考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法.pdf

effect of stiffness andmass.Chinese JournalofheorencalardhplteaMechanics,2023,55(9):1971-1982Fu Junjian,Pengg Tiechuan,Li Ran,Li Shuaihu,Zhou Xiangman,Li Xiang.Structural elastography method considering the coupling引用格式：付君健，彭铁川，李然，李帅虎，周祥曼，李响.考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法.力学学报，2 0 2 3，5 5(9)：1 97 1-1 98 2固体力学Sep.,2023ChineseJournal ofTheoreticalandAppliedMechanics2023年9 月Vol.55,No.9力第5 5 卷第9 期报学学考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法付君健*，彭铁川李然*,什,2)李帅虎周祥曼*李响*，*(水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室，湖北宜昌4 4 3 0 0 2)t(三峡大学机械与动力学院，湖北宜昌4 4 3 0 0 2)*（长江三峡通航管理局，湖北宜昌4 4 3 0 0 2)（武汉理工大学交通与物流工程学院，武汉4 3 0 0 6 3)摘要弹性成像是一种医学影像技术，可以把生物体组织的弹性模量信息转换为可视化图像.为了将弹性成像用于机械结构的损伤识别，实现机械结构缺损、夹杂、结冰和积水多种损伤类型的全局识别，提出一种考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法.弹性模量仅能反映结构刚度变化，单一的弹性模量不足以表征多种损伤类型，因而还需引入能反映结构质量变化的参数.受结构拓扑优化理论启发，以结构离散单元的弹性模量系数和材料密度系数作为成像参数，将成像参数与弹性模量和材料密度关联，构建考虑结构刚度和质量耦合效应的损伤表征.基于无阻尼自由振动系统的有限元模型，构建损伤表征、力学模型和特征值响应之间的映射关系.以数字模型和真实结构模型的特征值响应变化率的平方和为目标函数，以有限元平衡方程和成像参数上下限为约束条件，建立基于特征值响应的结构弹性成像模型，推导弹性成像目标函数关于成像参数的导数，采用基于梯度的优化算法求解弹性成像模型.数值算例表明，针对结构缺损、夹杂、结冰、积水等损伤，该方法无需先验信息，可有效实现结构损伤位置、数量和形状的精确量化，并通过三维结构弹性成像算例验证了该方法的通用性.关键词弹性成像，拓扑优化，损伤表征，特征值响应，损伤识别中图分类号：0 3 4 2文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-220STRUCTURAL ELASTOGRAPHY METHOD CONSIDERING THE COUPLING EFFECTOF STIFFNESS AND MASSI)Fu Junjian*,tPeng TiechuantLi Ran*,十,2)Li Shuaihu tZhou XiangmanLi Xiang*+?(Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design&Maintenance,Yichang 443002,Hubei,China)(College of Mechanical&Power Engineering,China Three Gorges University,Yichang 443002,Hubei,China)*(Three Gorges Navigation Authority,Yichang 443002,Hubei,China)t(School of Transportation and Logistics Engineering,Wuhan University ofTechnology,Wuhan 430063,China)AbstractElastography is a medical imaging technology that can convert the elastic modulus information of biologicaltissues into visual images.In order to use elastography for damage identification of mechanical structures and achieveglobal identification of various damage types such as mechanical structural defects,inclusions,ice,and