空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析_陈修龙.pdf

实 验 技 术 与 管 理 第 40 卷 第 10 期 2023 年 10 月 Experimental Technology and Management Vol.40 No.10 Oct.2023 收稿日期:2023-05-04 基金项目:山东省一流本科课程建设项目“机械设计基础”（2021-642）；山东省研究生教育优质课程（SDYKC19076）；山东科技大学专业学位研究生教学案例库建设项目（2020-17）；山东科技大学优秀教学团队建设计划项目（JXTD20180502）作者简介:陈修龙（1976），男，河北沧州，博士，教授，博士生导师，主要从事机器人机构学理论与应用、机械动力学的研究，。通信作者:邓昱（1977），女，河北保定，硕士，实验师，主要从事机械设计及动力学的研究，。引文格式:陈修龙，杨伟涛，邓昱.空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析J.实验技术与管理,2023,40(10):128-134.Cite this article:CHEN X L,YANG W T,DENG Y.Dynamic modeling and simulation analysis of spatial parallel pointing mechanism experimental platformJ.Experimental Technology and Management,2023,40(10):128-134.(in Chinese)ISSN 1002-4956 CN11-2034/T DOI:10.16791/ki.sjg.2023.10.019 空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析 陈修龙，杨伟涛，邓 昱（山东科技大学 机械电子工程学院，山东 青岛 266590）摘 要：为了提高学生的动力学建模和分析能力，基于 3 自由度 3-转动副-转动副-转动副-转动副-转动副（3-RRRRR）空间并联指向机构实验平台，开展动力学建模与仿真分析研究。首先，分析 3-RRRRR 空间并联指向机构实验平台的结构特征，建立并联指向机构平台的运动学模型；然后，利用拉格朗日乘子法推导并联指向机构平台的刚体动力学模型，基于四阶龙格库塔（Runge-Kutta）算法求解机构平台动力学模型，通过数值仿真分析不同驱动速度对并联指向机构平台动力学响应的影响；最后，采用 ADAMS 虚拟样机仿真验证动力学模型及模型求解的正确性。该研究为空间并联机构实验平台刚体动力学建模和仿真分析提供了有效方法，为机构动力学分析与控制奠定了理论基础。关键词：空间并联指向机构；实验平台；动力学建模；仿真分析 中图分类号：TH112 文献标识码：A 文章编号：1002-4956(2023)10-0128-07 Dynamic modeling and simulation analysis of spatial parallel pointing mechanism experimental platform CHEN Xiulong,YANG Weitao,DENG Yu(College of Mechanical and Electronic Engineering,Shandong University of Science and Technology,Qingdao 266590,China)Abstract:In order to improve students dynamic modeling and analysis abilities,aiming at a 3-degree-of-freedom 3-revolute joint-revolute joint-revolute joint-revolute joint-revolute joint（3-RRRRR）spatial parallel pointing mechanism experimental platform,the dynamic modeling and simulation analysis is studied.Firstly,the structural characteristic of the 3-RRRRR spatial parallel pointing mechanism platform is analyzed,and the kinematic model is established.Then,The rigid-body dynamic model of the parallel pointing mechanism platform is derived by using the Lagrange multiplier