高数2 极限1课件【笔记版】【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 极限与连续 第二章 极限的定义与性质 第一节 第二部分 题型解析 题型一、极限概念与性质()解题思路：极限的定义和性质考的并不多，以选择题为主，其思路是 思路 1掌握极限定义的本质、数列及函数极限存在的充要条件、极限的性质.思路 2如果已知极限，要判断函数大小、极值、拐点等，可利用极限的保号性、无穷小的定义去掉极限号来解题，选择题也可以用特殊值法.相关知识点 一、极限的概念 1.数列极限的定义 0 ，总NZ+，使当nN 时|nxa 都成立，则limnnxa=.limnnxa=其任一子列都要a 奇偶子列都a Y=ahe+o.&XX2SN 2.0 xx时函数的极限 0 ，总0，使得当00|xx 时，()f xa，则0lim()xxf xa=.0lim()xxf xa=+00lim()lim()xxxxf xaf xa=且且 3.x 时函数的极限 0 ，总0,使得当|xX 时，()f xa，则lim()xf xa=lim()xf xa=lim()lim()xxf xaf xa+=且且#-y=aFirEf-Y=a3-X 二、极限的性质 性质 1(唯一性)性质 2(有界性)如果limnnx存在，则nx全体有界.如果lim()f x存在，则当前趋向一定存在某范围使得()f x有界；性质 3(保号性)如果lim()0f xa=(或0a )，那么当前趋向下一定存在某范围，使()0f x (或()0f x ).推论：当x 0(,)U x 时，()0f x (或()0f x )，且0lim()xxf xa=，那么0a (或0a ).性质 4(保序性)：lim(),lim()f xag xb=，且ab，那么当前趋向下一定存在某范围，使()()f xg x.推论 当x 0(,)U x 时，有()()f xg x(或()()f xg x)，且00lim(),lim()xxxxf xag xb=，则ab(或ab).OEW/BIIAteLoMoX=【例【例2.1.1】下列说法中正确的个数是().设数列nx与ny满足lim0nnx=及lim1nny=，则对于任意正整数n，都有nnxy；设数列nx与ny满足lim0nnx=及limnny=，则limnnnx y不存在；设数列nx满足lim0nnx=,则当n充分大后一定有11nxnn；如果对于任意正整数n，都有数列0nx ，且limnnxa=，则0a .(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 A%.y=1XdoIYX*XXn=yn=nS2131XXn=Xa78IArXn=t20,I s=0【例【例2.1.2】下列说法中，正确的个数是().如果2lim()4xf x=，则(2)4f=；如果lim()0 xf x=,则存在0X ，当|xX 时有0.5()0.5f x；如果0lim()xxf xA=，则0lim()xxf xA=；如果0lim()xxf xA=，则0lim()xxf xA=.(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 B.2&y=4X!&X=2wX 【例【例2.1.3】下列命题中,正确的命题个数是().“对任意给定的,总存在正整数N,当nN 时,恒有2nxa”是limnnxa=的充要条件；“对于0.0001=,总存在正整数N,当nN 时,有|nxa”是limnnxa=的充要条件；“对于任意给定的正数,总有无穷多项nx满足nxa”是limnnxa=的充要条件；(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 EE(01)O-13108270EnN30/Xn-akEu-X-niNFITALE-I-&-#Man*=a=EETo,ENEZT,NAJIn-a)E uXan+=NAJIXn-11EDETRn+cManXan=247NePlie-F【例【例2.1.4】设2()()lim1()xaf xf axa=,则在xa=处().(A)()f x的导数存在,且()0f a (B)()f x取得极大值 (C)()f x取得极小值 (D)()f x的导数不存在 XXfal=Mefix-fasX-afix-f(u)pasX-a=I:Mrf-flaX-afinfl=fal*A【例【例2.1.4】设2()()lim1()xaf xf axa=,则在xa=处().