考研数学基础精讲讲义（数学三）-方浩老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第一部分第一部分 高等数学高等数学 .1 1 第一章第一章 函数与极限函数与极限 .1 1 1.1 函数.1 1.2 极限的定义.10 1.3 极限的运算法则.21 1.4 极限的运算.25 1.5 函数的连续性.28 第二章第二章 导数与微分导数与微分 .3434 2.1 导数的概念.34 2.2 求导法则.38 2.3 高阶导数.41 2.4 隐函数求导.44 2.5 函数的微分.47 第三章第三章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用 .5050 3.1 微分中值定理.50 3.2 函数的单调性和极值.55 3.3 函数的凹凸性、拐点、渐近线、曲率.61 第四章第四章 不定积分不定积分 .6868 4.1 基本概念.68 4.2 换元积分法.72 4.3 分部积分法.76 4.4 有理函数的不定积分.78 第五章第五章 定积分定积分 .8383 5.1 定积分的概念.83 5.2 微积分基本定理.87 5.3 换元法和分部积分法.90 5.4 反常积分.92 5.5 定积分的应用.98 第六章第六章 常微分方程常微分方程 .102102 6.1 基本概念.102 6.2 一阶微分方程.103 6.3 可降阶的高阶微分方程.107 6.4 高阶线性微分方程.109 6.5 常系数高阶线性微分方程.112 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 .120120 7.1 极限与连续.120 7.2 全微分与偏导数.123 7.3 复合函数与隐函数的偏导数.130 7.4 多元函数的极值.136 第八章第八章 二重积分二重积分 .141141 8.1 定义与性质.141 8.2 二重积分的计算.144 第九章第九章 无穷级数无穷级数 .152152 9.1 常数项级数.152 9.2 幂级数.161 9.3 将函数展开成幂级数.166 第二部分第二部分 线性代数线性代数 .170170 第一章第一章 行列式行列式 .170170 第一节 行列式的定义.170 第二节 行列式的性质.176 第三节 行列式按行（列）展开.180 第四节 克拉默法则.183 第二章第二章 矩阵矩阵 .186186 第一节 矩阵的概念.186 第二节 矩阵的计算.189 第三节 分块矩阵.197 第四节 逆矩阵.201 第五节 矩阵的初等变换.207 第六节 矩阵的秩.214 第三章第三章 线性方程组与向量线性方程组与向量 .217217 第一节 线性方程组的消元解法.217 第二节 向量与向量组的线性组合.223 第三节 向量的线性相关性.228 第四节 向量组的秩.234 第五节 线性方程组解的结构.238 第四章第四章 矩阵特征值矩阵特征值 .244244 第一节 矩阵的特征值与特征向量.244 第二节 相似矩阵与矩阵对角化.250 第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量.255 第五章第五章 二次型二次型 .265265 第一节 二次型与对称矩阵.265 第二节 二次型与对称矩阵的标准型.267 第三节 二次型与对称矩阵的正定性.274 第三部分第三部分 概率论与数理统计概率论与数理统计 .278278 第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 .278278 第一节 随机事件的关系与运算.281 第二节 随机事件的概率.288 第三节 事件的独立性.301 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 .308308 第四节 随机变量及其分布函数.311 第五节 离散型与连续型随机变量.317 第六节 随机变量函数的分布.336 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 .343343 第七节 二维随机变量及其分布.346 第八节 二维随机变量的独立性.366 第九节 二维均匀分布与二维正态分布.371 第十节 随机变量函数的分布.376 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 .390390 第十一节 随机变量的数学期望和方差.392 第十二节 协方差与相关系数.410 第十三节 随机变量的矩.422 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 .424424 第十四节 大数定律.425 第十五节 中心极限定理.432 第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 .436436 第十六节 随机样本.439 第十七节 统计量及其分布.441 第七章第七章 参数估计参数估计 .458458 第十八节 点估计与估计量的评价标准.460 第十九节 区间估计.