method,and the dynamic model of the mechanism platform is solved based on the fourth order Runge-Kutta algorithm.The influence of different driving speed on the dynamic response of the parallel pointing mechanism platform is analyzed by numerical simulation.Finally,the virtual prototype simulation by ADAMS is used to verify the correctness of the dynamic model and its solution.The researches provide a method for rigid body dynamics modeling and simulation analysis of spatial parallel mechanisms platform,and lay a theoretical foundation for mechanism dynamics analysis and control.Key words:spatial parallel pointing mechanism;experimental platform;dynamic modeling;simulation analysis 随着机械装备向高速、高加速和高性能方向发展，对学生动力学建模和分析能力的要求越来越高，特别是采用理论计算与软件分析相结合来解决实际复杂机械系统的动力学问题，是当前学生能力培养中的重要 陈修龙，等：空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析 129 内容之一。并联指向机构实验平台是一种能够完成空间定位功能的复杂并联机构，可以实现对目标的实时跟踪、定位等功能，相较于传统的串联指向机构平台，并联指向机构平台因其运动精度高、稳定性好以及承载能力强等特点被广泛应用1-2。由于并联指向机构平台是典型的并联多体系统，其刚体动力学的建模和分析过程比较复杂。因此，研究并联指向机构实验平台的刚体动力学建模和仿真分析方法，对培养学生的动力学建模及分析能力具有重要意义。目前并联机构刚体动力学建模方法主要有牛顿-欧拉法、凯恩法、虚功原理、第二类拉格朗日法和Udwadia-Kalaba（U-K）等。李永泉等3以 4-RPTP 空间被动过约束并联机构为研究对象，采用牛顿-欧拉法结合补充变形协调方程建立了该机构的动力学模型；Tan 等4为研究不同间隙数量对曲柄滑块机构动力学响应的影响，基于牛顿-欧拉法构建了机构的动力学模型，通过仿真和实验对比验证了搭建模型的正确性，并分析了间隙数量对机构动力学响应的影响；Chen 等5以 2RPU-RPS-UPS 过约束并联机构为研究对象，分别利用虚功原理和牛顿-欧拉法建立了机构的动力学模型；umnu 等6以 Stewart 平台为研究对象，通过牛顿-欧拉法和拉格朗日乘子法建立了机构的动力学模型。Asadi 等7提出一种利用凯恩法求解 Stewart 平台机械臂逆动力学的算法；王丹等8利用凯恩法建立 6-UPS并联机构的动力学模型，并利用最小二乘法对动力学模型进行了动力学参数辨识。Abadi 等9介绍了3-RPRR 冗余并联机构的结构特征并对其进行运动学分析，通过虚功原理建立其动力学模型；贾凯凯等10利用虚功原理建立 4 自由度并联机构的动力学模型，并对其进行了仿真验证。Xin 等11提出了一种结合拉格朗日公式和虚功原理的逆动力学求解方法，并建立了 3 自由度非冗余空间并联机构的动力学方程；张洪等12以 3T 并联机构为研究对象，运用拉格朗日方程建立三支链柔性变形情况的机构弹性动力学方程；洪振宇等13以一种具有一平动两转动自由度的新型并联飞行模拟运动平台为对象，采用拉格朗日方法建立动力学模型；Chen 等14利用拉格朗日乘子法建立了含干摩擦混合间隙二自由度平面九连杆机构动力学方程。拉格朗日乘子法是多体系统刚体动力学建模的有效方法之一，它通过运动副的约束关系建立机构的动力学方程，特别适用于复杂并联机构多体系统的动力学建模，有较强的通用性。因此，本文以并联指向机构实验平台为研究对象，基于拉格朗日乘子法建立 3自由度 3-转动副-转动副-转动副-转动副-转动副（3-RRRRR）并联指向机构平台的动力学模型，通过龙格库塔法对模型求解，基于数值仿真分析驱动速度对指向机构动力学的影响，并通过 ADAMS 虚拟样机仿真分析验证动力学模型和分析结果的正确性，为解决空间并联机构这类复杂多体系统的刚体动力学建模分析问题提供了有效方法。1 并联指向机构实验平台刚体动力学建模 1.1 并联指向机构平台的结构特征描述 3-RRRRR 并联机构实验平台由定平台、动平台和三条运动支链组成，其三维模型如图 1 所示，该机构各构件之间均通过转动副连接，驱动装置安装在连接驱动杆和定平台的转动副上。