高数7 导数的应用【笔记版】【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 导数的应用 第五章 第二部分 题型解析 题型一：判断函数的单调性()解题思路：判断函数单调性的思路如下：思路 1如果()f x可导，求()f x的单调区间，步骤如下：1.确定函数的定义域.2.求()fx，得到函数的驻点和不可导点.3.用驻点和不可导点将函数的定义域分成若干个小区间，判断()fx 在这些区间上的正负得到函数的单调区间.思路 2抽象函数或不可导函数利用单调性的定义判别.【例【例5.1】若函数()f x可导且()()0f x fx，则().(A)(1)(1)ff (B)(1)(1)ff (C)(1)(1)ff (D)(1)(1)ff C35-=DfINTO,finOf()fullIf+1/fulii&-I&fixco,fix)oIfallfullfel0f x fx，则().(A)(1)(1)ff (B)(1)(1)ff (C)(1)(1)ff (D)(1)(1)ff C35=fifinco(fin)=2fixfinofin Mfilfill:Ifrp)/fus)【例【例5.2】设(,)f x y具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y，都有(,)(,)0,0f x yf x yxy，则().(A)(0,0)(1,1)ff (B)(0,0)(1,1)ff (C)(0,1)(1,0)ff (D)(0,1)(1,0)ff Dofo,YSTA1.filBEXOofso1X XGDHJ,fixy)PEYN24f(0.of(l.1)flo.1)f(1.1)f(1.0)【例【例5.2】设(,)f x y具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y，都有(,)(,)0,0f x yf x yxy，则().(A)(0,0)(1,1)ff (B)(0,0)(1,1)ff (C)(0,1)(1,0)ff (D)(0,1)(1,0)ff D35=f(x,y)=X-Yflad=0.f(1.1)=0flall=-1A.B(x)YEfiNEX=OLEMfIN=fiOOBfNfioco=Mfil-foi30,E,0 BIEDfix-froOXe(0.8)At,fix flo)XXt(-5,0)A5,fix fol 题型二：求函数的极值()解题思路：如果要求函数的极值，思路如下 思路 1已知()f x表达式且可导，方法如下：第一步：确定()f x的定义域.第二步：求出导数()fx，并求出可疑极值点：全部驻点和不可导点12,nx xx.第三步：判断12,nx xx是否为极值点.可以选用第一、第二、第三充分条件三种方法来进行判断.极值第一充分条件：如果在0(,)oU x 内()fx 异号，那么0 x为极值点；如果在0(,)oU x 内()fx 不变号，则()f x在0 x处不取极值.极值第二充分条件：如果0()0fx=，且当0()0fx (或0()0fx )时，函数()f x在0 x处取得极大(小)值;当0()0fx=时，该法失效，判断不出.AF FIT.TJE,AF#)fixd=0 极值第三充分条件：如果(1)000()()()0nfxfxfx=，但()0()0nfx，那么当n为偶数时0()f x是极值点，且当()0()0nfx(或()0()0nfx)时函数()f x在0 x处取得极小(大)值.思路 2用极值的定义判别极值，这种题往往适用于抽象函数()f x或无法求导时.n,fixEBlE,SEIXo.fixol)B.EBE【例【例5.4】求函数2221()()xtf xxt edt=的单调区间与极值.:Zi:Xt(-c,+c)fM=X(,*etat-1*+eat-xY-2exP-2Xfin=2x).*.etat+xe2x-xEX1=-1Xz=0.X3=Atfix=o(-s,-1)+1)-1,0)0(0.1)/(.+b)fin-&-+f(x)E3dE*FR&-fi(-0.+)*10.1)EC1011Clitco)#H:fH)=0,fill=oFRIE:fi=(:t.Fat=Eli e*ac-e)=zet);=(1-et)【例【例5.5】已知函数()y x由方程333320 xyxy+=+=确定，求()y x的极值.#:EXI*XE(-c,+c)(F(x-y)=x+y3-3x+3y-2,(I3x-31-X2C-X)(i+X)=-y=a3y+37+yz/&Xi=1X=#J.Y=035-=C-0,-1)+(-1.1)/(l.+c)YI-+-YEGE 15=Y=1-x-1+yuYy=-zX(+y)-(x724.%75120Illso(1+yX=+*EI,X=/EFFE:Y(1)=0FILE(4)=/题型三、函数的最值(值域)()解题思路 思路 1如果求函数()f x在区间I上的最值或值域，可 第一步、求()fx，并求出I内的所有驻点和不可导点12,x x.第二步、求出区间I两端函数值（若两端点无意义则求极限值）和所有驻点不可导点函数值()if x.第三步、比较上述值的大小，最大的即为最大值M(或值域上限)，最小的即为最小值m(或值域上限)，此时,m M(或开区间)即为值域.