决策形式背景基于OE-协调性的属性约简.pdf

西北大学学报（自然科学版）2024年4月，第54卷第2 期，Apr.，2 0 2 4,V o l.54,No.2Journal of Northwest University(Natural Science Edition)JNWU粒计算与概念知识获取决策形式背景基于OE-协调性的属性约简常丽娜2，魏玲2.3,彭超林4（1.长治学院数学系，山西长治0 46 0 1 1;2.西北大学概念、认知与智能研究中心，陕西西安7 1 0 1 2 7；3.西北大学数学学院，陕西西安7 1 0 1 2 7;4.格拉斯哥大学亚当斯密商学院，苏格兰格拉斯哥G128QQ）摘要属性约简作为形式概念分析中非常重要的一个研究分支，在三支概念分析中也同样重要。基于对象导出三支概念格，提出了保持决策形式背景OE-协调性的属性约简理论，丰富了三支概念分析的约简理论。首先，定义了决策形式背景的OE-协调集和OE-约简，并将属性按其特征分为3类。其次，指出OE-约简的本质就是极小OE-协调集，给出了OE-协调集的几个判定定理，通过研究OE-协调集的充要条件，获取OE-约简的判定定理。最后,给出OE-差别矩阵和OE-差别函数的定义，并给出了利用 OE-差别矩阵和OE-差别函数计算OE-约简的方法。关键词三支概念分析；属性约简；OE-协调性；决策形式背景；对象导出三支概念格中图分类号：0 2 9;TP18Attribute reduction in formal decision contextsCHANG Lina,WEI Ling*,PENC Chaolin(1.Department of Mathematics,Changzhi University,Changzhi 046011,China;2.Institute of Concepts,Cognition and Intelligence,Northwest University,Xi an 710127,China;3.School of Mathematics,Northwest University,Xi an 710127,China;4.Adam Smith Business School,University of Glasgow,Glasgow G128QQ,Scotland)Abstract Attribute reduction,as a very important branch of formal concept analysis,is equally important inthe three-way concept analysis.Based on object-induced concept lattices,atribute reduction theory whichpreserve OE-consistency of formal decision contexts is proposed,which enriches the reduction theory of three-way concept analysis.Firstly,OE-consistent set and OE-reduct of formal decision contexts are defined,andthe attributes are classified into three categories according to their characteristics.Then,it is pointed out theessence of OE-reduct is minimal OE-consistent set,and several judgement theorems of OE-consistent set aregiven.By studying the necessary and sufficient conditions of OE-consistent set,judgement theorem of OE-re-duct is obtained.Finally,the definition of OE-discernibility matrix and OE-discernibility function are given,and the method of calculating OE-reduct by using OE-discernibility matrix and OE-discernibility function isgiven.Keywords three-way concept analysis;attribute reduction;OE-consistency;formal decision contexts;ob-收稿日期：2 0 2 3-0 8-30基金项目：国家自然科学基金（1 2 1 7 1 392）；长治学院科研项目（XJZZ2021013）。