图 1 3-RRRRR 并联机构平台三维模型 3-RRRRR 并联机构平台属于闭环机构，可采用Cruber-Kutzbch 公式来计算其自由度 F：()161niiFknf=?+（1）式中，k 为构件总数，n 为运动副总数，if为第 i 个运动副的自由度。通过分析图 1 可知，14k=，15n=，115niif=，故机构自由度为614 15 1()153F=?+=。该机构平台的自由度为 3，与其驱动数相等，故该机构平台具有确定的运动，可以实现 Z 方向的移动和沿 X、Y 两个轴线的转动，见图 2。由图 2 可知，定平台编号为 0，驱动杆分别编号为 1、2、3，与驱动杆相连的传动杆分别编号为 4、5、6，第二组传动杆分别编号为 7、8、9，第三组传动杆分别编号为 10、11、12，动平台编号为 13。每条支链有 5 个转动副，从定平台到动平台依次命名为 Rij(i=1,2,3，j=1,2,3,4,5)，其中 Rij(i=1,2,3，j=1)为驱动转动副，对应的驱动角为i(i=1,2,3)。定坐标系 O0 x0y0z0建立在定平台的质心处，x0轴与 R21R31连线垂直，z0轴垂直于定平台，方向竖直向上，y0轴符合右手定则，转动副 Rij(i=1,2,3；j=1)分布在以 O0为圆心、r0为半径的圆上,呈/3 角均匀分布；动坐标系 O13x13y13z13建立在动平台的质心处，x13轴与 R25R35连线垂直，z13轴垂直于动平台，方向竖直向上，y13轴符合右手定则，转动副 Rij(i=1,2,3；j=5)分130 实 验 技 术 与 管 理 布在以 O13为圆心、r0为半径的圆上,呈/3 角均匀分布；局部坐标系 Okxkykzk(k=1,2,12)建立在各驱动杆和传动杆的质心处（近似假设杆件的质心位于其长度的中心）。驱动杆和传动杆的长度为 lk(k=1,2,12)，质量为 mk(k=1,2,12)，动平台的质量为 m13。图 2 3-RRRRR 并联机构平台结构简图 1.2 并联指向机构平台的运动学建模 由于该机构平台结构对称，故动坐标原点在定坐标系下的位置矢量 O0O13被转动副 R13、R23和 R33的中心点所形成的平面平分且与该平面垂直，假设 P 点为矢量 O0O13与此平面的交点，则 0133(1,2,3)ii=R PO O （2）由上式可得 T3()(1,2,3)ii?=0PRP=（3）转动副中心点的坐标为 3014014T14()sin)cos()sin)sin()cos)iiiiiirllrllll=+R（4）式中，2=(1(1,2,3)3iii?=)，为局部坐标系kkkkOx y z 1,)3(2,k=相对定坐标系000 0Ox y z沿0z轴的旋转角度；i(i=1,2,3)为驱动角。设动坐标系原点坐标为Q，则P点坐标为 2=QP（5）将式（4）和（5）代入式（3）中，并将其转化成三角函数式，即sincos0iiiiiabc+=，则驱动角i为 2222arctaniiiiiiiaa+bc=cb（6）式中，ai，bi，ci为系数。1.3 并联指向机构平台的刚体动力学建模 拉格朗日乘子法用广义坐标描述系统的约束关系，建立机构平台的动力学方程，该方法中机构平台的约束方程求解比较简单，通用性较强，本文通过拉格朗日乘子法建立机构平台的动力学方程。动 坐 标 系 和 局 部 坐 标 系 的 姿 态 可 通 过Z YX顺序的欧拉角变换表示，转换矩阵可表示为()()()()cossin0cos0 sin100sincos00100 cossin001sin0 cos0 sincoscos coscos sincos sin sinsin sincos cos sincos sincos cossin sin,=Z,Y,X,=+|RRRRsincos sincos sin sinsincos sincosos c+|（7）式中，为沿Z轴的旋转角度；为沿Y轴的旋转角度；为沿X轴的旋转角度。为了准确描述机构平台的运动状态，通过各个活动构件局部坐标系原点在定坐标系下的坐标和欧拉角来表示机构的位置和姿态。3-RRRRR并联机构有13个活动构件，机构平台的广义坐标为 TTTTTTTTTTTTTT12345678910111213()=qqqqqqqqqqqqqq 式中，TT T()kkk=qr，T()kkkkxyz=d，(kkk=T)(1,2,13kk=）。kd是活动构件k局部坐标原点在定坐标系中的位置矢量，k 是活动构件k局部坐标系相对于定坐标系的欧拉角。图3为转动副约束示意图，转动副连接构件i和构件j，P点为转动副的中心点，Oixiyizi和Ojxjyjzj分别为构件i和构件j上的局部坐标系，oPi和oPj分别为P点在局部坐标系Oixiyizi和Ojxjyjzj中的位置矢量，id和dj分别为局部坐标系Oixiyizi和Ojxjyjzj的坐标原点在定坐标系下的位置矢量，ei和ej分别为局部坐标系Oixiyizi和Ojxjyjzj中沿旋转轴线方向的单位矢量。