(A)()f x的导数存在,且()0f a (B)()f x取得极大值 (C)()f x取得极小值 (D)()f x的导数不存在 BfIN-fal-NaO=-1.:Wea#x-f(al)=0*a(x-a):BE,%aBEAfix-fas28CX-alfix-f(a)ofix)=Mu=1=aBI#Amd-0=Mut-Muf=1-1=0=d-B=0(t)GMG=I=U=B【例【例2.1.6】设22112xex=+=+,2sincostanxxx=,2230(1)xtedt=，则当0 x 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()(A)123,.(B)231,.(C)213,.(D)321,.C?6=e*-H2x=H+*+O-(1+=(2x+E(2+(2xI2!=(+E)x*+o(4)=x*+om)Xtd2=tax-losX-taxx=tenx(losX-1)=taXx.(Shix n-*36at-*Eat=5 t)*=-X6 Sifiti-git),ll)fattat-.91tsat【例【例2.1.7】把0 x+时的无穷小量2200cos,tan,xxt dttdt=30sinxt dt=排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是()(A),(B),(C),(D),B35-=2=10X-1B=ta.2X=tax.2x-2xXr=sm(M)2*(=i=d=Cocostat-)=1dt=XB=(tmnt-l*Eat=5t*=Exr=Josieat-*tdt=*t+/*=函数极限的计算 第二节 第一部分 知识点归纳 一、未定式极限计算的同时性原则 非零因子先算原则 8&00co-10:GopaEx-pu=X#X2*j8umfi=ImFifo(x92t2G3 二、极限的四则运算 如果lim()f xA=，lim()g xB=，那么 1.lim()()lim()lim()f xg xf xg xAB=2.lim()()lim()lim()f xg xf xg xA B=3.()lim()lim(0)()lim()f xf xABg xg xB=umX-six=m-M=1-1=0*SXumX-smX=M&#70X3S 三、洛必达法则 设函数()f x,()g x满足下列条件：(1)为00型或 型；(2)在x的变化过程中()fx 与()g x 存在，且()0g x ；(3)()lim()fxg x 存在(或为)；则()()limlim.()()f xfxg xg x=UX+SixMDo y 四、麦克劳林公式(1)21()2!nxnxxexo xn=+=+.(2)352122sin(1)()3!5!(21)!mmmxxxxxo xm+=+=+.(3)24221cos1(1)()2!4!(2)!mmmxxxxo xm+=+=+.(4)231ln(1)(1)()23nnnxxxxxo xn+=+=+.(5)2(1)(1)(1)(1)1()2!nnnxxxxo xn +=+=+.特别地，22111()28xxxo x+=+=+(6)211()1nnxxxo xx=+=+.补充：331tan()3xxxo x=+=+.331arctan()3xxxo x=+=+.331arcsin()3!xxxo x=+=+.-2.麦克劳林公式求极限的展开原则(1)上下同阶；(2)抵消不掉.Mn103X-1+=Im-+x*+o)-1+*oXInCHXXtr 五、等价无穷小代换法 1.常见等价无穷小 0 x 时(1)sinarcsintanarctanln(1)1xxxxxxxe+()2 ln1xx+;若1u，则lnln(11)1uuu=+=+；若AB，则(1)()ABBA BBeeeeeAB=；(2)1lnxaxa;log(1)lnaxxa+；-(3)211cos2xx；21cos2xx ；(4)(1)1xx +，()11111nnxxxn+=+=+.(5)31sin6xxx，31tan3xxx，31tansin2xxx，2112xexx，21ln(1)2xxx+.(6)()o -it:1-cosX=1-CHcosx-1)dv-d.(cosX-1)=2.(HosX)Ex*shX=X-(X-x+o()=Jx-o()-xe-x+1=(x+y+4)-x-yv2x 2.等价无穷小代换的原则 ImA.B+C1.DD.VELEum Q=2=vnFutoOnet(N(e)-2-EnENAJ,XXNT 六、拉格朗日中值定理 极限出现同类函数差，则()()()(),f bf aba f =其中ab 七、抓大头法则 若(),()xx,且()x 是更高阶的无穷大,则()()()xxx+.