第一作者：常丽娜，女，副教授，从事形式概念分析、三支决策、博奔论等研究，。通信作者：魏玲，女，教授，博士生导师，从事形式概念分析、三支决策、粒计算等研究，。D0I:10.16152/ki.xdxbzr.2024-02-005based on OE-consistency第2 期ject-induced three-way concept lattices形式概念分析 1-2 （formal concept analysis,FCA)作为数据分析与知识发现的有力工具，是由德国数学家Wille于1 9 8 2 年提出的，并被广泛应用于机器学习、冲突分析等很多领域 3。在经典形式概念分析的基础上，Qi等结合三支决策理论 4（three-waydecision，3W D）于2 0 1 4年提出了三支概念分析 5-6 （three-way concept a-nalysis，3W C A），既体现了三支决策的思想和应用价值，也是经典形式概念分析的一种扩展，能同时反映“共同具有”和“共同不具有”两种信息。目前，三支概念分析已经得到了很多学者的关注和认可，研究成果也越来越丰富。Ren 等研究了两类三支概念格的4种属性约简问题，并讨论了它们之间的关系 7 。Yu等通过考虑三支概念格（三支粗概念格）的原子、不可约元和补的性质，研究了三支概念格（三支粗概念格）的性质，在具有这些特殊性质的完备格与三支概念格（三支粗概念格)之间建立了一个同构映射 8 。Zhi等提出了三支对偶概念格，探讨了三支对偶概念格与经典对偶概念格的关系，研究了三支概念格、三支对偶概念格、三支面向对象概念格和三支面向属性概念格4种类型的三支概念分析模型之间的关系 9。Yang等引人一对组合算子，提出了一种构造属性诱导三支概念格和对象诱导三支概念格的新方法 1 0 。Zhao 等对三支算子的性质重新表述，研究了不同类型的三支概念格之间的关系。决策形式背景 1 2 这一概念是由魏玲提出的，随之决策形式背景的知识发现成为 FCA的研究热点。决策形式背景只有在满足一定的协调意义下，对其的知识发现才更具合理性。Wei等定义了决策形式背景的强、弱协调性，并在此基础上研究了两种协调意义下的属性约简 1 3。Li等对决策形式背景的属性约简与规则获取进行了较为系统深入的研究 1 4-5。Chen 等研究了大规模决策形式背景的属性约简问题，提出了一种计算决策形式背景差别矩阵简单有效的方法 1 6 。作为形式概念分析的扩展，决策形式背景的知识发现在三支概念分析中同样重要。陈雪等基于AE-概念格，研究了决策形式背景的保持非穴余规则信息不变的属性约简问题 1 7 。林洪等研究了三支粒协调决策形式背景的粒约简问题 1 8 。刘琳等常丽娜，等：决策形式背景基于OE-协调性的属性约简有属性m，也记为glm。对于形式背景（G,M,I)，在任意对象集X G和属性集A C M上定义一对正算子*:G)M)与*:M)G)为X*=(m eMI Vg EX,glml,A*=ig E Gl Vm EA,glml。对任意的gE G,mEM,如果满足(gl*,igl*M,m*,iml*G,则称该形式背景是正则的。本文研究的形式背景(约简前)都是正则的,，且是有限的。定义2 2)设(G,M,I）为一个形式背景，XC G,ACM,若X*=A,A*=X,则称(X,A)为形式概念，简称为概念。其中，X称为概念（X,A）的外延，A称为概念（X,A）的内涵。将形式背景（G,M,I）的概念的全体记为L(G,M,I)，对于任意的（Xi,A)，（X2,A 2）EL(G,M,I)，它们的偏序关系为(X1,A)(X2,A,)-X C X2(A 2 A)。进一步，定义任意两个概念的下确界和上确界为189.基于AE-概念格研究了决策背景的规则提取问题 1 9-2 0 1。Wei 等基于两类三支概念格定义了决策形式背景的OE-协调性和AE-协调性，研究了三支规则提取问题 2 1 。