错误错误!未定义书签。未定义书签。第八章第八章 假设检验假设检验 .错误!未定义书签。第二十节 假设检验的定义及常用概念.错误错误!未定义书签。未定义书签。第二十一节 显著性检验.错误错误!未定义书签。未定义书签。基础精讲讲义（数学三）1 第一部分第一部分 高等数学高等数学 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1.11.1 函数函数 一、一、函数的定义：函数的定义：有两个变量和，如果对于变量的某个值，变量经对应法则有唯一的值与变量的值对应，那么称是的函数函数，记为=()，其中称为自变量，称为因变量；自变量的取值范围称为定义域定义域，因变量的取值范围称为值域值域。(定义域)(对应法则)(值域)=()=|=()，.定义域是使表达式或者实际问题有意义的自变量的集合.对于实际问题，必须书写函数自变量的范围；对于无实际背景的函数，书写时可以省略定义域.例 1：=1 2 4 答案：=|2或=(,2 2,+)区间：区间：设 ，那么开区间(，)=|;闭区间，=|;半开区间，)=|，(，=|，(，=|，(，)=|，(，+)=.基础精讲讲义（数学三）2 邻域：邻域：以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记作().点的领域：(,)=|+=|.点的去心领域：0|),(=axxaUo 点的左领域：(，),点的右领域：(，+).二、二、基本初等函数：基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数 要掌握基本初等函数的图像.基础精讲讲义（数学三）3 基础精讲讲义（数学三）4 三、三、函数的运算函数的运算 1.复合函数 设有函数()，Df，=g()，D，并且，=g()，D.称为、确定的复合函数，u 称为中间变量.例如，函数链 y=arcsinu，u=cosx，则可定义复合函数 y=arcsincosx,xR.基础精讲讲义（数学三）5 当改为=2 1，虽然不能在自然域R下构成复合函数，但是复合函数=arcsin(1 2),1,1.两个以上的函数也可以构成复合函数:=，0 =cot，(=0,1,2,.)=2，(,+)可定义的复合函数：=cot2，(2，(2+1)，.约定：为简单计，书写复合函数使不一定写出其定义域，默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.2 +2时，cot2 0;例 1：设函数)(xf=3+1,1,1，求)(xff.解：()=3()+1,()1 0(),()1 =9+4,0 3+1,0 1,1 2.反函数（1）反函数的概念以及性质 若函数:()为单射，那么存在一个新的映射：1:()，使 (),1()=，其中()=，称此映射1为的反函数.习惯上，)(xfy=，的反函数记为)(1xfy=，.性质：1）)(xfy=单调递增（减），其反函数)(1xfy=存在，且也单调递增（减）.2）函数)(xfy=与其反函数)(1xfy=的图形关于直线xy=对称.基础精讲讲义（数学三）6 例如：指数函数xey=,(,+)对数函数xyln=，(0,+)这两个函数互为反函数，它们都是单调递增，并且关于直线 y=x 对称.例 2.求211001,2,ln,12=xxxexxyx的反函数及其定义域.解：当1 0时，=2(0,1,则=，(0,1,当0 1时，=ln (,0,则=，(,0,当1 0,使|)(xf|M,称)(xf为有界函数.xI,M 0,使|)(xf|M,称)(xf在I上有界.说明：还可定义有上界、有下界、无界.，)(xfM，称为有上界，)(xfM，称为有下界 若对任意正数 M，均存在 xD，使|)(xf|M，则称)(xf无界.例 4：判断xxxfsin)(=在(-,+)上是否有界.解析：由 sinx 函数是周期函数，可取22+=nxn，代入得()22sin+=nxxxfnnn，基础精讲讲义（数学三）9 由部分函数()nxf在(-,+)上无上下界，则xxxfsin)(=在(-,+)上无界.（2 2）单调性）单调性 21,xxI,21xx 时,若)()(21xfxf，称)(xf为I上的单调增函数；若)()(21xfxf，称)(xf为I上的单调减函数；（3 3）奇偶性）奇偶性 xD,且有xD，若)()(xfxf=，则称)(xf为偶函数；若)()(xfxf=，则称)(xf为奇函数.