题型一、7 种未定式求极限()解题思路7 种未定型是指00,0,1,0,0 等形式的极限,在计算未定型极限时,计算步骤应该如下:第一步:化简:因式分解、根式有理化、幂指函数指数化、先计算非零因式、变量代换(如0 xx可代换为0txx=,于是0t)等;x+0+=z,t+0 第二步:分析极限类型,根据极限类型用相应方法计算:1.00型:这是 7 种未定式的最核心类型,常用方法有:必达 等价 劳林 拉它 2.型:洛必达法则、抓大头;3.0型：等价或将之一下放化为00型或 型；-TE.4.型:可以采用通分、倒代换、提无穷大法等方法化为分式00型或 型极限;5.1 型:利用公式()lim()1()lim()v xu xv xu xe=(小题),或指对恒等变形转化为前三种极限解决(解答题);6.00型：利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;7.0 型:利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;t=um(x=X-x)=Myx)H+z-1)xat#ToEs=HaX.E=x7+y【注】若直接计算不出，可考虑夹逼准则；如果极限中出现分段点、e、arctan、arccot，应分左右 分别计算.【例【例2.2.1】211limxxxxe+.35-:UnCHE=eTE=LCHY=ifex【例【例2.2.1】211limxxxxe+.?In(+2)X35=:7=hetoel(h)*imC=XToeexe/-=U-1*T6ex-X?(n(+*)-Y=:TB=is&#MxInCHEl-X=EMy II-ElX7+3=UblitIHu-It=-Ethtotth:(=e-t【例【例2.2.2】求极限350ln(sin)3limln(tan)5xxxxexxex+.(35-:7=MIn(smx+et)-IneIn(tmX+e*X)-Ine*/III5SmX+2*puSix:EE,47 ex3B.-0tanxIEriFEX5aX+eSXEiRT.Er=umSuIII#31=T=1【例【例2.2.2】求极限350ln(sin)3limln(tan)5xxxxexxex+.35=:/=MIn(smx+et)-InIn(tmX+e*X)-Ine5X=MeInSixteexInTexe5Xe5X&sixx=Mu23x+1=MISheX)0emxX=/&25X-1【例【例2.2.3】求极限()()21sinlim(0,0).1sin1sinxxxx+，(8)3-=/t=1-Xx-tzX=z2+B1-Sm(*z-t)TB=Um(1-SuYE-t)(1-Suic-tl)2+BIMu1-los=Um o(+B).ItO(l-cost).(l-cost)E-t.B-th=C+BT【例【例2.2.3】求极限()()21sinlim(0,0).1sin1sinxxxx+，+BInSixSiX=/35=:75=MeInSmX=In)=01-eausmx).(1-ePnsmx)-(2+B)(nSmX-(+B).InskX=M-=Ju(2.ISmx)(#B(nsmX)*./Insux/II=tC+B&InSmXdi【例【例2.2.4】求极限limarctan41xxxx +.4co&835-73=-arclot*I-【例【例2.2.4】求极限limarctan41xxxx +.33=:73=MmX.Carceml-aritm)*MX.(1)(1)*D=DireI1*coOumII=(xt-Z【例【例2.2.5】求极限()1242limxxxx exx+.Co-co(2t=E73=(E-let-+I(1-+).et-1+2Inunt+otth-puC-+).(1+yt+oti)-(1+=t+o(tY)totth=m(+2-z)t+o(t)=-+yotth【例【例2.2.6】设10,0naa，求极限1120limxxxxnxaaan+jI*#:=An elCaitant.MrIn(a-tax)=Iat the-1)M=pe+.(aite.+ant)=theait+.+aiUnX#0juGla+.+Ant.ManInG+In AuInG-.An-#InnIW=In(a.andn:T=(a-angn=MG.-Am 【例【例2.2.7】求极限()1ln0lim1.xxxex+.OOIn(ex-1-X)75=MeIn(ex-1-xi=NoteInXh(ex-1-X)Spaet-I(et-11.XianotInX=Notex-1-x-JuI#ot(e)-1-x)T2*=InotEx=2:(=e