz=0(13)42JF0【例【例9.2.2】设线性无关的函数1y,2y,3y都是()()()yp x yq x yf x+=+=的解，1C2C为任意常数，则该非齐次方程的通解是().(A)112233C yC yC y+(B)1122123()C yC yCCy+(C)11122233(13)22CCyC yCy+(D)()()1211223+CCyCCyy+XX(A)(+(2+(s+/(B)(+(-(+(2)=0=27()+3(+(1-E-3()=1(b)(,+(2-(C+(2)+1=1【例【例9.2.2】设线性无关的函数1y,2y,3y都是()()()yp x yq x yf x+=+=的解，1C2C为任意常数，则该非齐次方程的通解是().(A)112233C yC yC y+(B)1122123()C yC yCCy+(C)11122233(13)22CCyC yCy+(D)()()1211223+CCyCCyy+C(c)(4,-43)+3(4z-43)+UsH#&E(D)-=C,(4,-42)+(y,-42)+4SEEw=(x+(2)(4.-(2)+4=(4,-42)+43 【例【例9.2.3】已知二阶线性微分方程()()()yP x yQ x yf x+=+=的三个特解1,yx=22,yx=33 xye=，试求此方程满足(0)0,(0)3yy=的特解 -:4.4243FER:12-41=x-x14-y,=e-x,E:C.(x-x)+Cr(e*-x)FEFC#y=C(x-x)+(e*x-x)+Xxy1%)=04%=3(1=2(z=0.Y=-z(XX)+x=3x-2x 题型二：二阶常系数线性微分方程求解()一、二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy+=+=的通解求法 第一步：写出特征方程20rprq+=+=.第二步：复数域内求出特征方程的根12,r r.第三步：根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 情形 1 如果12rr 则通解为1212r xr xyC eC e=+=+情形 2 如果12rrr=则通解为()12rxyCC x e=+=+情形 3 如果1,2ri=时 则通解为()12cossinxyeCxCx=+=+三、n阶常系数齐次线性()(1)(2)12100nnnnnypypyp yp y+=+=求通解 第一步：写出特征方程1212100nnnnnrprprp rp+=+=.第二步：复数域内求出特征方程的n个根12,nr rr 第三步：求出n个线性无关解12,nyyy后，则方程通解为 1122nnC yC yC y+四、二阶常系数非齐次线性微分方程()ypyqyf x+=+=的求通解 第一步：求对应的齐次方程0ypyqy+=+=的通解()Y x.第二步：求一个()ypyqyf x+=+=的特解*()yx：1.用待定系数法将设*()yx为一个与()f x同类的函数.2.观察*()yx是否与()Y x可合并，若不可合并，则*()yx即为一个特解；若可合并，应在*()yx上多乘一个x；若仍冲突，应在*()yx上多乘一个2.x 3.将*()yx代入原方程，解出待定系数，即得原方程一个特解.第三步：()ypyqyf x+=+=通解即为*()()yY xyx=+=+.x=Ce+(e2y*=a.ex-x y+Py+&Y=f(x)=e*Y(PmIN).coswX+Qu(N).Smrx)*f(x)YEx.3xeY(ax+b)Y1033Xey(acos3X+b sm3x)210s3X+X.Sm3XCaxth)10s3X+(Cx+d/Sm3X 解题思路如果方程是常系数齐次线性微分方程，则根据特征方程求出特征根，再根据特征根得到线性无关解，进而得到齐次通解；如果方程是常系数非齐次线性微分方程，应该先解出齐次通解，再用待定系数法求出一个非齐次的特解即得通解.【例【例9.2.4】已知函数()yy x=满足 3 22xyyye+=+=且0()lim1xy xx=，则()y x=_.:UnUNX=044)=40):UnMY-Y=Yo%X-0-FILE:r-3r+2=0=(r-1)(r-2)=0=v=1V=2.G=Ge*+Geiy*=a.eY-X,(4*=a.ex-x+a.e=a(x+1)-ex(4*|=a.e+a(x+)e=a(x+2).eY a(x+21e-3.a(x+)-+2ax-b=2.e=-a=2ia=2=y=-2xet=y=ce+Ge-zxet-Y(0)=0,%10)=.