wateraccumulation.A structural elastography method considering the coupling effect of both stiffness and mass is proposed.2023-06-02收稿，2 0 2 3-0 8-1 5 录用，2 0 2 3-0 8-1 6 网络版发表.1)国家自然科学基金(5 1 7 7 5 3 0 8)和湖北省自然科学基金(2 0 2 1 CFB236)资助项目.2)通讯作者：李然，正高级工程师，主要研究方向为大型金属结构损伤识别与寿命评判、内河通航枢纽工程技术.E-mail:力19722023年第5 5 卷报学学The elastic modulus can only reflect the change in structural stiffness and is not enough to characterize various damagetypes.It is also necessary to introduce parameters that reflect the change in the mass of the structure.Inspired by thestructural topology optimization theory,the proposed method takes the elastic modulus coefficients and material densitycoefficients of the discrete elements of the structure as the imaging parameters.The imaging parameters are correlatedwith the elastic modulus and material density to construct a damage characterization considering the coupling effect ofstructural stiffness and mass.The mapping relationship between damage characterization,mechanical model,andeigenvalue response is constructed based on the finite element model of the undamped free vibration system.The sum ofthe squares of the eigenvalue response change rates of the digital model and the real structural model is used as theobjective function.The finite element equilibrium equation as well as the upper and lower limits of the imagingparameters are used as constraints.Eigenvalue response-based structural elastography model is established based on theobjective function and constraints.The derivatives of the elastography objective function with respect to the imagingparameters are derived.The elastography model is solved using a gradient-based optimization algorithm.Numericalexamples show that this method can effectively achieve accurate quantification of structural damage location,quantity,and shape without any prior information for damages such as structural defects,inclusions,ice,and water accumulation.The generality of this method is further verified by three-dimensional structural elastography examples.Key wordselastography,topology optimization,damage characterization,eigenvalue responses,damage identification引言弹性成像 1-3 是一种医学影像技术,可以把生物体组织的弹性模量信息转换为可视化图像，显示组织或器官病理变化的位置和大小对于机械装备结构，损伤会导致结构特定部位弹性模量发生改变，继而使结构力学性能发生改变.