Long 等基于三支概念格研究了不完备决策背景的规则获取问题 2 2 决策形式背景在满足一定的协调意义下，其知识发现才更具合理性和可解释性,因此,研究决策形式背景不同的协调性，可以挖掘出一个决策背景更多的信息与细节。本文根据文献 2 0 提出的决策形式背景的OE-协调性的定义，基于对象导出三支概念格，研究决策形式背景保持OE-协调性的属性约简理论，并通过实例表明协调集判定定理及约简计算方法的有效性。1预备知识1.1形式概念分析定义1 2】称（G，M，I）为一个形式背景，其中G=ig1,g2,gpl 是对象集,g:(ip)称为一个对象;M=m1,m2,ml 是属性集,m,(jq）称为一个属性;I为G和M之间的二元关系，ICGM。若（g,m）I,则表示对象g具190(XI,A)(X2,A)=(X n X2,(A,UA2)*),(XI,A,)V(X2,A,)=(X,UX,)*,AnA2)。则L(G,M,I）形成一个完备格,称为概念格。1.2三支概念分析令S是非空有限集合，S）是S的幂集，9(S)=S)(S),对于任意的(XI,Y),（X2,Y2）E9(S），定义它们的交运算、并运算、补运算及其包含关系、相等关系如下：(Xi,Y)n(X2,Y)=(X nX2,YnY2),(XI,Y)U(X2,Y2)=(XI UX2,Y UY2),(Xi,Y)=(Xi,Y)=(S-Xi,S-Y),(Xi,Y)C(X2,Y2)X,C X,且 Y CY2,(Xi,Y)=(X2,Y,)X=X,且 Y=Y2。与1.1 中给出的正算子类似,在形式背景(G,M,I)上定义一对负算子*:G）(M）与*：M)G),对任意的X C G,A M,I=（GM)V,X*=imeMIVgeX,gml,A=gEGIVmEA,glml。下面给出三支算子的概念。定义3 5 诊设(G,M,I)为一个形式背景，定义一对对象导出三支算子:(M)(M)(G),对任意的XC G和A,B C M,X=(X,X),(A,B)=A*nB。对任意的XCG和A,BCM，对象导出三支算子 有以下性质：1)X CX,(A,B)C(A,B)*;2)X C Y=X Y,(A,B)C(C,D)=(A,B)*2(C,D);3)X=X,(A,B)=(A,B);4)X C(A,B)(A,B)C X;5)(XUY)=Xny,(XnY)2XUY;6)(A,B)U(C,D)=(A,B)*n(C,D),(A,B)n(C,D)2(A,B)U(C,D)。设X C G,（A,B)E(M),如果X=(A,B)且(A,B)*=X,则称(X,(A,B)是(G,M,I）的一个对象导出三支概念，简称为OE-概念。其中X是OE-概念（X，（A,B)）的外延，（A，B）是OE-概念（X，（A,B）的内涵。西北大学学报（自然科学版）集合为OEL(G,M,I),所有OE-概念外延构成的集合为OEL（G,M,I)。对于任意的（Xi，（A i，B,),(X2,(A2,B,)E OEL(G,M,I),定义它们的偏序关系为(Xi,(At,B)(X2,(A2,B,)X C X,(A1,B,)2(A2,B,)。如果（Xi，（A I,B)）（X2，（A 2,B,)）且(X1,(A1,BI)）（X2,（A 2,B,)，则记为(Xi,(AI,B,)(X2,(A2,B,)。如果(Xi,(A,B,)（X2，（A 2,B,)），且不存在OE-概念（X，（A,B)使得(Xi,(AI,B)(X,(A,B)（X2,(A2,B,)）成立，则称(XI,（A 1,B)）是(X2,（A 2,B,)）的子概念，（X2，(A 2,B,)）是(X,(AI,BI)的父概念，记作（Xi，（A,B)）（X2，（A 2,B,）。其中，任意两个OE-概念的下确界和上确界为(X1,(Ar,B)(X2,(A2,B,)=(X,n X2,(A1,B,)U(A2,B,)*),(X1,(A1,B,)V(X2,(A2,B,)=(X,U X,),(Ai,B)n(A2,B,)。则OEL(G,M,I）是一个完备格,称为对象导出三支概念格，简记为OE-概念格。对于形式背景(G,M,I)，设D C M,记I=In（G D)，那么(G,D,ID）也是一个形式背景，称(G,D,I,）为（G,M,I）的形式子背景，简称为子背景。对于运算*，*，在形式背景（G，M,I）下仍用*，*，表示，在其子背景（G,D,ID）下用*D，*D，D 表示。显然对于XCG,有IM=I,X*M=X*,X*D=X*nDCX*,XM=X,XD=Xn(D,D)CX。