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专题3 导数定义中的解题方法(紧密).pdf
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专题3 导数定义中的解题方法紧密 专题 导数 定义 中的 解题 方法 紧密
考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心(高数上册核心(进阶进阶)1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 3 导数定义中的解题方法(紧密)以下的 6 个考法,涵盖了过去 37 年考研数学的导数定义中几乎所有的重要考法吃透,高分吃透,高分!一、复杂函数在具体一点处的导数一、复杂函数在具体一点处的导数.2 二、抽象函数可导性的判断二、抽象函数可导性的判断.2 三、证明一个函数可导三、证明一个函数可导.2 四、分段函数在分段点的导数四、分段函数在分段点的导数.3 五、抽象函数的极限能洛必达吗?能洛几次?五、抽象函数的极限能洛必达吗?能洛几次?.3 六、导函数本身具有的独特性质六、导函数本身具有的独特性质.3(一)导函数没有第一类间断点和无穷间断点.3(二)导数极限定理.4(三)导数零点定理(达布定理).4 六、绝对值函数的可导性六、绝对值函数的可导性.4 配套作业配套作业.5 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心(高数上册核心(进阶进阶)2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、复杂函数在具体一点处的导数一、复杂函数在具体一点处的导数 例题例题 1(2012 年)设,则()类题(李艳芳,900 题改编),则 .二、抽象函数可导性的判断二、抽象函数可导性的判断 例题例题 2(2001 年)设,则在点可导的充要条件为()类题(李艳芳,900 题)设,则在点可导的充要条件为()注注:以上两题,如果已知存在,那么 D 选项的极限就都可以拆开,并且可凑成导数定义.例题例题 3(1996 年)设在内有定义,时有,则必是的()类题(汤家凤,1800 题)设在的邻域内有定义,求.三三、证明一个函数可导、证明一个函数可导 例题例题 4(徐兵,证明题 500 例)设函数,在有定义,且同时满足以下两个条件:(1);(2).证明:可导,且.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心(高数上册核心(进阶进阶)3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 四四、分段函数在分段点的导数分段函数在分段点的导数 例题例题 4(李正元,复习全书)设在具有一阶连续的导数,存在.若,求并证明在连续.例题例题 5(李正元,复习全书),求并讨论是否存在?例题例题 6(2016 年)已知函数,则()五五、抽象函数的极限能洛必达、抽象函数的极限能洛必达吗?能洛吗?能洛几次?几次?例题例题 7(张宇,1000 题)已知二阶可导,下列说法中,正确的个数是()六六、导函数本身具有的独特性质、导函数本身具有的独特性质(一)导函数没有第一类间断点和无穷间断点(一)导函数没有第一类间断点和无穷间断点 例题例题 8(导函数的间断点)若在区间 上处处可导,且导函数为.(1)请举例:可以有振荡间断点;(2)请证明:不存在第一类间断点和无穷间断点.类题(李永乐,复习全书)设在的某邻域内定义,在的某去心邻域可导,则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心(高数上册核心(进阶进阶)4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书(二)导数极限定理(二)导数极限定理 例题例题 9(导数极限定理,2009 年)证明下列“导数极限定理”设在连续、在的去心邻域可导,且,则存在,且.注注:类似的,还有“单侧导数极限定理”.(三)导数零点定理(达布定理)(三)导数零点定理(达布定理)例题例题 10(导数零点定理)证明:导函数即使不连续,仍然满足“零点定理”,即 设在区间可导,且,则,使得.注注:该定理的重要推论若在区间 上可导,且,则必有或,故一定严格单调!例题例题 11(导数介值定理)证明:导函数即使不连续,仍然满足“介值定理”,即 设在可导,为介于和之间的任意实数,则,使得.注注:该定理的重要推论若在区间 上可导,且,则必有或.六六、绝对值函数的、绝对值函数的可导性可导性 例题例题 12(李永乐,660 题)设在处可导,则在点处不可导的充分必要条件是()例题例题 13(1998 年)函数的不可导点的个数是()注注:绝对值函数,本质上也可以看成是分段函数,其分段点也就是绝对值里的函数的零点.类题(李永乐,660 题)函数在上不可导点的个数为()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心(高数上册核心(进阶进阶)5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 配套作业配套作业 作业作业 1(李林,880 题),则 .作业作业 2(李永乐,330 题)设在的某邻域有定义,则极限存在 是在处可导的 条件.作业作业 3(李艳芳,900 题),则使得连续的最高阶数 等于 .作业作业 4 函数的不可导点是 .作业作业 5(汤家凤,1800 题)设存在,求 作业作业 6 设,其中连续.(1)讨论在点处的连续性与可导性;(2)求.

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