如果将弹性模量与机械结构损伤表征关联，可以通过弹性成像方法获取弹性模量分布以实现结构的损伤识别.机械装备结构极易产生缺损、夹杂、结冰和积水等多种损伤，而大多数损伤本质上是结构特定部位的弹性模量发生偏移.因此，研究一种先进的弹性成像方法可实现结构多种损伤类型的全局识别，有助于实现重大机械工程装备的服役安全评价.目前，结构损伤识别方法主要分为先进成像方法和模型修正方法.先进成像方法是一种无损检测技术，它通过计算机分析处理穿越物体的响应信号，并融合相应算法重构物体内部信息，从而以图像的形式直观显示物体的损伤位置.近年来，许多先进成像方法被用于结构损伤识别，如超声成像 4 、射线成像 5 等.先进成像方法可以对结构进行实时成像，具有损伤直观可视等优点.但大多数成像方法属于局部区域损伤识别技术，需要知道损伤大致区域作为先验信息，对机械结构的损伤识别效率较低。为解决局部损伤识别方法的缺陷，具有全局识别能力的模型修正方法应运而生.模型修正方法以有限元模型为基础，首先定义一组表征损伤位置和程度的修正参数，修正参数如单元刚度折减系数、截面面积和边界条件等，然后通过修正损伤结构的有限元模型将模型响应和实测响应之间差异最小化，最后找到修正参数的最优解得到结构的损伤位置和程度 6-8 .模型修正方法对于损伤识别算法、响应、参数的研究较为系统.但大部分模型修正方法仅针对单一损伤类型识别，并且结构的损伤位置和程度仅通过数值显示，直观可视化效果较差 9.而弹性成像方法融合了先进成像方法和模型修正方法的优势，无需任何先验信息，可以从图形角度反映结构全局区域的损伤位置和程度，对结构损伤的几何描述具有较强的直观性拓扑优化 1 0-1 2 与弹性成像类似,其本质是通过将设计变量与弹性模量耦合实现对整体结构性能的调控.针对拓扑优化，单元密度为1 的单元对结构性能贡献最大，单元密度接近0 的单元对结构性能贡献最小.针对损伤识别，单元密度为1 的单元对应实体结构无损伤区域，单元密度小于1 的单元对应实体结构损伤区域.拓扑优化与损伤识别都是为了找到满足目标函数的弹性模量空间分布.因此，拓扑优化也可以用于结构损伤识别.从损伤表征层面，目前基于拓扑优化的损伤识别方法主要采用水平集法 1 3-1 4 、移动变形组件法 1 5-1 6 和变密度法 1 7 .水平集法通过水平集函数隐式描述结构，其中零水平集表征结构损伤的边界 1 8 .移动变形组件法通过组件1973付君健等：考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法第9 期的移动、旋转等方式实现结构的变化，采用拓扑描述函数描述结构，拓扑描述函数值大于0 表示有组件区域，拓扑描述函数值小于0 表示缺损区域 1 9.变密度法通过单元密度函数描述结构，单元密度为1表示实体结构无损区域，单元密度接近0 表示实体结构缺损区域 2 0 .水平集法对于损伤几何形状的描述能力强,但一般用于反演结构孔洞损伤的形状 2 1 对于基于水平集法或移动变形组件法的损伤识别方法，损伤数量需提前预估，初始孔洞或组件数量会影响到最终反演结果 2 2 .从损伤识别目标函数构建层面，其构建可采用静力响应和动力响应数据.静力响应一般包括位移、应变和应力等.然而在实际工程问题中，损伤会导致结构刚度、质量发生改变，而结构的静力响应无法反映结构质量特性的变化，并且静力响应难以测量.但结构的动力响应容易通过传感器测量 2 3 ,能同时反映结构刚度、质量特性的变化，并且动力响应在结构发生损伤的早期阶段更加敏感.动力响应的响应类型一般分为频率 2 4 、振型 2 5 、频响函数 2 6 等.在静力响应和动力响应下，基于拓扑优化的损伤识别方法都表现出了较好的损伤识别效果 2 7 ,上述研究对于损伤的表征比较单一，均只针对实体结构中造成结构刚度和质量减小的损伤类型(缺损、夹杂).然而在航空航天领域中，由于复杂自然环境 2 8-2 9 及各种意外情况 3 0 的影响，机械装备结构除会产生造成刚度和质量减小的损伤类型（缺损、夹杂)外，具有多孔特征的结构 3 1-3 2 还会产生结冰或积水损伤，这两类损伤类型分别会造成结构刚度和质量增大、结构仅质量增大.大多数损伤会造成结构弹性模量发生改变.因此，研究一种以拓扑优化驱动弹性成像的方法，实现结构缺损、夹杂、结冰、积水多种损伤类型的全局识别，对于丰富弹性成像理论内涵和实际工程应用具有重要意义.本文提出了一种考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法.首先，构建缺损、夹杂、结冰和积水多种损伤类型的统一表征.其次，构建损伤表征、力学模型和特征值响应之间的映射关系.再建立基于特征值响应的弹性成像模型，并建立弹性成像反演的数值实施方式.最后，分别考虑缺损、结冰、积水3 类损伤，探讨对二维结构进行弹性成像实现损伤识别的有效性，并探讨三维结构弹性成像问题验证本方法的通用性，1多种损伤类型的统一表征为了解决结构缺损、夹杂、结冰和积水多种损伤类型的全局识别问题，关键在于建立不同损伤类型的统一表征.