对于H,KCD,有H*D=H,H*D=H,(H,K)D=(H,K),也将 H*D,HD,(H,K)D简记为H,H,(H,K)。2决策形式背景的属性约简2.1OE-协调性与属性约简的相关定义本节首先介绍决策形式背景OE-协调性的定义，然后给出保持决策形式背景OE-协调性的协调集和约简的定义。定义 4 2 0 女如果(G,M,I)和(G,N,J)是形式背景，MnN=，则称五元组(G,M,I,N,J)为一个决策形式背景，其中M称为条件属性集，第54卷记形式背景（G,M,I）的所有OE-概念构成的第2 期N称为决策属性集。背景（G,M,I）的对象导出三支概念格记为OEL(G,M,I)，背景(G,N,J)的对象导出三支概念格记为OEL(G,N,J）。如果对于任意(Y,（E,F)）E O EL(G,N,J)，总存在(X,(A,B)）E O EL(G,M,I)，使得 X=Y,则称OEL(G,M,I)细于 OEL(G,N,J)，记作 OEL(G,M,I）O EL(G,N,J)，且称决策形式背景（G,M,I,N,J）是对象导出三支协调的，简称为OE-协调的。性质1若决策形式背景（G,M,I,N,J）是OE-协调的,则OEL(G,N,J)C OEL(G,M,I)。定义5对于 OE-协调的决策形式背景（G,M,I,N,J)，如果存在DCM，使得决策形式背景（G,D,I p,N,J）也是OE-协调的，则称D是（G,M,I,N,J）的OE-协调集。进一步，如果Vd ED,决策形式背景(G,D-d),Ip-td),N,J）不是OE-协调的，则称D是(G,M,I,N,J）的OE-约简。所有(G,M,I,N,J)的OE-约简的交集称为（G,M,I,N,J)的OE-核心。定义6 设 OE-协调的决策形式背景(G,M,I,N,J）的所有 OE-约简为(D,ID,是约简,iETI（为一个指标集），则条件属性集M中的属性可分为以下3类：1）O E-绝对必要属性（核心属性)b:bEnD;iET2)OE-相对必要属性C:CEUD;-QD;3）O E-绝对不必要属性d:d=M-UD;。其中,非OE-核心中的属性，称为OE-不必要属性e:eEM-nDi。iET定理1设决策形式背景(G,M,I,N,J）是OE-协调的，则其OE-约简一定存在。证明因为（G,M,I,N,J）是OE-协调的，故M是OE-协调集，若Vm E M，都有（G,M-(m)，IM-m,N,J）不是OE-协调的，则M就是OE-约简。若日me M,使得(G,M-ml,IM-m,N,J)是OE-协调的，令M，=M-（m)，则M,是OE-协调集，若 ml E Mr，都有（G,M(m,IM-m1,N,J）不是OE-协调的，则M,是OE-约简；否则，再进一步研究M，（mi l。重复上述过程，由于M是有限集，所以至少可以找到决策形式背景（G,M,I,N,J)的一个OE-约简，故OE-约简必存在。常丽娜,等：决策形式背景基于OE-协调性的属性约简de1+2+3+4+背景（G,M,I）共有1 3个对象导出三支概念，分别标为TC,（i=1,2,1 3），其对象导出三支概念格OEL(G,M,I）如图1 所示；背景（G,N,J）共有1 0 个对象导出三支概念，其对象导出三支概念格OEL(G,NJ）如图2 所示。(G,(0,0)TCi(123.(e,0)(234,(f,0)(134,(,bc)TC2TC3(23,(def,a)(13,(e,bc)TCsTC6(2,(bcdef.a)TCiETiETi 191 例1 表1 给出了一个决策形式背景(G,M,I,N,J)。其中对象集G=(1,2,3,4，条件属性集为M=ia,b,c,d,e,fi,决策属性集为N=(g,h,il。表1 决策形式背景Tab.1Formal decision contextGa6C(3,(def.abc)TC10(O,(M,M)TC13图1OEL(G,M,I)Fig.1OEL(G,M,I)(G,(O,0)(123,(h,0)(134,(0,i)(23,(h,g)(13,(h,i)(2,(hi,g)(3,(h,gi)(O.(N,N)图2OEL(G,N,J)Fig.2OEL(G,N,J)ghi+TC4(4,(fbc)(14.(a,bcd)TC7(1,(ae,bedf)(4,(af,bede)TC11(14,(g,1)(1,(gh,i)(4,(gh,i)TC8TC12192容易判断,OEL(G,M,I)OEL(G,N,J),所以该决策形式背景是OE-协调的。