思路 2通过单调性求出函数()f x在区间I上的最值或值域，可用单调性计算：第一步、求()fx，并求出I上的所有驻点和不可导点12,x x.第二步、求出()f x在I上的单调区间.第三步、根据单调性判断并求出()f x的最大值或最小值.【例【例5.6】设2()|sin|xxf xt dt+=.(1)证明()f x是以 为周期的周期函数;(1)fNxt)=/EightatU=+zx+ISm(KTT)du=Scalam=isiclat-fit.fuBETE1E.(2)求()f x的值域.fix-T*LEA-&,)irfix=(sm(x1-Isixl=Kosxl-1SmXEx1=-,xz=#5,fix=of(-)=Iutlat=2sment=2-5,fl=JaIsmtdt=CSmidt=Efil=(_Ismat=-(2)求()f x的值域.fil=Isnelat=Stat=1:fix=*2-E,VIS 题型四、函数恒等式的证明()解题思路如果要证明某区间I上一个函数等式()()f xg x=成立，只需 第一步、移项令()()()F xf xg x=.第二步、求导，证明()0F x=在I上恒成立，则()F x为一常数.C 第三步、I上取一特殊点0 x代入()F x，证明0C=即可.【例【例5.7】设函数()f x在区间0,a上单调增加并有连续的导数，且(0)0,()ff ab=，()g x是()f x的反函数.证明：00()()abf x dxg x dxab+=+=恒成立.y=f(x)x=qm)35-=(.94ax=q(layU=f(x).gfi&fix=1Xfinax=X.fi.-Iofildy-af(a)-10fixuX=ab-tofinax1:fNax+19dx=ab.【例【例5.7】设函数()f x在区间0,a上单调增加并有连续的导数，且(0)0,()ff ab=，()g x是()f x的反函数.证明：00()()abf x dxg x dxab+=+=恒成立.i=E),fixax+1.figuax=af(a)InF(al=1 fMxdx+(f(maNax-af()Fcal=f(u)+qf(ulfical-flal-a-fial=f(al+afal-fal-afial=0:F(ul=CitFro=0.:Fal=o 题型五：不等式的证明()解题思路：形如证明某区间I上()()f xg x 成立的这种问题，称之为函数不等式问题.思路 1利用单调性及最值(值域)证明不等式.第一步、对不等式移项，构造辅助函数()()()F xf xg x=，或两边含分式也可交叉相乘再移项构造()F x，问题转化成找()F x的最小值(值域)问题.第二步、求导()F x，找驻点，进而分析出()F x的单调区间，从而找到()F x的最小值.解题思路 2若不等式出现同类函数差()()f bf a，可用拉格朗日中值定理证明.解题思路 3出现()f x及其二阶或者二阶以上导数的信息，考虑用泰勒公式证明.如果不等式两端仅含,a b不含x，可考虑将b(或a)变为x后再证明不等式.【例【例5.8】证明：当01x时，1ln(1)1arcsinxxxx+.LENA:/F(x)=1-X-arcsmX-Htx-InGTX),EPLEocXI#J,FM co.#Flo=oFix=-1.arcsmX+1-X.1-21-X1-XzInG+X)I-=-navismxit-zi=0FM .Co.to/AJ,FFin:(a1)/A.FinO=FMUSClito)A.FixTo=FN.FINX=1&HE F(ll=0:FIX,Fill=0【例【例5.10】设()f x在0,1上连续，在(0,1)内二阶可导，(0)(1)ff=，|()|fxA .证明：|()|.2Afx LEDA:FXoto.1),f(3).fin=fixa+fixd-(x-Xo)+2,10-xoGT5XIXOIR.(ii)(zX=0,Bx=1=flo=f(x)+fixd(-Xol+fi.XoDS,10,x0)f(l)=fNd+fixd.C-X0)+fi(1-XPOBut(X0.1)-Q=0=fixd+fCrxo2-f).X.22 :fixa=fis.x:-fltcxOYa fiBl.x8+fGx2=A.xo+C-x=E.xo+(-x0)-Xot0,11-x00.1:XNoA-Xo11-No:/fix)=x0+1-x0)=E.【例【例5.11】设0ab，证明不等式222lnln1abaabbaab+.LEDA:FEFEAE,ESE(a.b)Elub-Ina=b-a29Inb-Inacitbb-a=22aca9b:2952abauthInb-Incab-a I#hInb-hdEXaToA,IX-aimX-aafElux-Ina-X-a10rax/2fin=InX-ma-X-a=Inx-Ina-flTaxIFe2F-X-afix=-z-2xI2.x.Ja=-(Ei+Fal-2.)(x-)-2xF2xE:ExaAY,fixO,findi-fifal=o 题型六：讨论方程的根的问题()解题思路形如求()()f xg x=根有几个的问题，应用利用单调性及零点定理解决：第一步、先移项，令()()()F xf xg x=，即变成讨论()0F x=根的个数.第二步、求导得()F x，求出()F x的单调区间.第三步、每个单调区间应用零点定理看是否有零点，可得()0F x=的总根数.I【例【例5.12】求方程arctan0kxx=不同实根的个数,其中k为参数.