说明：若)(xf在0=x有定义，则当)(xf为奇函数奇函数时，必有0)0(=f.例如，2)(xxeexfy+=偶函数 （4 4）周期性）周期性 xD,l 0，且有lxD，若()()xflxf=,则称)(xf为周期函数，称l为周期（一般指最小正周期）.基础精讲讲义（数学三）1 0 1.21.2 极限的定义极限的定义 极限理论是微积分的重要组成部分，是整个微积分的基础.从数学的角度来讲，极限的定义是一个难度非常大的概念，对大部分学生而言，要理解它并不是一件容易的事情.但是，考研对数学定义的要求不高。对备战考研而言，极限的数学定义是次要的，最重要的是要建立对极限的直观理解，相比于数学定义，极限的直观含义要容易得多，这是考生需要重点掌握的内容。一、数列极限的定义一、数列极限的定义 ()()()()敛收，+=+=+nnnxnnnxnnnnnnnn1111,1,433421,2,1,43322111()()()散发震荡，=+1112,1,1,1,1,2,8,4,2nnnnnnxnx 自变量取正整数的函数称为数列，记作)(nfxn=或 nx，nx称为通项（一般项）.任何一个数列，随着n不断增大，数列的值只有三种变化规律：（1）无限靠近一个常数a；（2）无限增大或无限减小或绝对值无限增大；（3）振荡变化，没有固定的变化趋势；1.1.数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义 对于数列nx，随着n无限增大时，如果数列nx的值无限靠近某一确定的常数a，则称常数a是数列nx的极限，或称数列nx收敛到a，记为axnn=lim.11lim=+nnn，()11lim1=+nnnn nnx2=和()11+=nnx都不存在极限，但两者情况不同：nnx2=虽不能无限靠近某个常数，但其变化趋势是确定的，数列的值一直在增加，这种数列称为“极限无穷大式不存”；基础精讲讲义（数学三）1 1 ()11+=nnx不能无限靠近某个常数，且不是无穷大，这种数列称为“极限振荡式不存在”；2.2.数列极限的数学定义数列极限的数学定义 若数列nx与常数a满足：对任意正数，总存在正整数 N，当nN 时，总有axn，则称a是数列nx的极限，记为axnn=lim.简单的数列考研通过观察直接得出极限：021lim=nn，12lim1=nn 例例 1.1.【19991999 年数学二】年数学二】“对任意给定的()1,0，总存在正整数 N，当nN 时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的（）.(A)充分条件但非必要条件 (B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 解析解析：由数列极限的定义，(1)若 数 列 nx收 敛 于a，则 对 任 意 小 区 间2,2+aaxn,则 不 等 式2axn成立，“对任意给定的()1,0，总存在正整数N，当nN时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的必要条件；(2)若2axn，则2,2+aaxn，即总存在正整数 N，当nN 时数列 nx收敛于a,“对任意给定的()1,0，总存在正整数 N，当nN 时，总有2axn”是“数列 nx收敛于a”的充分条件；故选(C).二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质 1.1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.基础精讲讲义（数学三）1 2 3.3.收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.若axnn=lim，且0a，则 +，当 时，有nx0 若数列从某项起nx0，且axnn=lim，则0a 例例 2.2.【20032003 年数学一、二】年数学一、二】设 nnncba,均为非负数列且=nnnnnncbalim,1lim,0lim，则有（）.(A)成立对任意nbann (B)成立对任意ncbnn (C)不存在极限nnncalim (D)不存在极限nnncblim 解析解析：由数列保号性可知，总存在正整数 N，当nN 时nnba，nncb 并不是任意n成立，(A)(B)错误；若nbnann=,12，则01limlim=ncannnn，存在极限nnncalim；若2,1nbnann=，则=ncannnnlimlim，存在极限nnncalim，故(C)错误;，极限不存在=nnncblim，故(D)正确;4.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.