它的 OE-约简共有4个，分别是D=(a,b,e，D,=a,c,el,D,=b,d,e,D4=c,d,el。其中OE-核心属性为e，O E-相对必要属性为a,b,c,d，绝对不必要属性为f。由例1 可知OE-协调的决策形式背景的OE-约简未必是唯一的。利用上述定义和定理，得到以下推论。推论1 OE-核心是OE-约简一OE-约简唯一。证明月=。（反证法）假设若OE-核心是OE-约简，则OE-约简不唯一。不妨设D,D,均为OE-约简，且D,+D。那么OE-核心nD.CD,nDkCD,，由于D,是OE-约简，而nD,CD，即nieTD,是D,的真子集，所以OE-核心D,不可能是OE-约简，与已知条件矛盾，故假设不成立。因此，如果OE-核心是OE-约简，则OE-约简唯一。显然成立。推论2 m EM是OE-不必要属性M-(m)是OE-协调集。推论3m EM是OE-核心属性M-（m)不是OE-协调集。2.2OE-协调集判定定理因为决策形式背景上的OE-约简D满足以下两个条件：首先，D是OE-协调集；其次，对于任意的dED,Dd）不是OE-协调集。即OE-约简的本质就是极小OE-协调集。因此，只要对OE-协调集的充要条件研究透彻，就能获得OE-约简的判定方法。下面给出OE-协调集的几个充要条件，即OE-协调集判定定理。定理2（OE-协调集判定定理1）设（G,M，I,N,J）为OE-协调决策形式背景，DM,D，则D是OE-协调集的充要条件是VA,B N,(A,B)+(,),(A,B)Mn(D,D)=(A,B)。证明必要性。VA,BCN,（A,B）（O,),总有(A,B),(A,B)N)E OEL(G,N,J)。而根据D是OE-协调集，可知OEL(G,D,ID)OEL(G,N,J),故 日H,K C D,(A,B),(H,K)E OEL(G,D,I),于是(H,K)*=(A,B),(H,K)=(A,B)D=(A,B)Mn(D,D)=(A,B)。充分性。要证D是OE-协调集，即证V（X，西北大学学报（自然科学版）(A,B)E OEL(G,N,J)，一定有(X,XD)EOEL(G,D,ID)。V(X,(A,B)E OEL(G,N,J),因为(G,M,I,N,J）是OE-协调决策形式背景，故OEL(G,M，I)OEL(G,N,J),所以(X,X=(XMn(D,D)=(A,B)=X,故(X,XD）=O EL(G,D,ID)。因此,D 是 OE-协调集。定理3（OE-协调集判定定理2）设（G,M,I,N,J）为OE-协调决策形式背景，DM,D,则D是OE-协调集的充要条件是EVA,BCN,(A,B)(,O),3H,KCD,iET(H,K)(O,O),(H,K)=(A,B)。证明必要性。由定理2 必要性的证明可得。充分性。由(H,K)=(A,B)可得(H,K)C(H,K)M=(A,B)M,且H,KCD,因而(H,K)C(A,B)*Mn(D,D),(A,B)*U(D,D)*2(A,B)*2(A,B),从而有(A,B)n(D,D)=（A,B),根据定理2,D是OE-协调集。定理4（OE-协调集判定定理3）设（G,M，I,N,J）为OE-协调决策形式背景，DCM,D，则D是OE-协调集的充要条件是Va,b e N,3H,KCD,(H,K)+(O,O),(H,K)=(a,b)。证明业必要性。由定理3可证。充分性。VA,BCN且A,B,记A=(a,I t E,B=b,Il（,为指标集)。已知V(a,b)E(A,B)C(N,N),(H,K)C(D,D),(H,K)(,O),满足(H,K)*=(a,bh）。于是(A,B)*=(Us(ar,br)=,-e(ar,b)*=tET,le入IET,le入e(H,Ki)=(U(H,Ki)。IET,lE入记(H,K)=,U,(H,K),则(H,K)C(D,tET,le入D),(H,K)(O,)，满足(H,K)=(A,B），因此，根据定理3，D是OE-协调集。定理5（OE-协调集判定定理4）设（G,M，第54卷ET,lE入第2 期I,N,J）为OE-协调决策形式背景，DCM,D，则D是OE-协调集的充要条件是Va,b e N,(a,b)*Mn(D,D)=(a,b)。证明必要性。由定理2 可证。充分性。已知Va,b=N,有(a,b)*Mn(D-id,D-dl)(a,b)。例2（续例1）针对表1 所示的决策形式背景（G,M,I,N,J），下面根据定理5对任意选取的条件属性子集是否为OE-协调集进行判断,若条件属性子集为OE-协调集，进一步利用定理6 判断其是否为OE-约简。