在损伤表征过程中，损伤会造成结构刚度和质量发生改变，并且不同损伤类型对结构刚度和质量的影响不同.例如，缺损和夹杂会同时造成结构刚度和质量减小，结冰会同时造成结构刚度和质量增大，积水不会影响结构刚度但会造成结构质量增大.弹性模量仅能反映结构刚度变化，单一的弹性模量不足以表征多种损伤类型，因而还需引入能反映结构质量变化的参数，构建同时考虑结构刚度和质量效应的损伤表征.受动力学拓扑优化理论启发，本文以结构离散单元的弹性模量系数和材料密度系数作为成像参数，将成像参数与弹性模量、材料密度关联，构建考虑结构刚度和质量耦合效应的损伤表征.结构的损伤类型可分为以下3 类：(1)第1 类损伤类型(缺损、夹杂)：损伤同时造成结构的刚度和质量减小，继而导致成像参数减小；(2)第2 类损伤类型(结冰)：损伤同时造成结构的刚度和质量增大，继而导致成像参数增大；(3)第3 类损伤类型(积水)：损伤对结构刚度无影响，仅造成结构质量增大，继而导致成像参数增大.基于以上分类，定义弹性模量系数x和材料密度系数y两种成像参数，建立成像参数与损伤表征的数学模型.如图1 所示为多种损伤类型表征，在同一套有限元网格定义了两套成像参数，第一套成像参数x;针对弹性模量，第二套成像参数y;针对材料密度，两套成像参数可反映不同损伤类型对结构刚度和质量的影响，x=y=b无损伤x=y=0.001缺损0.001x=yb夹杂(1)bx=y1结冰x=b,by1积水式中，x和y为成像参数，x和y最小值取0.0 0 1 为避免刚度和质量矩阵奇异.当无损结构为实体结构时，b取值为1；当无损结构为具有多孔特征的结构时，b取值范围为0.0 0 1 bq这个条件会导致在拓扑优化过程中产生局部模态，有研究提出采用更大的质量惩罚指数(pq)可以控制局部模态 2 4 ,因此本文设置pq.2损伤对结构性能的影响为了考虑损伤对结构性能的影响，将成像参数嵌入到无阻尼自由振动系统的有限元模型.将结构离散为n个单元,则x=xX1 X2.Xn(4)y=y1 y2.yn(5)式中，x，y 为结构成像参数矩阵.单元刚度、质量矩阵可写为K;(xi)=,BTD(xi)BdQ=x,g(6)2JMj(j)p(yi)NTNdo=yM(7)式中，K;为第j个单元的刚度矩阵，B为应变位移矩阵，D为结构材料弹性矩阵，K为实体材料单元刚度矩阵，M;为第j个单元的质量矩阵，N为形函数矩阵，M为实体材料单元质量矩阵，Q表示结构域，Qi表示第j个单元的结构域.全局刚度、质量矩阵可表示为nK(x)=(8)j=IE(x)=xPE0(2)p()=y%po(3)M()U+K(x)U=0(10)式中，U和为全局位移向量及其二阶导数.假设式(10)的解为eawt(a=V-i),然后通过转换得到结构特征问题方程 3 4 并进行求解，从而获得结构的特征值响应.结构特征问题方程如下K(x)-;M(y);=0(11)式中，x，y 为成像参数矩阵，为第i阶特征值，其中;=w?，w i 为第i阶固有圆频率，Wi=2元Fi，F;为第i阶特征频率，i为第i阶特征向量.3基于特征值响应的弹性成像建模与求解3.1弹性成像模型特征值响应是最容易得到的模态参数之一，在建立弹性成像模型时，本文仅考虑结构特征值响应.当使用特征值作为响应参数进行损伤识别时有以下两个特点 3 5 :（1)当损伤出现在对称结构的对称位置时，可能会引起特征值响应的变化量相同；(2)结构各阶特征值响应对各处损伤的敏感性不同.因此，为避免损伤识别结果出现多解的问题，提高损伤识别精度，应适当选用多阶特征值构造弹性成像目标函数.本文以数字模型和真实结构模型的特征值响应变化率的平方和为目标函数，以有限元平衡方程和成像参数上下限为约束条件，构建如下结构弹性成像模型find x,y=x1 x2.Xn,y1 y2.ynmmin f(x,y)=Wi(x,y)-)2入*=1s.t.M(y)U+K(x)U=0(12)0XminxjXmax0yminyjymaxfor j=1,2,.,n式中，x，y 分别为元素取值在 Xmin,Xmax，y mi n,y ma x 之间的成像参数矩阵，Xmin和xmax分别为成像参数1975第9 期付君健等：考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法x;可取的最小值和最大值，ymin和ymax分别为成像参数yj可取的最小值和最大值，其中xmin，Xma x，y mi n 和ymax的取值由式(1)可知，n为成像参数的数量，f(x,y)表示弹性成像目标函数,m为模态阶数，w;为第i阶特征值的权重，权重总和为1，入为数字模型的特征值响应，入*为真实结构模型的特征值响应，特征值权重是可调参数，通过改变特征值权重可灵活调整各阶特征值对损伤识别的敏感性.3.2灵敏度分析为了求解弹性成像模型，本文推导了目标函数关于成像参数的导数.对目标函数关于单元成像参数xj，y j 分别求导可得af(x,y)a;(x,y)A;(x,y)-;*2Wi(13)xji=1af(x,)an;(x,y)A;(x,y)-n;*2Wi(14)oyioyi=1对结构特征问题方程(1 1)关于单元成像参数x;和y分别求导可得K(x)o;(x,y)aM(y)M(y)xjxjxj(K(x)-;M(y)0(15)xjaK(x)a入;(x,y)aMy)M(y)9i+yjoyiyi(K(x)-;M(y)=0(16)yjd4i其中，从特征问题方程可知(K(x)-;M(y)项和oxj)2项均为 0.