说明：由此性质可知，若数列由两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散 举 例：()(),2,111=+nxnn的 子 数 列，1lim12=kkx；1lim2=kkx，故()(),2,111=+nxnn发散！例例 3.3.【20152015 年数学三】年数学三】设 nx是数列，下列命题中不正确的是（）.(A)axxaxnnnnnn=+122limlim,lim则若(B)axaxxnnnnnn=+lim,limlim122则若(C)axxaxnnnnnn=+133limlim,lim则若(D)axaxxnnnnnn=+lim,limlim133则若 基础精讲讲义（数学三）1 3 解析解析：(A)数列 nx收敛于a，则子数列nx2，12+nx也收敛于a，(A)正确；(B)全部子数列nx2，12+nx收敛于a,则数列 nx也收敛于a，(B)正确；(C)数列 nx收敛于a，则子数列nx3，13+nx也收敛于a，(C)正确；(D)部分子数列nx3，13+nx收敛于a,而子数列23+nx不一定收敛于a，则数列 nx不一定收敛于a，(D)不正确；故选(B).三、函数极限的定义三、函数极限的定义 数列极限是指随着n变化时数列值nx的变化趋势，从函数的观点来看数列，数列极限就是研究随着自变量n的增加函数值nx的变化规律.(1)x无限接近固定值0 x，用0 xx 来表示这一变化过程；(2)x从0 x的左侧（即小于0 x）无限接近0 x，用0 xx表示；(3)x从0 x的右侧（即大于0 x）无限接近0 x，用+0 xx表示；(4)x的绝对值x无限增大，用x表示；(5)x小于零且绝对值x无限增大，用x表示；(6)x大于零且绝对值x无限增大，用+x表示；1.1.0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义，若0,0，当00 xx时，有()Axf，则称常数A为函数)(xf当0 xx 时的极限，记作()Axfxx=0lim 即 lim0()=0,0,当(),0 xUxo时，有()Axf 几何解释：基础精讲讲义（数学三）1 4 2.2.+0 xx时函数极限的定义时函数极限的定义 设函数)(xf在点0 x的某右去心邻域内有定义，若0,0，当00 xx时，有()Axf，则称常数A为函数)(xf当+0 xx时的右极限，记作()Axfxx=+0lim 几何解释：3.3.0 xx时函数极限的定义时函数极限的定义 设 函 数)(xf在 点0 x的 某 左 去 心 邻 域 内 有 定 义，若0,0，当00 xx时，有()Axf，则称常数A为函数)(xf当0 xx时的左极限，记作()Axfxx=0lim 几何解释：例 4.给定函数()000,1,0,1=+=xxxxxsxf 讨论0 x时)(xf的极限是否存在 解：()()11limlim00=xxfxx 基础精讲讲义（数学三）1 5 ()()11limlim00=+=+xxfxx()xfx0lim振荡不存在.()Axfxx=0lim的充要条件是()Axfxx=+0lim且()Axfxx=0lim.4.4.x时函数极限的定义时函数极限的定义 设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，若0,0X，当Xx 时，有()Axf，则称常数A为函数)(xf当x时的极限，记作()Axfx=lim 定义中Xx 表示XxXx或；()Axf表示()+AxfA.几何解释：5.5.极限与左右极限的关系极限与左右极限的关系 (1)()Axfxx=0lim的充要条件是()Axfxx=+0lim且()Axfxx=0lim.(2)()Axfx=lim的充要条件是()Axfx=+lim且()Axfx=lim.6.6.初等函数的极限初等函数的极限 在CCxx=0lim(C 为常数)，()112lim1=xx，当00 x时00limxxxx=.基础精讲讲义（数学三）1 6 设)(xf是初等函数，且)(xf在0 x的某个邻域内有定义，则()()00limxfxfxx=.只要10 x，都有1111lim02020=xxxxxx 四、函数极限的性质四、函数极限的性质 1.1.局部有界局部有界 如果()Axfxx=0lim，则存在(),0 xUo，在(),0 xUxo上)(xf有界.几何解释：2.2.保号性定理保号性定理 若()Axfxx=0lim，且0A，则存在(),0 xUo，使当(),0 xUxo时，0)(xf.几何解释：3.3.保号性定理（通过函数值判断极限）保号性定理（通过函数值判断极限）若在0 x的某去心邻域内0)(xf，且()Axfxx=0lim，则0A.4.4.