设D=a,b,e,f，已知N=(g,h,i，由于(g,h)M=(4*M=(af,bcde),(af,bcde)n(D,D)=(af,be)=14)=(g,h),(g,i)*M=(1,4)M=(1,3)M=(e,bcd),(e,bcd)n(D,D)=(e,b)=(1,3)=(h,i)。其中,D满足定理5，所以D是OE-协调集。进一步,D,=D-fl=a,b,e也是OE-协调集，所以D不是OE-约简。而D,的所有真子集i，b ，a，e ，b，e 均不是OE-协调集，所以D是OE-约简。同理，可判定D=i,c,e，D，=b,常丽娜，等：决策形式背景基于OE-协调性的属性约简协调集的充要条件是VX E OELe(G,N,J),(XMn(D,D)C(XMn(M-D,M-D)。证明由于(G,M,I,N,J）为 OE-协调决策形式背景，故 OEL(G,M,I)OEL(G,N,J)，所以OEL(G,N,J)C OELe(G,M,I)。必要性。若D是OE-协调集，则OEL（G,N，J)OEL(G,D,ID)。于是，对于任意 X EOELe(G,N,J),有 X E OEL,(G,M,I)且 X EOEL(G,D,ID),故有X=XM=X=(X=(XMn(M,M)=(XMn(D,D)U(M-D,M-D)*=(XMn(D,D)U(XMn(M-D,M-D)=(XMn(D,D)n(XMn(M-D,M-D),所以有(XMn(D,D)*=(XMn(D,D)n(XMn(M-D,M-D)故(XMn(D,D)C(XMn(M-D,M-D)。充分性。若 VX E OEL(G,N,J),(XMn(D,D)C(X=X,于是X=(X*Mn(D,D),即(X,(XM n(E,E)=(a,bc)=4(g,i)=(1,4,不满足定理5，所以E=（,b,c不是OE-协调集。事实上，由例1,核心属性eE,所以E一定不是OE-协调集。定理7（OE-协调集判定定理5）设（G,M，I,N,J）为OE-协调的决策形式背景，则D是OE-194定义7设(G,M,I,N,J)为OE-协调决策形式背景,(X,(A,B,),(X,(A,B,)E OEL(G,M,I),称DISoEL(X,(A,B,),(X,(A,B,)=r(A,-A,B;-B,),(X,X,N)E OEL(G,N,J)且(X,(A,B,)(X,(A,B,);(0,0),其他。为(X,，（A,B,)）与(X,，（A,B,)）的OE-差别属性集。称TCiTCi(0,0)TC2(e,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(,0)(0,0)(0,0)(,0)TC(0,0)(0,0)(0.0)(0.0)(0,0)(0,0)(0,)(0,0)(0.0)TC4(,bc)(0.0)(0.0)(0.0)(.0)(.0)(0,0)(0.)(0.0)TCs(0,0)(df,a)(de,a)(0.0)(,0)(,0)(0,0)(0.)(,0)TC(0,0)(O,bc)(0,0)(e,0)TC7(0,0)(0,0)(0.0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(O.0)(0,0)TC:(0,0)(0,0)(0.0)(a,d)(,0)(,0)(0,0)(.0)(,0)TC,(,0)(0,0)(0,0)(0,0)(bc,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)TCio(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,bc)(df,a)(de,a)(0,0)(0,0)TCu(0,0)(,0)(0,0)(0,0)(0,0)(a,df)(0,0)(e,J)TC12(0,0)(0,0)(0.0)(0,0)(0,0)(0.0)(a,de)(f,e)(0,0)TC13(0,0)(0.0)(0,0)(,0)(0,0)(.0)(0,0)(0,0)(a,bcdef)引理1设(G,M,I)为形式背景，（X,(A;,B),(X,(A,B,),(X,(A,B)E OEL(G,M,I),(X,(A,B)(X,(A,B),(X,(A,B,)(Xt,(Ak,B),D C M,如果(A,B)(D,D)+(A,B,)n(D,D),那么(A;,B)n(D,D)(Ab,B.)n(D,D)。