(=-3(2=3iY=3.e+3.e-2xeY【例【例9.2.5】二阶常系数非齐次微分方程2442xyyye+=+=的通解为y=_.EEG=V-4r+4=0=(5-2)=0=v=V=2:Y=Ge+xe*iy*=a.ex:(xY-4414y=2.e*=a=1:y*=Xe2Y:y=ce*+(xe*+XieY 【例【例9.2.6】求微分方程2sinya yx+=+=的通解,其中常数0a .#:FEEDIEVa=0=r-a=r=alV=al:=C,cosax+C2Shaxcasel.At1AJiRY*=AcosX+BShX,AXy+any=smX=A=0B=a.Y*=n SmX=ABY=C,cosax+casmax+anSix case2.a=1At,Ey:AcosX+BSMX)-Xitxy+y=smx+*=A=-zB=0=y*=-E.10sX=Y=C.co3X+(SmX-EcosX【例【例9.2.7】微分方程2248cosxyyyex+=+=的特解可设为().(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx+(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx+(C)22(cos2sin2)xxAexeBxCx+(D)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx+CYr24r+8=0V=416-32-4142=2t2222*Get cos2X+2esm2x2Xet105X=eX.1+1032X-de+tecX2y-4y+34=z-exY*=A.eYy-44+84=zecos2XY=eY(B.coS2X+(SM2X)X:y*=y+y=A.e+X.eY.(BlosiX+r(r-z)+(02)=0=(v-2)(r+1)=0=k=2rz=iVz=-zY=(,e+(osX+GSmX 题型三：已知解，反求微分方程()解题思路：如果题目已知微分方程的某些解，反求微分方程，则 思路 1如果原方程是常系数线性微分方程，则由已知的解先构造出齐次的线性无关解，然后根据齐次解还原特征根及齐次微分方程，再代入一个非齐次解即得原方程.思路 2如果方程是n阶的非常系数线性微分方程，且已知通解y，则应通过定义反推微分方程.第一步 求出(),ny yy.第二步 消掉(),ny yy中的12,nC CC得到()(,)0nF x y yy=即为原微分方程.y=C,4,+(24*y,y【例【例9.2.9】已知11cos2cos24yxxx=,21sin2cos24yxxx=是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则该方程是().(A)4sin2yyx=(B)4sin2yyx+=+=(C)14sin24yyx=(D)14sin24yyx+=+=B-:Y+44=0:73*Y+44=f(x)Y.542PETABY,EF*:41-4z=102X-Sm2X-Frilos2XGB:FEETEV=1221-Y.-10S2X=-X.COS2Y:EESE:(r+zi)(0-2)=0fix=Sm2X=y+44=Smax=Y=C,cos2X+C2Sm2X-EX.cos2X【例【例9.2.10】已知某微分方程的通解是212yC xC x=+=+，求微分方程.:2TT3EEF=BIT,Y=C+2(X=C=y-x.yy=2(=G=IEx#*=y=(4)-xy.X+x=X.y-Exy=xy-xy+y=0 题型四：通过变量代换，将复杂微分方程化为易求型微分方程()解题思路大纲内只要求会解几种简单的微分方程，但也有题目会出现超纲的微分方程，此时往往题目会提示通过某种变量代换的方法，将原方程中某些变量换掉之后，转化成可求的微分方程来求解.