矩阵最高阶非零子式的精确定位法.pdf

SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯 2023 NO.18 科 学 研 究科技资讯SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION矩阵最高阶非零子式的精确定位法范飞亚 杨泽辉 龙全贞(武警海警学院 浙江宁波 315801)摘要：该文对矩阵的最高阶非零子式进行了探讨，分析了在初等行变换下，矩阵的最高阶非零子式如何变化，进而给出了寻找最高阶非零子式的一种普适算法。从矩阵秩的定义出发，利用初等行变换把一个矩阵化成行阶梯形矩阵；根据行阶梯形矩阵，可以看出原矩阵的最高阶非零子式所在的大致位置；再利用初等行变换的逆变换，逐步定位出原矩阵的最高阶非零子式的精确位置。关键词：矩阵的秩 初等行变换 初等变换的逆变换 最高阶非零子式中图分类号：O151.21文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2023)18-0207-04The Precise Positioning Method of the Highest-order Nonzero Subexpression of the MatrixFAN Feiya YANG Zehui LONG Quanzhen(China Coast Guard Academy,Ningbo,Zhejiang Province,315801 China)Abstract:This paper discusses the highest-order nonzero subexpression of the matrix,analyzes how the highest-order nonzero subexpression of the matrix changes under elementary row transformation,and then gives a universal algorithm to find the highest-order nonzero subexpression.Starting from the definition of the rank of matrix,this paper uses elementary row transformation to transform a matrix into a row ladder matrix,and the approximate position of the highest-order nonzero subexpression of the original matrix can be seen according to the row ladder matrix,and then,it uses the inverse transformation of elementary row transformation to gradually locate the exact position of the highest-order nonzero subexpression of the original matrix.Key Words:Rank of matrix;Elementary row transformation;Inverse transformation of elementary transformation;Highest-order nonzero subexpression矩阵的秩是代数学中一个基本的概念，在解决线性方程组的求解、向量组的线性相关性等相关问题上都有着重要的应用1-2。教材通常是用非零子式的最高阶数来定义矩阵的秩，且概念比较抽象，不易于理解3-4。大部分学生知道要去寻找最高阶非零子式，来计算矩阵的秩，但是却不知道如何寻找。蔡慧萍等人5与陈洪海等人6对最高阶非零子式的求法进行了粗略探讨，给出了用初等行变换寻找最高阶非零子式的简易算法，但是没有给出严格的证明与精确的求解步骤。本文阐述了最高阶非零子式在初等行变换下是如何变化的，进而给出用初等行变换的逆变换精确定位最高阶非零子式的方法。DOI：10.16661/ki.1672-3791.2212-5042-6387作者简介：范飞亚（1990），男，硕士，助教，研究方向为代数学。龙全贞（1963），男，硕士，副教授，研究方向为大学数学。207SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯科 学 研 究 2023 NO.18 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯1 概念准备1.1 初等行变换以下3种变换称为矩阵的初等行变换7。（1）对换两行（对换i、j两行，记作rirj）。（2）以数k0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记作rik）。（3）把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）。1.2 行阶梯型矩阵引理 设A与B行等价，则A与B中非零子式的最高阶数相等8。非零矩阵若满足以下条件：（1）非零行在零行的上面；（2）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵9。1.3 矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)10。2 最高阶非零子式的精确定位法设Bmn经过一次初等行变换化为矩阵Amn(1ijrstm)，由引理知，B与A非零子式的最高阶数相等。Amn=a11a1ra1nai1airainaj1ajrajnar1arrarnas1asrasnat1atratnam1amramn假设A的左上角r阶子式Ar为其最高阶非零子式，下面从初等行变换的3种变换来说明如何精确定位原矩阵B的最高阶非零子式Br。2.1 对换两行（1）当B经过第i行与第j行互换形成A，此时A的第i行与第j行互换便形成B，且有Br=|a11a1raj1ajrai1airar1arr因Ar0，故有Br0。（2）当B经过第i行与第t行互换形成A，此时A的第i行与第t行互换形成B，且有Br=|a11a1rai-11ai-1rai+11ai+1rar1arrai1air因Ar0，故有Br0。（3）当B经过第s行与第t行互换形成A，此时A的第s行与第t行互换形成B，且有Ar=Br0。