海涅定理海涅定理 在()Axfxx=0lim成 立 的 充 要 条 件 是：对 任 意 收 敛 到0 x的 数 列 nx都 有基础精讲讲义（数学三）1 7 ()Axfnn=lim.例 5.分析Axx=1sinlim0是否存在.解析：取数列nxn21=，则()0)2sin(limlim=nxfnnn；若取数列221+=nyn，则()1)22sin(limlim=+=nyfnnn；由海涅定理可知xx1sinlim0振荡不存在.五、无穷小与无穷大的定义五、无穷小与无穷大的定义 若0 xx（或x）时，函数()0 xf，则称函数()xf为0 xx（或x）时的无穷小无穷小.例如：()01lim1=xx，表示函数1x当1x时为无穷小；01lim=xx，表示函数x1当x时为无穷小；011lim=xx，表示函数x11当x时为无穷小.说明：除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小！定理（无穷小与函数极限的关系）定理（无穷小与函数极限的关系）lim0()=()+=Axf，其中为0 xx 时的无穷小量.若任给0M，总存在0（正数 X），使对一切满足不等式00 xx（Xx）的x，总有 ()Mxf 则称函数()xf当0 xx（或x）时为无穷大无穷大，记作 基础精讲讲义（数学三）1 8 ()=xfxx0lim（()=xfxx0lim）.若在定义中将式改为()Mxf（()Mxf），则记作()()+=xfxxx0lim（()()=xfxxx0lim）注意：1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大，必定无界，但反之不真！例如，函数()()+=,cosxxxxf，()()=nnnf当22 但()=+nnf当02 所以x时，()xf不是无穷大！无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 定理定理.在自变量的同一变化过程中，若()xf为无穷大，则()xf1为无穷小；若()xf为无穷小，且()0 xf，则()xf1为无穷大；说明：说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.六、无穷小量的比较六、无穷小量的比较 引例.0 x时，x3,2x,xsin都是无穷小，但 03lim20=xxx，313sinlim0=xxx，=20sinlimxxx 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.设、是在同一个极限过程中的无穷小，0 基础精讲讲义（数学三）1 9 若0lim=，则称是比高阶高阶的无穷小，记作()o=；若=lim，则称是比低阶低阶的无穷小；若0lim=c，则称与是同阶同阶无穷小；若0lim=ck，则称是的 k k 阶阶无穷小。若1lim=，则称是与是等价等价无穷小，记作 或；例如：0limlim0230=xxxxx 表明在x 0时，3是2的高阶无穷小量，2是3的低阶无穷小量，记为3=(2)；111limlim02320=+=+xxxxxx 故23xx+和2在x 0时是等价无穷小量，可记为3+22.例 5.当x 0时，下列式子中错误的是（）.(A)(2)=(3)(B)()(2)=(3)(C)(2)+(2)=(2)(D)()+(2)=(2)解析：(A)令=(2)，=3，则lim0=lim0(2)3=lim0(2)2=0，可知 (2)是比3高阶的无穷小，(A)正确；(B)令=()(2)，=3，则lim0=lim0()(2)3=lim0()(2)2=0，可知()(2)是比3高阶的无穷小，(B)正确；基础精讲讲义（数学三）2 0 (C)令=(2)+(2)，=2，则lim0=lim0(2)+(2)2=lim0(2)2+(2)2)=0，可知(2)+(2)是比2高阶的无穷小，(C)正确；(D)令 =()+(2)，=2，则 lim0=lim0()+(2)2=lim0()2+(2)2)=lim0()2 0，可知()+(2)不能确定是2高阶的无穷小，(D)错误；故选择(D)七、等价无穷小量（常用的等价无穷小量）当x 0时，有 sin;tan;arcsin ;arctan ;1;ln(1+);(1+)1(0);1 cos122;sin163;arcsin 163;可知 tan 133;arctan133.定理定理 =+()证：证：lim=1 lim(1)=0,即lim+=0 =()，即=+()例如例如，0时，sin，tan，故x 0时，sin=+()，tan=+().定理定理 .设,且 lim存在，则 lim=lim 证：证：lim=lim()=lim lim lim=lim 例如例如：lim0tan2sin5=lim02x5x=25.例例 6.6.求 lim0tansin3.