【例【例9.2.11】作变量替换ln,(0)xt t=后，方程2220 xd ydyeydxdx+=+=可化简为_.a+y=0E=DE XFEEXt,aRYdFRAYd#B:MayT=dy/dt=t dtt&)=altt1/tx735=+Ey=0=an+y=0 a+y=0r+1=0=V=-2Y=Gcost+CuSmtInt,t=ex=Close+12Smet【例【例9.2.12】利用代换cosuyx=将方程cos2sin3 cosxyxyxyxe+=+=化简,并求出原方程的通解.1=X=U.sex,1,44*U.WrY=UseX+u.sextmXY=useX+24.seX-emX+U.Seltrix+u.seix44,7,itx 733*,=(u.sex+zu!secXtaX+U.SecX+mix+u.secx)losX-2(u:secX+U.Se+ax)SmX+3useX.losX=ex =(u.sex+zu!secXtaX+U.SecX+mix+u.secx)losX-2(u:secX+U.Se+ax)SmX+3useX.losX=ex-=U+2+mX+U.trix+U.Seix-zUemX-Du.taX+34=eY=u+u.(seix-tax)+3u=et=u+44=eYFE=+4=0=V=22n=22=U=G,10S2X+22Sm2X&u=ae,(xu+44=ex1=a=5=u*=:U=Ccos2X+CSm2X+-eYlosx1etY=x=C+1Smix5loSX 微分方程的应用 第 3 节 题型一：积分方程()解题思路含未知函数的变限积分，未知函数本身及x的方程，称为积分方程.求解方法如下：第一步：先令上下限相等，看是否有初始条件存在.第二步：如果变限积分中既含t又含x先将非积分变量x分离出积分之外，然后方程两边同时求导，直到变限积分消失，于是积分方程就化成微分方程.第三步：求解微分方程，并代入初值条件，得到()f x.%*fitiat=fix+X-=f(x=fix+2x【例【例9.3.1】设0()sin()()xf xxxxt f t dt=，其中()f x连续，求()f x.*X=0=fa=0,TBStitfix=X.SmX-Xofitlat+lo+fitlat,i=fix=smX+X-cosX-Co*fitue-xix+X=0-fiozo*-fix=2loSX-XSmX-f(x)=fix+f(x=2 cosX-0SmX =fix+f(x=2 cosX-0SmXFEGE=-+1=0=r=2,k=-2Y=C,losX+(2SmXiY*=Cax+b)-cosX+(x+d).SmX.Xy*(xfix+f(x)=20X-xSmx*3=a=1b=0=0,d=y*=-105X+2x5mX=fi=C,103X+(nSmX+Cox+X.SuX =fi=C,103X+(nSmX+Cox+X.SuX&fid=0,fid=o.C=(=0=fix=coX+xsmX 题型二：微分方程的几何应用()解题思路根据题目给定的()f x条件，以及导数、定积分的几何意义可得到一个关于()f x的微分方程或者积分方程，则可求解出()f x.【例【例9.3.2】设曲线()yf x=，其中()f x是可导函数，且()0f x ，已知曲线()yf x=与直线0,1yx=及(1)xt t=所围成的曲线梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t 倍，求该曲线的方程 SM-V=/finaxS=(fixax!17#E,V=t!t:(Efinax=xt),fixax,=fil=(if(xax+f(t),(2+=)=f(x)=1,diz=2f(t)fit)=2f(t)+f(t)2f(t)fitl=2f(t)+fit)=t=X,Y=fit=2y.y=24+x.y24=(2-X1.%=2=24-Xfa=eIny(featy ay+c.:C=5.24+I=y(5y2+x=5-4+5iX=525【例【例9.3.3】设函数()f x在定义域I上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线()yf x=在点00(,()xf x处的切线与直线0 xx=及x轴所围成区域的面积恒为 4，且(0)2,f=求()f x的表达式.No,fixo)A(ACI=fN&X=Xotmd=LA=fixdBILC3IACI/fexos/:IBC=fixalfixdSoABC=ElACI.IBC)=Elfio.fix0=4 find2fixo=4In4=fixojaY=4=alax=(a=(tax=-ty=y+2xf(x)=2.C=-E=-y=5-t=y=yx