证明由于(X,(A,B,)）(Xj,(A,B),所以(A,B,)（A,B,),故(A,B,)n(D,D)2(A,B,)n(D,D)。又(A,B,)n(D,D)(Aj,B)n(D,D),因而(A,B,)n(D,D)(A,B)n(D,D)。另外，由(X,(A,B,)）（X,（A k,B),可得(A,B,）2（A,B,)，从而(A,B,）n(D,D)（A t,B)n(D,D),因此(A,B,)n(D,D)(A,B)n(D,D),于是(A,B,)n(D,D)(Ar,B.)n(D,D)。定理8（OE-协调集判定定理6）设（G,M,I,N,J）为OE-协调决策形式背景，DM，D，下列命题等价。i)D是OE-协调集。ii)任意(X，（A,B,)，（Xj，（A,B)）E西北大学学报（自然科学版）为该OE-协调决策形式背景的OE-差别矩阵。例3（续例1）根据定义7，表2 给出了例1中决策形式背景（G,M,I,N,J）的OE-差别矩阵AoEL其中，矩阵第i行第j列代表的是OE-条件概念TC,与TC,的差别属性集DISoel（T C,，T C,）。表2 例1 中决策形式背景的OE-差别矩阵Tab.2OE-discernibility matrix of formal decision context in example 1TC2TC3(0.)(0,0)(0.)(0.0)(.0)(0.0)(0.)(,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(,0)(abc,def)OEL(G,M,I),若(X,X,N)E OEL(G,N,J)且(Xi,(A,B)(X,(A,B,),则(A,B,)n(D,D)(A,B,)n(D,D)。ii)任意(Ym,（Cm,Em),(Yn,（Cn,En)）EOEL(G,M,I),若 DISol(Ym,(Cm,Em),(Yn,(Cn,E,)(,O),则(D,D)n DISoL(Ym,(Cm,Em),(Yn,(C,En)(,)。iv）任意A,B C M,若(A,B）n（D,D）=(O,O),则(A,B)AoEL。证明i)ii)。因为D是OE-协调集，所以 OEL(G,D,ID)OEL(G,N,J)。V(X,(A,B:),(X,(A,B,)）=O EL(G,M,I)，若(X,X,N)E OEL(G,N,J),则 3C,E,D,(X,(C,E.)E OEL(G,D,ID),(C,E.)=X,“D=X,n(D,D)=（A,B)n(D,D)。又因为(X,(A,B)(X,(A,B,),所以X,CX,。再由(A,B)2(A,B)n(D,D),可得X,=(Aj,B,)C(A,B)n(D,D),于是X,C(A,B,)n(D,D),从而可得(A,B)n(D,D)=第54卷AoEL=(DISoe(X,(A,B,),(X,(A,B,),(X,(A,B,),(X,(A,B,)E OEL(G,M,I)TC4TCsTC6TC7TCsTCTCIo(0,0)(0,0)(0.0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(bcdf,ae)TCu(0.0)(0,0)(0.)(0,0)(0.0)(,0)(O.0)(,0)(0.0)(0,0)(0,0)(0,0)(bede,af)TC12(0.,0)(.0)(0.0)(0.0)(0,0)(0,0)(,0)(0,0)(0,0)(,0)(0,0)(0.0)(.0)TC13(.0)(,0)(0.0)(0,0)(,0)(0,0)(0,0)(,0)(,0)(0,0)(0,0)(0.0)第2 期(C,E.)*=X,(A,B,)n(D,D)。因此,(A,B,)n(D,D)+(A,B,)n(D,D)。ii)=i)。V(X,(A,B)E O EL(G,N,J),因为 OEL(G,M,I)OEL(G,N,J)，所以(X,XM)E OEL(G,M,I)。若能证明(X,XD)=(X,XMn（D,D)）E O EL(G,D,I）也成立，则OEL(G,D,ID)OEL(G,N,J),D 是 OE-协调集。即证(XM n(D,D)=X。(反证法）假设(XM n（D,D)X。一方面,由于(X,XM),(XMn(D,D),(XM n(D,D)*M)E OEL(G,M,I),从而(XMn(D,D)MXM。又由(XMn(D,D)*M=X,于是(XMn(D,D)MC XM,因此,必存在(Y,(C,E)EOEL(G,M,I),使得(X,XM)(Y,(C,E),且(Y,(C,E)(XMn(D,D),(XMn(D,D)M)n(D,D)。