线代基础讲义4.17-4.21补充文档【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

§5.方程组的公共解、同解1.两个方程组的公共解对于方程组（Ⅰ）和（Ⅱ），如果既是方程组（Ⅰ）的解，又是方程组（Ⅱ）的解，则称是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共解.【例4.17】设线性方程组,04,02,03221321321xaxxaxxxxxx（1）与方程12321axxx（2）有公共解,求a的值及所有的公共解.【例4.18】设4元齐次线性方程组（I）为，又已知某齐次线性方程组（II）的通解为,求公共解.【例4.19】已知线性方程组（I）的基础解系为：20101,,10011ξξ线性方程组（II）的基础解系为：120111,,1001ηη求两方程组的公共解.2.两个方程组的同解如果方程组（Ⅰ）的每个解都是方程组（Ⅱ）的解，而且方程组（Ⅱ）的每个解也都是方程组（Ⅰ）的解，则方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解.【例4.20】证明齐次方程0Ax与0AxAT同解.132400xxxx12(0,1,1,0)(1,2,2,1)TTkk【例4.21】证明（1）min,rABrArB（2）若mnnsAB0，则rArBn解析【例4.17】【解析】将方程组联立，得12312321231230204021xxxxxaxxxaxxxxa则联立后的方程组的解即为原来两个方程组的公共解.2211101110101112001100101,1400310001112110101000(1)(2)aaaaAbaaaaaaaa当12aa且无解；当1a时，10100100,00000000Ab公共解10,()1xkkR当2a时，10110101,00110000Ab唯一的公共解011x.【例4.18】【解析】（II）的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1)TTkk.122123124222xkxkkxkkxk代入（I）132400xxxx得2121222020kkkkkk21kk公共解为:1101121201kk11111k.【例4.19】【解析】令11223142xxxxξξηη得132422xxxx解得公共解为：11,21kk为任意常数.【例4.20】【解析】若x满足0Ax，则有0AxAT，即0AxAT.若x满足0AxAT，则0...