为限制两构件间3个方向的相对移动，使两构件转动副的中心点在定坐标系下的位置矢量重合。为限制两构件间两个方向的相对转动，使构件i和构件j沿旋转轴线方向的单位矢量共线，则约束方程为 5 1=()()iiPPii ijjjRij+?|0edR odReoRR （8）式中，iR和Rj分别为局部坐标系Oixiyizi和Ojxjyjzj相对于定坐标系的转换矩阵。在3-RRRRR并联机构平台中转动副R11的中心点在定坐标系下的位置矢量为 T110000r=R（9）在局部坐标系中的位置矢量为 1111T00/2l=?R（10）陈修龙，等：空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析 131 图 3 转动副约束示意图 式中，l1表示驱动杆的长度。由式（8）第一式得转动副的约束关系 1101(,3)1111113 1R=?=0RdR R （11）式中，11(,3)R 表示转动副R11的3个位置约束方程。转动副11R在定平台的位置如图4所示，其中011e为转动副11R在定坐标系下沿旋转轴线方向的单位向量，111e为转动副11R在局部坐标系O1x1y1z1下沿旋转轴线方向的单位向量，011e表示为 T011010=?e 111e表示为 T111100=e 由式（8）第二式得转动副的约束关系 1101(,2)111 112 1()R=0eR e （12）结合式（11）和式（12）得到转动副R11的约束方程为 111111(,3)5 1(,2)=RRR|0 （13）图 4 定平台运动副位置示意图 同理可求得转动副Rij(i=I,2,3;j=1,2,3,4,5)处的约束方程为 ()(),35 1,2=ijijijRRR|0 （14）为进行动力学分析，对动平台进行运动轨迹的规划，并求解出驱动角位移i(i=1,2,3)，则机构平台的驱动约束方程为 11D223 133=?|?|?0 （15）则3-RRRRR并联机构平台理想约束方程为 111213141521222324253132333435TTTTTTTTT78 1TTTTTTTT)=DRRRRRRRRRRRRRRRRq|(|0（16）式（16）对时间求一阶导得速度约束方程为 qt=?q （17）式中，q 为机构刚体约束方程的雅可比矩阵；?q为广义速度矢量。式（16）对时间求二阶导得加速度约束方程为 2qqqttt=?()qqq qq （18）式中，?q为广义加速度矢量；()q?qq 表示q?q 对广义坐标q的一阶导数；qt 表示q 对时间的一阶导数；tt 表示t 对时间的一阶导数；表示加速度约束方程的右侧。各构件k局部坐标原点的质量矩阵为 diag (1,2,13)kkkkmmmk=M（19）各构件k局部坐标原点的转动惯量矩阵为 diag(1,2,13)kxxkyykzzkIIIk=J （20）Ixx，Iyy，Izz分别为沿X、Y、Z轴的转动惯量。则3-RRRRR并联机构平台活动构件对应的总的质量矩阵为 11221313diag =MMJMJMJ （21）机构平台动力学方程为 Tq+=?MqF （22）式中，为拉格朗日乘子。广义力矢量F为 12 kT=FFFF （23）式中，0 0 0 0 0(1,213)kkm gk=?=，F。由式（18）和（22），建立3-RRRRR并联机构平台的理想刚体动力学方程为 2ab2qqT=|?|0?FMq（24）式中，a和b表示大于0的修正参数，ddt=?。132 实 验 技 术 与 管 理 2 并联指向机构实验平台动力学数值仿真分析 2.1 动力学求解流程和仿真参数 通过MATLAB对该机构平台的刚体动力学方程进行数值求解，3-RRRRR并联机构平台刚体动力学方程的具体求解流程如图5所示，其中具体求解步骤如下：图 5 并联机构平台刚体动力学方程求解流程图 （1）输入机构平台的结构参数及初值。输入机构的结构参数，包括机构平台各活动构件的质量、转动惯量、长度以及动平台的运动轨迹等。输入机构平台在初始状态时各活动构件的广义坐标和广义速度。（2）动力学方程的求解。计算动力学方程中的雅克比矩阵和质量矩阵等，基于四阶Runge-Kutta算法，利用MATLAB软件的Ode45求解器进行数值积分，求解机构的动力学方程，从而得到动平台输出响应,?q q q。（3）仿真时间的判断。如果未达到终止时间tend则求解过程将继续进行，即返回步骤（2）继续进行仿真运算过程；如果达到终止时间则整个求解过程结束。通过MATLAB进行数值求解和ADAMS进行虚拟样机仿真时，3-RRRRR并联机构平台各构件的结构参数和仿真参数如表1所示。在对并联机构平台进行动力学分析之前必须规划机构动平台的运动轨迹，为了使动平台的运动轨迹具有较好的周期性且便于分析，动平台的运动轨迹可以表示为 0.180.02sin()0.1sin()=0Ztt=+|=|（25）式中，为驱动速度。