使用正则化后的特征向(K(x)-;M(y)oyj量进行质量矩阵归一化可得0:T M(y)pi=1(17)式中，;是正则化后的第阶特征向量，T代表矩阵转置.将式(1 5)和式（1 6)两边同乘以可得特征值关于单元成像参数x；和y；的导数分别为a入;(x,y)(aK(x)oMy)i(18)8xjxjxj0入;(x,y)(K(x)aM(y)iT(19)oyiyjgyj(1)当考虑对刚度和质量有耦合效应的损伤类型(第1 类或第2 类损伤类型)时,由式(1)可知y=x.将y=x代入式(1 3)式(1 9)得到目标函数关于单元成像参数的导数为af(x)m0;(x)A;(x)-*Wi(20)oxjxj1其中，特征值关于单元成像参数的导数为a入;(x)aK(x)aM(x)Ti入ixji(21)xj8xj再将式(2 1)代入式(2 0)得到最终目标函数关于单元成像参数的导数为a.f(x)mK(x)0M(x)2Wipi8xj8xjxj;(x)-入*(22)(2)当考虑仅对质量有影响的损伤类型(第3 类损伤类型)时，由式(1)可知x=b，因此无需对单元成像参数xj求导.将x=b代入式(1 3)式(1 9)得到目标函数关于单元成像参数的导数为af()ma;(y);(y)-;*(23)2Wiyjoyi1其中，特征值关于单元成像参数的导数为8;()oKaM()iT(yiqi(24)gyigyj由于K为常数，因此可得oK=0(25)yj此时特征值关于单元成像参数的导数为8入;()oM(y)i(26)gyjgyj再将式(2 6)代入式(2 3)得到最终目标函数关于单元成像参数的导数为a.f()mA;(y)-;*(27)2Wip;yiioyj14数值实施图2 所示为考虑刚度和质量耦合效应的结构弹UUW力19762023年第5 5 卷报学学obtain eigenvalue responses of thereal damage structurecalculate eigenvalues andeigenvectors of the digital modelcalculate theobjective functioncalculate sensitivities of objectivefunctionupdate the global imagingparameters using a gradient-basedoptimization algorithmnoconverge?yesoutput imaging results图2 考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像流程Fig.2 Structural elastography process considering the coupling effectof stiffness and mass性成像流程图.本方法需获得损伤结构的特征值响应，并作为唯一已知的输入数据，结构内部损伤的位置、大小和数量均未知.为此，本文采用数值实验替代实际实验获得损伤结构的特征值响应，通过在结构上开孔(预设缺损)或设置其他损伤，模拟可能存在的损伤结构，并通过有限元法计算损伤结构的特征值响应.然后求解数字模型(无损结构模型）的结构特征问题方程得到特征值和特征向量，并正则化特征向量用于之后灵敏度分析.之后，计算目标函数和进行灵敏度分析.再采用基于梯度的优化算法更新成像参数，通过式(4 2)的收敛准则判断目标函数是否收敛，优化模型不断迭代直至满足收敛准则，最后输出成像结果本文采用基于梯度的优化算法，考虑成像参数的约束条件，成像参数x和y的迭代更新策略分别如下o.f(x,y)+maxXmin,min(xmax,(28)Qxof(x,y)maxYmin,minymax(29)y式中，r为迭代步数，为迭代步长，min与max分别代表取括号中最小值与最大值.为了使优化模型的收敛速度保持恒定，分别将of(x,y)af(x,y)和进行归一化处理araf(x,y)xS1=(30)(o.f(x,)(.f(x,y)maxminxaf(x,y)yS2=(31)o.f(x,y)(af(x,y)maxminyy然后将第r步敏度和第r+1步敏度相加取平均值，以保持送代曲线的稳定性S.r+1+Sth;+1(32)2S2+1+S2h2*+1(33)2最终成像参数x和y的迭代更新策略分别如下+=max(xmin,mi(xmax,-ch*)(34)y+=max(ymin,min(ymax.-ch+l)(35)(1)当结构存在对刚度和质量有耦合影响的损伤类型(第1 类或第2 类损伤类型)时，由式(1)可知y=x，显然此时h1=h2，因此成像参数的迭代更新策略可统一为xr+1=max(Xmin,min(Xmax,x-h+1)(36)其中h1+I_ Si1+St(37)2a.f(x)0 xS1=(38)(f(x)(8f(x)max-minxx(2)当结构存在仅对质量有影响的损伤类型(第3类损伤类型)时，由式(1)可知x为常数，因此x无需迭代更新.