2025极限与连续第二章极限的定义与性质第一节第二部分题型解析题型一、极限概念与性质(★★)解题思路：极限的定义和性质考的并不多，以选择题为主，其思路是思路1——掌握极限定义的本质、数列及函数极限存在的充要条件、极限的性质.思路2——如果已知极限，要判断函数大小、极值、拐点等，可利用极限的保号性、无穷小的定义去掉极限号来解题，选择题也可以用特殊值法.相关知识点一、极限的概念1.数列极限的定义0，总NZ+，使当nN时||nxa−都成立，则limnnxa→=.limnnxa→=其任一子列都要a→奇偶子列都a→Y=ahe+o...&&XX2SN2.0xx→时函数的极限0，总0，使得当00||xx−时，()fxa−，则0lim()xxfxa→=.0lim()xxfxa→=+00lim()lim()xxxxfxafxa−→→==且3.x→时函数的极限0，总0,使得当||xX时，()fxa−，则lim()xfxa→=．lim()xfxa→=lim()lim()xxfxafxa→−→+==且#------y=aFir~Ef-Y=a3-X·二、极限的性质性质1(唯一性)性质2(有界性)如果limnnx→存在，则nx全体有界.如果lim()fx存在，则当前趋向一定存在某范围使得()fx有界；性质3(保号性)如果lim()0fxa=(或0a)，那么当前趋向下一定存在某范围，使()0fx(或()0fx).推论：当x0(,)Ux时，()0fx(或()0fx)，且0lim()xxfxa→=，那么0a(或0a).性质4(保序性)：lim(),lim()fxagxb==，且ab，那么当前趋向下一定存在某范围，使()()fxgx.推论当x0(,)Ux时，有()()fxgx(或()()fxgx)，且00lim(),lim()xxxxfxagxb→→==，则ab(或ab).↓OEW/BIIAteLoMoX=【例2.1.1】下列说法中正确的个数是().①设数列nx与ny满足lim0nnx→=及lim1nny→=，则对于任意正整数n，都有nnxy；②设数列nx与ny满足lim0nnx→=及limnny→=，则limnnnxy→不存在；③设数列nx满足lim0nnx→=,则当n充分大后一定有11nxnn−；④如果对于任意正整数n，都有数列0nx，且limnnxa→=，则0a.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个A%.y=1Xdo·>IYX*XXn=yn=nS2131XXn=Xa78IArXn=t20,Is=0【例2.1.2】下列说法中，正确的个数是().①如果2lim()4xfx→=，则(2)4f=；②如果lim()0xfx→=,则存在0X，当||xX时有0.5()0.5fx−；③如果0lim()xxfxA→=，则0lim()xxfxA→=；④如果0lim()xxfxA→=，则0lim()xxfxA→=.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个B.2&y=4X!&X=2w~X【例2.1.3】下列命题中,正确的命题个数是().①“对任意给定的,总...