2.2 驱动速度对机构平台动力学响应的影响 为了研究不同驱动速度对机构平台的动力学响应的影响，对不同驱动速度时动平台的动力学响应曲线进行了对比分析。动平台的运动轨迹如式（25）所示，驱动速度分别取0.8、和1.2，求解得到的动力学响应曲线如图6所示。图6为不同驱动速度时机构动平台的位移、速度和加速度对比曲线，通过分析可知，随着驱动速度的增大，动平台位移的幅值不变，即Z方向的位移保持在0.16,0.2 m的范围内，方向的位移保持在0.1,0.1 rad的范围内，但速度和加速度的幅值会随之增大，从而使机构的稳定性降低，因此在机构平台运动轨迹规划的过程中，要选择合适的驱动速度，从而既保证机构平台的稳定性又提高机构的工作效率。同时，机构平台在不同驱动速度时动平台的位移、速度和加速度曲线与给定轨迹基本重合，从而验证了机构动力学模型的正确性。2.3 刚体动力学模型的虚拟样机仿真分析验证 为验证3-RRRRR并联机构平台刚体动力学模型的正确性，本文将MATLAB中求解得到的结果与ADAMS虚拟样机仿真结果进行了对比分析。在动力学求解过程中，动平台的运动轨迹如式（25）所示，驱动速度=rad/s。在虚拟样机仿真过程中，首先将机构平台的三维模型导入ADAMS中，然后对机构平台所有的运动副建立准确约束并添加驱动函数，最后对模型进行仿真分析并将得到仿真结果导入MATLAB中绘制动力学响应曲线，与MATLAB中所得到的结果进行对比。ADAMS虚拟样机模型如图7所示，仿真对比曲线如图8所示。表 1 3-RRRRR 并联机构平台的结构参数和仿真参数 参数 数值 参数 数值 驱动杆长度13()/mll?0.06 驱动杆转动惯量213/(kg m)?JJ 5553.81 103.76 104.59 10?|传动杆长度412()/mll?0.06 驱动杆质量13()/kgmm?0.108 3 传动杆质量412()/kgmm?0.108 3 传动杆转动惯量2412/(kg m)?JJ 5553.81 103.76 104.59 10?|定平台/动平台外接圆半径0/mr 0.084 动平台质量13/kgm 3.23 定平台转动惯量213/(kg m)J 3327.32 107.32 101.45 10?|动平台在定坐标系下的位置坐标13r0,0,0.18T Baumgarte系数a,b 5 MATLAB积分器 Ode45 陈修龙，等：空间并联指向机构实验平台动力学建模与仿真分析 133 图 6 不同驱动速度机构平台动力学响应曲线 图 7 3-RRRRR 并联机构平台的 ADAMS 虚拟样机仿真模型 如图8所示为MATLAB与ADAMS仿真对比曲线，通过对仿真对比曲线的分析可知，MATLAB和ADAMS求解得到的机构平台动平台的位移、速度和加速度曲线基本一致，并且与给定轨迹高度吻合，两种仿真方法得到的曲线与给定轨迹的误差均在较小的范围内，即两个方向的最大速度误差均在0.000 13 m/s和0.000 38 rad/s内，加速度误差均在0.003 5 m/s2和0.008 6 rad/s2内，从而验证了机构平台理想动力学模型的正确性。图 8 MATLAB 与 ADAMS 仿真对比曲线 134 实 验 技 术 与 管 理 3 结语 本文建立了3-RRRRR空间并联指向机构实验平台的刚体动力学模型，并对其进行了动力学仿真分析，为提高学生的动力学建模和分析能力奠定了基础。首先，分析了机构平台的结构特征，根据其几何关系建立了机构平台的运动学模型；然后，基于拉格朗日乘子法建立了机构平台的理想刚体动力学模型，并通过Runge-Kutta法进行求解；最后，利用数值仿真分析了驱动速度对机构平台动力学的影响，并通过采用ADAMS虚拟样机仿真分析验证了动力学模型的正确性。仿真分析结果表明，随着驱动速度的增大，动平台的位移幅值不变，但速度和加速度的峰值会随之增大，机构平台的稳定性会降低。参考文献(References)1 CHEN X L,YANG W T.Dynamic modeling and analysis of spatial parallel mechanism with revolute joints considering radial and axial clearancesJ.Nonlinear dynamics,2021,106(3):1929?1953.2 孙静，韩雪艳，魏元浩，等.考虑时变间隙的并联指向机构非线性模态分析J.中国机械工程，2021,32(14):1700?1708,1715.SUN J,HAN X Y,WEI Y H,et al.Nonlinear modal analysis of parallel pointing mechanisms considering time-varying clearancesJ.China Mechanical Engineering,2021,32(14):1700?1708,1715.（in 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