解解：原式=lim0tan(1cos)3=lim0 x1223=12.注意：原式 lim03 例例 7.7.求 lim0(1+2)131cos1.基础精讲讲义（数学三）2 1 解解：当x 0时，(1+2)13 1132，cos 1 122，所以，原式=lim0132122=23.1.31.3 极限的运算法则极限的运算法则 一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则 定理定理.有限个无穷小的和还是无穷小.设 0时，1，2，是无穷小量，其中k是确定的正整数，则 lim01+2+=0.定理定理.有限个无穷小的乘积是无穷小.设 0时，1，2，是无穷小量，其中k是确定的正整数，则 lim01 2 =0.定理定理.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.设 0时，是无穷小量，()在0的去心邻域内有界，则 lim0()=0.例例 1 1.求limsin.解解：|sin|1,lim1=0 limsin=0 二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则 定理.若lim()=,lim()=，则有 lim()()=lim()lim()=lim()()=lim()lim()=lim()()=lim()lim()=(0)例 2.若lim()存在，lim()不存在，问lim()+()是否存在？为什么？基础精讲讲义（数学三）2 2 答：不存在.否则由()=()+()()，利用极限四则运算法则可知lim()存在，与已知条件矛盾.例例 3 3.求 lim111.解解：用根式有理化，原式=lim1(1)(+1)1=lim1(+1)=2.例例 4 4.求lim324+329.解解：原式=lim3(3)(1)(3)(+3)=lim31+3=26=13 注意注意：本题是 00 型，解题方法是消去无穷小因子.例例 5 5.求lim12325+4.解解：=1时，分母=0，分子 0，但因lim125+423=1251+4213=0 lim12325+4=.考虑 lim0()（），其中 P（x）和 Q（x）是 x 的多项式，（1）当 Q（0）0 时，用代入法可得 lim0()Q（x）=(0)Q（0）.（2）当 Q（0）=0 并且 P（0）0 时，lim0()Q（x）=.（3）Q（0）=P（0）=0 时，先将分子分母的公因式（x-0）约去以后再求极限.例例 6 6.求 lim423+952+21.解解：时，分子，分母，是 型，解题方法是“抓大头”.分子分母同除以2，则 原式=lim431+9125+2112=45 考虑lim0+11+.+0+11+.+，（1）当 nm 时，lim0+11+.+0+11+.+=.基础精讲讲义（数学三）2 3 例例 7 7：lim+(2+1-x)解解：原式=lim+2+1+=lim+112+1+1=12.例例 8 8：试确定常数 使得lim（1 33）=0.解解：令=1(变量替换)，0=lim01 133-=lim0313，所以lim03 13-a=0 所以-1-a=0，即 a=-1.三、复合函数的极限三、复合函数的极限 定理定理:设 lim0(x)=a,并且 x 满足 0|x-0|0，a0，limnxn.解解：因为+1=12（+）xnaxn=，+1=12(1+axn2)12(1+)=1.所以数列单调有下界，所以极限存在，设lim=，则由递推公式=12(+)基础精讲讲义（数学三）2 4 A=a，因为10，所以0，limnxn=a.练习练习.已知1=1，+1=1+2(n=1,2,.)，求limnxn时下列做法是否正确，说明理由.设 lim=,由递推式两边取极限得到=2+1，解得=1.分析分析：lim，所以题目中的分析方式不对！此处lim=.五、夹逼准则五、夹逼准则 定理定理.(1)(2)（=1,2,.）lim=lim=lim=定理.当 U(0,)时，g()()()，且 lim0()g()=lim0()()=lim0()()=例 11.证明lim(12+12+12+)=1.证：22+(12+12+12+)0).解解：原式是型 原式=lim+11=lim+1=0.例例 4 4.求lim(0,0).解解：n 为正整数的情形，原式是型 原式=lim1=lim(1)22=lim!=0 例 3，例 4 表明 +时，ln，(0)，(0)后者比前者趋于+更快.二、其他未定式：二、其他未定式：，型型 例 5.求 lim0+ln(0).解：原式是 0 型 原式=lim0+ln=lim0+11=lim0+()=0 例 6.求 lim2(sec tan).解：原式是 型 原式=lim2(1cossincos)=lim21sincos=lim2cossin=0 例 7.