此时成像参数的迭代更新策略为yr+1=max(ymin,min(ymax,y-h2+1)(39)其中S2+1+S2h2r+1(40)21977第9 期付君健等：考虑刚度和质量耦应的结构弹性成像方法a.f()oyS2=(41)af()a.f(max-minyoy定义结构弹性成像模型的收敛准则如下JFr+1-f/non-structuralconcentrated mass图3 内置缺损的二维半MBB梁结构Fig.3Two-dimensional half-MBB beam structure with built-in defect行，目标函数值下降速度由快到慢，当弹性成像模型送代2 8 7 步后目标函数值趋于平稳，结构成像图中低成像参数值区域逐渐清晰.从图4 中可以看出迭代曲线光滑，表明算法稳定性良好.在弹性成像模型经过6 1 6 次迭代后，得到如表1 所示的无损模型的特征频率，并得到如图5 所示的A缺损结构的成像结果，成像结果下方颜色条的刻度值对应成像参数值.由表1 可知最终无损模型的前6 阶特征频率与损伤模型的前6 阶特征频率基本一致.为了方便将损伤识别结果与真实损伤区域进行对比，图5 中黑色正方形边线表示真实损伤结构的损伤区域边界.由图5 可知，最终成像结果显示的损伤区域位置和大小与设定损伤区域基本一致.由于本文是基于变密度拓扑优化法构建了成像参数与弹性模量、材料密度的非线性插值模型，因而成像参数变量存在中间值，导致成像结果的边界会存在模糊的过渡，故本方法对损伤形状的成像是一种近似，无法严格识别出损伤的精准形状.由于噪声数据影响导致成像结果左下方出现些许高亮区域，但从成像结果中可以直观看出高亮区域的成像参数值与损伤区域的成像参数值明显相差较大，因此可以辨别出高亮区域不是损伤区域.0.14defectA0.120.100.080.060.040.0200100200300400500 600700iterationnumber图4 二维半MBB梁结构弹性成像迭代曲线Fig.4 Iterative curve of elastography of two-dimensional half-MBBbeam structure表1 算例1 中损伤模型和无损模型的特征频率(Hz)Table 1 Eigen-frequencies of damaged model and undamagedmodel in the example 1(Hz)Vibration orderEigen-frequency123456damaged model54.34197.25235.42371.65537.65616.35undamagedmodel54.81194.30235.36368.93 548.82621.28力19782023年第5 5 卷报学学00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0图5 二维半MBB梁结构成像结果Fig.5Two-dimensional half-MBB beam structure imaging results5.2存在第2 类损伤类型的结构弹性成像为验证本方法识别结构中第2 类损伤类型（结冰)的有效性，定义如图6 所示的二维悬臂梁结构，初始无损结构为具有多孔特征的结构，该结构由8040个多孔单胞构成，结构的弹性模量和材料密度分别设置为0.3 E,0.3p，结构域长度为4 m，宽度为2 m，结构左端固定约束，结构被离散为8 0 40个双线性四边形单元，在结构长度方向1/4 位置及宽度方向1/2 位置设置一个尺寸为0.6 m0.6m的结冰区域，结冰区域的弹性模量和材料密度分别设置为E，p，在结构右上角位置节点上施加数值大小为结构域质量2 0%的非结构集中质量.本算例考虑与算例5.1 相同的特征值阶次和特征值权重。如图7 所示，随着优化的进行，目标函数值下降速度很快，弹性成像模型迭代1 5 7 步后目标函数开始趋于平稳，迭代90 0 步后满足收敛准则，得到如表2 所示的无损模型的特征频率，并得到如图8 所示的B结冰结构的成像结果.由表2 可知最终无损模型的前6 阶特征频率与损伤模型的前6 阶特征频率基本一致.成像结果中出现一个高成像参数值的区域，该区域为识别的结冰区域，与设定的结冰区域位置和大小近乎完全一致，表现出了良好的弹性成像效果.本算例采用与算例5.1 不同的边界条件，结果表明在不同边界条件下本方法仍具有良好的损伤non-structuralBconcentratedmassice图6 内置结冰的二维悬臂梁结构Fig.6 Two-dimensional cantilever beam structure with built-in ice1.2iceB1.00.80.60.40.200100200300400500600700800900iteration number图7 具有多孔特征的二维悬臂梁结构弹性成像迭代曲线Fig.7 Iterative curve of elastography of two-dimensional cantileverbeam structure with