#:fIN=K.arsimX-XKfin=1+x2-1=k-1-x1+X-DEK+50 AF,fix:O,fixMfix=Me(Karcemx-x)=+*-coMf=M(karcux-x=c.45,ErfIx=0PRIYEE EK-10AfEX=-+,X=14#J,fix=o(-0.-k-)(-N,+k+),(k+,+b)fin-t-f(x)f(r)=M(Karcemx-x=+f=M(karx-xinf10=0#0E(-(,)f(u)fr=0.fin)-fix=o:B5,fIx=0 RC-0,-M)(,MilB(N,+c)&#/*【例【例5.13】设a为常数,求方程2102xxaex=不同实根的个数.2X#:/2fix=ae-1-x-fix=a.e-1-Xfix=are-If=a.et,Y【例【例5.13】设a为常数,求方程2102xxaex=不同实根的个数.Xz25=:()a.ex=1+X+za=(+x+)eY&f(x)=(1+X+.ex-afix=Mx).e*-Luxe=-*eco.fix:fro=MGea=fla=MCHX+.ex-a)=-aAtDE-aL,0 4920AtfIN=oIeY=-aE-GC04asoAtfIN=01Fe 题型七、凹凸性与拐点问题()求()f x的凹凸性与拐点的问题，解题思路有两个：解题思路 1利用二阶导数来求函数凹凸区间与拐点，方法如下：第一步：确定()f x的定义域.第二步：求出导数()fx，并求出可疑拐点：()0fx=和()fx 不存在的点12,nx xx 第三步：判断12,nx xx是否为拐点，判断方法可用第一充分条件、第二充分条件来进行判断.拐点第一充分条件 若0()0fx=(或不存在)，当x经过0 x时()fx 变号，则00(,()xf x为拐点.拐点第二充分条件 设(1)000()()()0nfxfxfx=，但()0()0nfx，那么当n为奇数时，00(,()xf x为拐点.解题思路 2抽象函数利用凹凸性与拐点的定义来判断.【例【例5.14】设函数22xyxye +=+=满足条件(0)0y=的特解.(1)求()y x.(7Yin=-(xax-(SeSxaxdx+c)C-eax+c)=e-(x+c)2Y10=0!-C=0X=Y(x)=Xein(2)求曲线()yy x=的凹凸区间和拐点 Y(x)=x-e-itXIEXXEL-co.+c)XY=x.(x+5)(X-51.2,EX=-B,Xz=0Xz=5Y=0(-0.-5)-5)-5,00(0,55)5(5,+2)y-&-tYEFB127FBE JBMI=(-B.0)&(5.+c)EB(-5,-1.2)E=(-0,-5)(95)(0,0)(5,05.e-)【例【例5.15】设函数()f x在(,)+内连续，其导函数的图形如图所示，则().(A)函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x=有 2 个拐点.(B)函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x=有 3 个拐点.(C)函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x=有 1 个拐点.(D)函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x=有 2 个拐点.B7:OVONXXfix):0Da.0.0 【例【例5.16】设函数()f x满足关系式2()()fxfxx+=+=，且(0)0f =，则()(A)(0)f是()f x的极大值(B)(0)f是()f x的极小值(C)点(0,(0)f是曲线()yf x=的拐点(D)(0)f不是()f x的极值，点(0,(0)f也不是曲线()yf x=的拐点 Cfix=x-fixOf=oETFi=fi+2.fix-fi=1,IxX=0=fl=1 题型六：曲率()（仅数一、数二考）1.定义 0limsdKsds =.2.曲率的计算公式 23 2|(1)dyKdsy =+.3.曲率圆与曲率半径 在M处曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使1DMrK=以D为圆心，r为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的半径1rK=叫做曲线在点M处的曲率半径 解题思路了解曲率的含义、曲率的计算公式、曲率圆与曲率半径即可.-【例【例5.17】曲线22741xtytt=+=+=+=+上对应于1t=的点处的曲率半径是().(A)1050 (B)10100 (C)10 10 (D)5 10 C+=1=dy(at=2+4Y+=an2=1+E+=1=3dXax/at(=x)=a(l+)/at=-(=-ax(dt14II&-3ik(+=a+b+1=2Syill)=Yelly(l)=Yell)Y,ll=zax+b(x=1=2a+b4:25X:z(X-E)+2(y-2).y=04txx=/=42ll=1.(a+b=1 Y,(l)=2a2(X-E)+2(y-2).y=0.E5X=2+2.(yi+2(4-2)4=0Stxy=2,42=Yz(l)=4:20=4:a=2b=32=3