求 lim0+.解：原式是 00型 洛洛 洛洛 洛洛 洛洛 基础精讲讲义（数学三）2 7 lim0+=lim0+ln=0=1.三、四则运算法则三、四则运算法则 例 8.求 lim03sin+2cos1(1+cos)ln(1+).解：原式=lim03+2cos12=lim03+cos12=32.例例 9 9.求 lim32(+2 2+1+).解解：令 =1，则 原式=lim01+22+1+12=lim0(1+2)12(1+)122=lim0(1+2)32+12(1+)322=14.四、左右极限四、左右极限 例 10.求 lim0(2+11+4+sin|).解：左极限：lim0(2+11+4sin)=lim02+11+4 lim0sin=2+01+0 1=1；右极限：lim0+(2+11+4+sin)=lim0+2+11+4+lim0+sin（lim0+2+11+4 是型）方法一：令=1，则 lim0+2+11+4=lim+2+1+4=lim+44=lim+143=0，所以，原式=0+1=1；方法二：lim0+24+1314+1=01=0，所以，原式=1；故，原式左极限=右极限=1.洛洛 洛洛 基础精讲讲义（数学三）2 8 1 1.5 5 函数的连续性函数的连续性 一、连续性的定义一、连续性的定义 定义定义.设函数=()在0的某邻域内有定义，且 lim0()=(0)则称函数()在0连续.可见，函数()在点0连续必须具备下列条件：（1）()在点0有定义，即(0)存在；（2）极限 lim0()存在；（3）lim0()=(0).若()在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数.定理定理.lim0()=(0)(0)=(0)=(0+)例例 1 1.()=sin1，+2，0 0，=时()为连续函数。解解：(0)=左极限：(0)=lim0sin1=0，无穷小量和有界函数的乘积是无穷小；右极限：(0+)=lim0+(+2)=，由()为连续函数 (0)=(0)=(0+)=0.二、函数的间断点二、函数的间断点 设()在点0的某去心邻域内有定义，则下列情形之一，函数()在0不连续：（1）函数()在0无定义；（2）函数()在0虽有定义，但 lim0()不存在；（3）函数()在0虽有定义，且 lim0()存在，但 lim0()(0)，这样的点0称为间断点.间断点分类：左连续左连续 右连续右连续 基础精讲讲义（数学三）2 9 第一类间断点：(0)及(0+)均存在，若(0)=(0+)，称0为可去间断点可去间断点.若(0)(0+)，称0为跳跃间断点跳跃间断点.第二类间断点：(0)及(0+)中至少一个不存在，若其中有一个为，称0为无穷间断点无穷间断点.若其中有一个为振荡，称0为振荡间断点振荡间断点.例如例如：（1）=tan =2 为无穷间断点.（2）=sin1 =0 为振荡间断点.（3）=211 =1 为可去间断点.（4）=()=，12，1=1 显然lim1()=1 (1)=1 为可去间断点.（5）=()=1，0(0)=1，(0+)=1 =0 为其跳跃间断点.基础精讲讲义（数学三）3 0 例例 2 2.讨论函数()=2123+2间断点的类型.解解：由分母不为零可知，原函数在间断点=1，=2无定义，lim1(+1)(1)(1)(2)=lim1+12=2，=1是可去间断点；lim2(+1)(1)(1)(2)=lim2+12=，=2是无穷间断点.例 3.确定函数()=111.解：函数间断点为=0，=1.lim0()=，=0为无穷间断点；当x 1时，1+，()0 当x 1+时，1，()1 故=1为跳跃间断点，在 0，1 处，()连续.三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 定理定理.在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为 0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数.定理定理.连续单调递增函数的反函数也是连续单调递增.定理定理.连续函数的复合函数是连续的.例 1.设()与g()均在，上连续，证明函数()=max()，g()，()=min()，g()，也在，上连续.证：()=12|()g()|+()+g()()=12()+g()|()g()|，根据连续函数运算法则，可知()，()也在在，上连续 基础精讲讲义（数学三）3 1 基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续 例如例如，=1 2的连续区间为1,1（端点为单侧连续）=lnsin的连续区间为(2,(2+1)，而=cos 1的定义域为=2，因此它无连续点 例例 2 2.