2.2 某一行的k倍（k0）（1）当B经过第i行的k倍形成A，此时A的第i行乘以1k形成B，且有Br=|a11a1r1kai11kairaj1ajrar1arr=1kAr因Ar0，k0，故有Br=1kAr0。（2）当B经过第s行的k倍形成A，此时A的第s行乘以1k形成B，且有Ar=Br0。2.3 某一行的k倍加到另一行上（1）当B经过第j行的k倍加到第i行形成A，此时A的第j行的-k倍加到第i行上形成B，且有Ar=Br0。（2）当B经过第i行的k倍加到第s行形成A，此时208SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯 2023 NO.18 科 学 研 究科技资讯SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATIONA的第i行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br0。（3）当B经过第t行的k倍加到第s行形成A，此时A的第t行的-k倍加到第s行上形成B，且有Ar=Br0。（4）当B经过第t行的k倍加到第i行形成A，此时A的第t行的-k倍加到第i行上形成B：Br=|a11a1rai1-kat1air-katraj1ajrar1arr=Ar-k|a11a1rat1atraj1ajrar1arr=Ar-kDr，B*r=|a11a1rai-11ai-1rai+11ai+1rar1arrat1atr其中：Dr的绝对值与B的r阶子式B*r的绝对值相等。因为Ar=Br+kDr0，故要么Br0，要么Dr0。从而Br与B*r至少有一个是B的最高阶非零子式。3 例题讲解求：矩阵B=2-1-11211-2144-62-2436-979的一个最高阶非零子式。解法一：对矩阵B进行初等行变换。B=2-1-11211-2144-62-2436-979r1r2 11-2142-1-1124-62-2436-979B1r32 11-2142-1-1122-31-1236-979B2r2-r3 11-21402-2202-31-1236-979B3 r3-2r1 11-21402-2200-55-3-636-979B4 r4-3r1 11-21402-2200-55-3-603-34-3B5 r22 11-21401-1100-55-3-603-34-3B6 r3+5r2 11-21401-1100002-603-34-3B7r4-3r2 11-21401-1100002-60001-3B8r3r4 11-21401-1100001-30002-6B9r4-2r3 11-21401-1100001-300000A因为初等行变换是可逆的11，则有A r4+2r3B9 r3r4B8 r4+3r2B7 r3-5r2B6r22B5 r4+3r1B4 r3+2r1B3r2+r3B2r32B1 r1r2B又因初等行变换不改变列向量组的线性关系11，于是可通过A的最高阶非零子式反向定位B的最高阶非零子式。在A中，选定它的最高阶非零子式D10=|111011001，可知B9中的最高阶非零子式D9=|111011001，B8中的最高阶非零子式D8=|111011001，B7中的最高阶非零子式209SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯科 学 研 究 2023 NO.18 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯D7=|111011034，B6中的最高阶非零子D6=|111011034，B5中的最高阶非零子式D5=|111022034，B4中的最高阶非零子式D4=|111022367，B3中的最高阶非零子式D3=|111022367。在B2中，令D2=|1112-11367，D*2=|1112-3-1367，则有D2-D*2=D30，故必有D2或者D*2不为0，经计算，知D2与D*2都不为0。若以D2作为B2的最高阶非零子式，B1中的最高阶非零子式D1=|1112-11367，B中的最高阶非零子式D=|2-11111367。若以D*2作为B2的最高阶非零子式，B1中的最高阶非零子式D*1=|1114-6-2367，B中的最高阶非零子式D*=|1114-6-2367。在上述例题中，通过初等行变换的逆变换11，可从矩阵A一步步走回原矩阵B，进而定位出最高阶非零子式。实际上，还可以简化计算。在A中，D10位于A的第一列、第二列、第四列的子块中，因此只需要对A的这个子块进行分析就可以。解法二：令A=111011001000B=2-111114-6-2367，对A施行初等行变换的逆变换。则有A r4+2r3B9 r3r4B8 r4+3r2B7 r3-5r2B6r22B5 r4+3r1B4 r3+2r1B3r2+r3B2r32B1 r1r2B同解法一分析过程，则有D=|2-11111367与D*=|1114-6-2367为B的最高阶非零子式，又因为B是B子块，B的秩为3，故D与D*也是B的最高阶非零子式。4 结语寻找一个矩阵的最高阶非零子式，只需把矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。写出行阶梯形矩阵到原矩阵的所有逆变换，接着在行阶梯形矩阵中选定一个最高阶非零子式，根据逆变换，逐步定位出原矩阵的最高阶非零子式。正是如此，可以让学生对矩阵的最高阶非零子式更加清晰明了，对矩阵秩的定义理解更透彻。参考文献1 任芳国,王甜甜.关于矩阵秩的重要性质及应用J.高等数学研究,2022,25(5):28-31.2 霍丽君.线性代数教学方法的一些思考与探索J.科技创新导报,2018,15(21):241-242.3 黄述亮.关于矩阵秩的几个重要不等式J.辽东学院学报(自然科学版),2021,28(1):61-65.4 黄莉,吴纯.翻转课堂在线性代数教学中的应用探究J.文化创新比较研究,2019,3(17):95-96.5 蔡慧萍,钱凌志.矩阵的最高阶非零子式的一种简易求法J.科技信息,2010(14):508.6 陈洪海,孙璐,朱捷.最高阶非零子式的简便算法J.高师理科学刊,2012(32):81-82.7 陈小燕.矩阵初等变换的应用举例J.科技风,2021(2):17-18.8 张凤霞,宋颖.矩阵秩的定义教学设计新探J.创新创业理论研究与实践,2022,5(3):35-37.9 朱晨晨,俞佳莉,李梓萱,等.行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵的相关应用J.内江科技,2022,43(11):60-61,8.10 王继强.矩阵的“秩”探源J.高等数学研究,2020,23(4):88-89.11 同济大学数学系.线性代数M.6版.北京:高等教育出版社,2014.210