porous features表2 算例2 中损伤模型和无损模型的特征频率(Hz)Table 2Eigen-frequencies of damaged model and undamagedmodel in the example 2(Hz)Vibration orderEigen-frequency123456damaged model35.84236.80411.77478.93883.40 988.36undamaged model35.88236.06 410.98479.23883.72987.7300.10.20.3 0.4 0.5 0.60.70.80.91.0图8 具有多孔特征的二维悬臂梁结构成像结果Fig.8 Imaging results of two-dimensional cantilever beam structurewithporousfeatures识别效果.5.3存在第3 类损伤类型的结构弹性成像为进一步验证本方法识别结构第3 类损伤类型(积水)的有效性，如图9所示初始无损结构为具有多孔特征的结构，该结构由6 0 2 0 个多孔单胞构成，结构弹性模量和材料密度分别设置为0.3 E0.3p,结构长度和宽度分别为3 m,1m,采用与算例5.1相同的边界条件，结构被离散为6 0 2 0 个双线性四边形单元，在结构长度方向3/1 0 位置和宽度方向3/4 位置、长度方向3/4 位置和宽度方向1/4 位置分别设置尺寸为0.2 m0.2m的积水区域，由于1979付君健等：考虑刚度和质量耦合效应的结构弹性成像方法第9 期DwateraccumulationCnon-structuralconcentratedmass图9内置积水的二维半MBB梁结构Fig.9 Two-dimensional half-MBB beam structure with built-in wateraccumulation积水仅影响结构质量，因此积水区域的材料弹性模量不变，材料密度设置为p.本算例施加非结构集中质量的位置和数值大小与算例5.1 保持一致，并且考虑与算例5.1 相同的特征值阶次和特征值权重.由图1 0 可知，在弹性成像模型最初的几步迭代中目标函数值迅速下降，然后目标函数值在弹性成像模型接下来的迭代步中下降变缓，最后目标函数值在弹性成像模型迭代1 6 5 步后趋于平稳.弹性成像模型迭代3 8 9步后得到如表3 所示的无损模型的特征频率，由表3 可知最终无损模型的前6 阶特征频率与损伤模型的前6 阶特征频率基本一致.图1 1为弹性成像模型迭代3 8 9步后结构的成像结果，从图中可以看出，最终成像结果清晰，可以几乎无偏差地识别出两个积水区域各自的位置和大小，说明本1.0wateraccumulationC+D0.80.60.40.20050100150200250300350400iteration number图1 0 具有多孔特征的二维半MBB梁结构弹性成像送代曲线Fig.10 Iterative curve of elastography of two-dimensional half-MBBbeam structure with porous features表3 算例3 中损伤模型和无损模型的特征频率(Hz)Table 3 Eigen-frequencies of damaged model and undamagedmodel in the example 3(Hz)Vibration orderEigen-frequency123456damaged model71.09202.34446.90633.191125.671209.26undamaged model71.24202.35449.28634.961122.411216.3500.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0图1 1 具有多孔特征的二维半MBB梁结构成像结果Fig.11 Imaging results of two-dimensional half-MBB beam structurewith porous features方法用于多损伤条件下也具有良好的损伤识别效果5.4三维结构弹性成像为进一步验证本方法的通用性，开展三维结构弹性成像的研究.如图1 2 所示的三维悬臂梁结构，结构长为2 m、宽为0.6 m、高为1.2 m，结构左端面施加固定约束，结构被离散为2 0 6 1 2 个六面体单元，在结构内部中心位置设置一个尺寸为0.4 m0.4m0.4m的损伤区域.分别考虑损伤区域为缺损、结冰、积水三类损伤类型，定义如下3 种存在损伤的三维悬臂梁结构：(1)设置初始无损结构为实体结构，损伤区域为缺损，缺损区域材料弹性模量设置为0.0 0 1 E，材料密度设置为0.0 0 1 p%(2)设置初始无损结构为具有多孔特征的结构，该结构由2 0 612个多孔单胞构成，结构弹性模量和材料密度分别设置为0.5 E和0.5 p，损伤区域为结冰，结冰区域的弹性模量和材料密度分别设置为E和p；(3)同样设置初始无损结构为具有多孔特征的结构，该结构也由2 0 6 1 2 个多孔单胞构成，