设()=2，12 ，1，()=，1+4，1，讨论复合函数()的连续性.解解：()=2()，()12 ()，()1=2，12 ，1，1 时()为初等函数，故此时连续；而 lim1()=lim12=1，lim1+()=lim1+(2 )=3，故()在点=1 不连续，=1 为第一类间断点.四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 最值定理最值定理 定理定理 1 1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.使 即：设(),，则1，2,，(1)=min()，(2)=max().推论推论.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点，结论不一定成立.例如，=，0,1，无最大值和最小值.基础精讲讲义（数学三）3 2 又如，()=+1，0 11，=1+3，1 2，也无最大值和最小值.定理定理 2 2.（零点定理）(),，且()()0，(1)=2 01，0 lim0(0+)(0)不存在，即|在=0不可导.单侧导数 定义定义 2.设函数=()在点0的某个右（左）邻域内有定义，若极限 lim0+(0)=lim0+(0)(0+)(0)存在，则称此极限值为()在0处的右（左）导数，记作：+(0)(0)即+(0)=lim0+(0+)(0).例如例如，()=|在=0处有 +(0)=+1，(0)=1 基础精讲讲义（数学三）3 6 定理定理.函数=()在点0可导的充分必要条件是+(0)与(0)存在，且+(0)=(0)简写为 f(x)存在 f+(x0)=f(x0)若函数()在开区间(，)内可导，且+()与()都存在，则称()在闭区间，上可导.例例 6.设()=sin,0,0，问取何值时，f(x)在(,+)都存，并求出().解解：显然该函数在=0连续.(0)=lim0sin00=1，+(0)=lim0+00=，故=1时，(0)=1，此时()在(,+)都存在，()=cos,0，曲线过(0，0)上升；若(0)0，则(arcsin)=1(sin)=1cos=11sin2=112 类似可求类似可求：(arctan)=11+2，(arccot)=11+2.例例 4.设=+，求其反函数的导数.解解：=1+，=1=11+三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 定理定理 3.=g()在点可导，=()在点=g()可导 复合函数=g()在点可导，且=()g().推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如例如，=()，=()，=()=()()()关键关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导.例例 5.设=()lncos()，求.解：=1cos()(sin()=tan()思考思考：若()存在，如何求(lncos()的导数？=(lncos()(lncos()=注意：和()这两个记号含义不同；(lncos()=()|=lncos().例 6.设=ln(+2+1)，求.基础精讲讲义（数学三）4 0 解：=1+2+1(1+122+1 2)=12+1 重要公式：基本初等函数的导数公式重要公式：基本初等函数的导数公式 例例 7.=+11+1+1，求.解解：先化简后求导 =22212=2 1 =1 1221(2)=1 21.例例 8.设=+(0)，求.解解：=1+ln 1+ln ln 例例 9.=sin2arctan2 1，求.解解：=(sin2 cos2 2)arctan2 1+sin2(121221 2)=2cos2sin2arctan2 1+121sin2 关键：搞清复合函数结构，由内向外逐层求导关键：搞清复合函数结构，由内向外逐层求导 例例 10.设=12arctan1+2+14ln1+2+11+21，求.解解：=1211+(1+2)21+2+14(11+2+11+211+211+2)=121+2(12+212)基础精讲讲义（数学三）4 1 =1(2+3)1+2 例例 11.设()=(1)(2)(99)，求(0).解解：方法 1.利用导数定义.(0)=lim0()(0)0=lim0(1)(2)(99)=99!方法 2.利用求导公式.()=()(1)(2)(99)+(1)(2)(99)(0)=99!例例 12.设()=()()，其中()在=处连续，在求()时，下列做法是否正确？因()=()+()()，故()=().正确解法正确解法：由于()=0，故()=lim()()=lim()()=lim()=().例例 13.设=()，其中=()可导，