聚焦指数函数单调性的应用.pdf

聚焦指数函数单调性的应用陆玉婷(新疆托克逊县第二中学新疆吐鲁番)摘 要:单调性是函数的重要性质之一而指数函数的单调性更是尤为重要.对于指数函数()当 时它在实数集 上单调递增当()时它在实数集 上单调递减.由此可见指数函数的单调性并不复杂但它的应用却不简单它可以用来比较大小、求函数的定义域、求函数的最值或值域、求参数的值或范围、解方程或证明不等式还可以解决综合性问题.关键词:指数函数单调性应用 学习函数的目的之一就是利用函数的性质解决有关问题.在函数的众多性质中单调性最引人注目.指数函数更是如此.我们知道对于指数函数 ()当 时它在 上是增函数当()试比较实数 与 的大小.分析:不等式两边的底数相同要比较指数的大小关键考察底数与 的大小关系.解:由于()所以函数()()在 上是增函数又因为()()所以.点评:本例是指数函数单调性的逆向应用.利用指数函数单调性比较两数的大小前提条件必须是底数相同且能与 比出大小否则需分类讨论或引进第三个量进行比较.由单调性求函数的定义域 对于某些与指数函数复合的函数求它的定义域时往往要转化为不等式这时需用到指数函数的单调性.例 求函数 的定义域.分析:由于函数解析式中含有二次根号所以被开方的部分必须大于或等于零.解:要使 有意义只需 即()().因为 所以 故只需 即.由于函数 在 上是增函数故只需满足 即可故原函数定义域是).点评:这种方法一般用于解决含有指数函数的式子定义域问题体现了指数函数单调性的逆向应用.由单调性求函数的最值或值域 对于一类与指数函数复合的函数(或称其为指数型函数)的值域或最值问题往往可以将其分解成两个函数其中一个为指数函数而另一个为其它的初等函数.根据复合函数的性质可以把另一个初等函数的值域看成指数函数的定义域这样就很容易依据指数函数的单调性来求出原函数的最值或值域.例()函数 ()的最大值是 ()若函数 ()()有最大值 则 .分析:()这个函数由指数函数与二次函数复合而成二次函数的值域就是指数函数的定义域()由复合函数的单调性得出()应有最小值再由二次函数的性质得出 的值.解:()函数 ()定义域为()令 因为()在 上单调递减故欲求函数 ()的最大值只需求出 的最小值.又()数学之友 年第 期.所以函数()的最大值为()故填答案:.()令()则()()().因为()有最大值 所以()应有最小值.由此解得 故填答案:.点评:这种方法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值(值域)问题求解的关键是将其分解成两个函数:内函数与外函数.再考虑两个函数的单调性和外函数的值域这里都要用到指数函数的单调性.由单调性求参数的值或范围 对于含参数的指数型不等式恒成立或能成立问题一般采用参变量分离法转化为函数的最值问题这里往往要用到指数函数的单调性.例()已知()在(上恒成立则实数 的最小值是 .()已知函数()()()()若对于任意的 总存在 使得()()成立则实数 的取值范围为 .分析:()将 不 等 式 等 价 转 化 为 ()求出右端函数在(上的最小值即可()若对任意 存在 使得()()成立只需()()分别利用单调性求出两个函数的最小值即得.解:()因为()在(上恒成立即()因为()在(上单调递减所以()即()所以即 所以实数 的最小值为故填答案:.()因为 对于()当()时()单调递减当()时()单调递增故()()所以存在 使得()成立.令()则存在 使得 成立即 成立所以().又()所以()所以.故填答案:.点评:由于这类问题归根到底是转化为与指数函数值域有关的问题所以问题的解决通常离不开指数函数的单调性的应用.如本例中用到了指数函数()的单调性.由单调性解方程或证明不等式 函数的单调性既体现了函数值的大小关系同时又体现了自变量与函数值之间的一一对应关系因此它可以用来求解与指数式有关的方程和不等式.例 ()解方程:()证明不等式:故原不等式等价于()()故()()即不等式()()()()()()则不等式()()的解集为 .分析:根据三个结论构造指数函数然后利用该指数函数的单调性解抽象函数不等式.解:因为函数()均满足题中的三个结论不妨令()因为该函数为增函数故由()()得 即 解得 或()的解集为()()故填答案:()().点评:对于与抽象函数问题有关的填空题为了省去推理的麻烦快速解决问题往往可以根据题中提供的函数性质找到一个对应函数再利用这个函数的性质来解决相关问题.比如本例就是构造了一个简单的指数函数.一般来说构造的函数越简单越好.从以上几类问题的分析中不难发现在数学解题中与指数形式有关的不等式问题通常是考查指数函数的单调性因此破解这类问题的关键是构造恰当的指数函数并利用它的单调性转化为不等式求解.(上接第 页)惯教师首先要有良好的习惯.要想让学生把答题做得干净整洁老师就不能在黑板上乱涂乱画要想让学生有更多的想法就不能在课堂上只讲一种解决问题的方法.其次关注学生的课堂学习习惯引导学生掌握正确的学习方法.例如上课前学生应准备好数学课上要准备的所有书籍或资料上课时保持安静端坐认真听老师和学生的发言积极发言小组讨论或交流中大家应各抒己见互相讨论、总结教师提问时要主动举手回答学习目标要设定学习时间要有条理地规划遇到难题要请教别人要有每门课的错题本遇到错题绝不放过掌握一些常用的学习策略.第三与家长合作.家庭也是学生学习数学的重要场所.因此教师应与家长保持沟通和联系必要时配合家长帮助学生养成良好习惯.学校重视自主学习积极贯彻新课标的要求 要落实新课程标准的相关要求学校必须依靠教师来实现.教师只有具备相应的教育理念才能逐步实现目标.在这些思想的指导下结合教学实践每个教师都有自己独特的见解.数学教师可以相互探讨自己的听课经历和体会谈谈实际教学中遇到的困惑看看其他老师是如何处理的分享自己的有效方法共同进步.如果小学生能理解数学的乐趣获得数学学习的成就感在老师表扬自己或理解数学的意义和作用时并以此为学习和探索数学的乐趣当他们获得这些丰富而积极的情感体验时才算是开始真正的自主学习.因此学校有必要不时开展各种数学活动在这些活动中学生可以培养对数学的兴趣体会数学文化的博大精深.参考文献:侯学萍朱亚丽.初中生数学自主学习能力研究.教学与管理():.赵蒙成朱苏.小学低年级数学自主学习能力调查与提高策略 基于淮安市某小学的案例研究.宁波大学学报(教育科学版)():.竺仕芬.中小学生数学自主学习能力培养途径的研究.宁波大学学报(教育科学版)():.裴红冰张国楚.数学自主学习能力培养模式探研.数学教育学报():.杨乐生.再谈小学生数学自主学习能力的培养.四川教育学院学报():.裴红冰.数学自主学习能力及其培养模式的研究.太原教育学院学报():.数学之友 年第 期