另一方面，由(XMn(D,D)MCXM,所以(XMn(D,D)Mn(D,D)XM n(D,D),而 XMn(D,D)(XMn(D,D)M,故XMn(D,D)=(XMn(D,D)n(D,D)(XMn(D,D)Mn(D,D)。从而XMn(D,D)=(XMn(D,D)M)n(D,D)。与XMn(D,D)(XMn(D,D)M)n(D,D）矛盾，故假设不成立。因此，（XMn（D,D)*=X。ii)ili)。V(Ym，（Cm,Em),(Yn,，（C,E,)）E O EL(G,M,I)，若 DISoml(Ym，（Cm,Em),(Yn，(Cn,En)（,)，则(Ym,YN)E OEL(G,N,J)且(Ym,(Cm,Em)(Yn,(Cn,E,)。故(Cm,Em)n(D,D)(Cn,E,)n(D,D)。再由(Cm,Em）D（Cn,En),得(Cm,Em)n(D,D)2(Cn,E,)n(D,D)。于是(Cm,Em)n(D,D)D(C,E,)n(D,D)。因此,(Cm-Cn,Em-E,)n(D,D)(,O),即(D,D)nDISoe(Ym，（Cm,Em)，（Yn，（Cn,E,)）(0,0)。ii)=ii)。V(X,(A,B,),(X,(A,B,)EOEL(G,M,I),若(X,X,N)E OEL(G,N,J)且(X,(A,B,)(X,(A,B,),则DISol(X,(A,B,),(X,(A,B,)（,),从而可得(D,D)nDISol(X,(A,B),(X,(A,B,)+(,O),常丽娜，等：决策形式背景基于OE-协调性的属性约简ili）台iv）。显然成立。为叙述方便,将OE-差别矩阵中的元素稍作变换，若DISoL(X,（A,B)，（Y,（C,D)）=(E,F)，则重新记DISoEL(X,(A,B),(Y,(C,D)）为H=EUF，依然用oL来表示决策背景(G,M,I,N,J）的OE-差别矩阵。定理8 表明，OE-协调的决策形式背景的协调集与差别矩阵的每个元素相交都非空，而约简就是找满足这些条件的协调集中的极小集合。定义8 设(G,M,I,N,J)为OE-协调决策形式背景，则其OE-差别函数为f(AoEL)=H(Vh)HEOELhEH根据，V的运算律，差别函数可以变换为最小析取范式，这个最小范式的所有合取式就是OE-协调的决策形式背景（G,M,I,N,J）的全部OE-约简。例4（续例1）求例1 中决策形式背景(G,M,I,N,J)的 OE-差别函数。f(AoeL)=e(bVc)(aVdVf)(aVd Ve)/(aVd)(ef)(aVbVcVdVeVf)=e入（(bVc)(aVd)=(abe)V(ace)V(bde)V(cde)。决策形式背景(G,M,I,N,J）共有4个约简，分别是D,=a,b,e,D,=a,c,e,D,=b,d,el,D4=c,d,el，与例1 所得结果相同。3结语本文基于对象导出三支概念格，在OE-协调的决策形式背景下，首先定义了OE-协调集和OE-约简；其次，给出了OE-协调集的几个判定定理和OE-约简的判定定理；最后，给出了利用差别矩阵和差别函数求OE-约简的计算方法。对于OE-协调的决策形式背景，OE-约简也是保持OE-非允余规则信息不丢失的约简，所以本文提出的OE-协调集的判定定理也是保持OE-非允余规则信息不丢失的协调集判定定理，丰富了三支概念分析的内容。研究决策形式背景的属性约简理论是十分有 195.即(D,D)（A,-A,B,-B）（O,O),因此,(A,B,)n(D,D)+(A,B,)n(D,D)。196意义的，在约简后的决策背景上进行知识的更新与获取，既能保证知识的完整性，也更加精炼。本文是从对象导出三支概念格出发，研究了决策形式背景保持OE-协调性的属性约简问题，下一步还可从属性导出三支概念格出发来研究决策属性背景的保持AE-协调性的约简问题。参考文献1WILLE R.Restructuring lattice theory:An approachbased on hierarchies of concepts C/RIVAL I.Or-dered Sets.Dordrecht-Boston:Reidel,1982:445-470.2GANTER B,WILLE R.Formal concept analysis:Mathematical foundations M.Berlin:Springer-Ver-lag,1999.3ZHI H L,QI J J