聚焦计数原理的常见题型.pdf

广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 题型一、组数问题例1 用0,1,2,3,4,5可以组成个无重复数字且比2 0 0 0大的四位偶数。解析:完成这件事可分为三类。第一类是个位数字为0的比2 0 0 0大的四位偶数,可以分三步完成:第一步,选取千位上的数字,只有2,3,4,5可以选择,有4种选法;第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数字外,还有4个数字可以选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法。由分步乘法计数原理知,这类数的个数为4 4 3=4 8。第二类是个位数字为2的比2 0 0 0大的四位偶数,可以分三步完成:第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0,只有3个数字可以选择,有3种选法;第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾2个数字之后,还有4个数字可以选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法。由分步乘法计数原理知,这类数的个数为3 4 3=3 6。第三类是个位数字为4的比2 0 0 0大的四位偶数,其方法步骤同第二类,有3 6个数。对以上三类用分类加法计数原理,得所求无重复数字且比2 0 0 0大的四位偶数有4 8+3 6+3 6=1 2 0(个)。点评:解此类问题的步骤:(1)弄清完成这件事需要做什么;(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准;(4)利用两个计数原理求解。题型二、涂色问题图1例2 如图1所示,将四棱锥S-A B C D的每一个顶 点 染 上 一 种 颜 色,并且同一条棱上的两个端点异色,如 果 只 有5种 颜 色可供 使 用,那 么 不 同 染 色方法的种数为。解析:(方法一)按所用颜色种数分类。第一类,5种颜色全用,共有A55种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必须某两个顶点同色(A与C,或与D),共有2 A45种不同的方法;第三类,只用3种颜色,则A与C,与D必定同色,共有A35种不同的方法。由分类加法计数原理得,不同的染色方法种数为A55+2 A45+A35=4 2 0。(方法二)以S,A,B,C,D顺序分步染色。第一步,S点染色,有5种方法。第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法。第三步,点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法。第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类:当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,也不同色,所以C点有2种染色方法,D点有2种染色方法。由分步乘法、分类加法计数原理得,不同的染色方法共有5 4 3(13+22)=4 2 0(种)。点评:涂色问题常用的两种方法:(1)按61 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)按颜色的不同,以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析。题型三、种植问题例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,则有种不同的种植方法。解析:(方法一,直接法)若黄瓜种在第一块土地上,则有32=6(种)不同的种植方法。同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3 2=6(种)不同的种植方法。故不同的种植方法共有6 3=1 8(种)。(方法二,间接法)从4种蔬菜中选出3种,种在三块土地上,有432=2 4(种)方法,其中不种黄瓜有321=6(种)方法。故共有2 4-6=1 8(种)不同的种植方法。点评:种植问题常用的两种方法:(1)按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理求解;(2)按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理求解。题型四、住店问题例4 5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所高校,则不同报名方法的种数是()。A.35 B.53 C.A23 D.C35解析:每名应届毕业生只能报1所高校,每所高校可由多名应届毕业生报考,所以“应届毕业生”相当于“客”,“高 校”相 当 于“房间”,5人住3个房间,共有35种不同的住法。故选A。点评:此类问题用“住店法”求解,解题时需要确定所给的两类元素,哪一类是“客”(只能有一个选择的元素为客),哪一类是“房间”(可以容纳多个元素的为房间)。题型五、几何图形问题例5 如果一条直线与一个平面垂直,那么称 此 直 线 与 平 面 构 成 一 个“正 交 线 面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()。A.4 8 B.1 8 C.2 4 D.3 6解析:在正方体中,每一个表面有4条棱与之垂直,6个表面,共构成2 4个“正交线面对”;而正方体的6个对角面中,每个对角面有2条面对角线与之垂直,共构成1 2个“正交线面对”,所以共有2 4+1 2=3 6(个)“正交线面对”。选D。点评:求解几何图形问题,分析几何图形的结构特点,厘清事件由哪些几何元素构成,满足什么样的几何特征才能完成一个事件。题型六、选取问题例6 中国有十二生肖,又叫十二属相,每 个 人 的 出 生 年 份 对 应 了 十 二 种 动 物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种。现有十二生肖的吉祥物各一个,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物,如果让三位同学对选取的礼物都满意,那么不同的选法有()。A.3 6 0种 B.5 0种C.6 0种 D.9 0种解析:若甲同学选择牛,则乙同学有2种选法,丙同学有1 0种选法,故不同的选法有1 2 1 0=2 0(种);若甲同学选择马,则乙同学有3种选法,丙同学有1 0种选法,故不同的选法有1 3 1 0=3 0(种)。所以共有2 0+3 0=5 0(种)不同的选法,选B。点评:当选取问题涉及对象数目很大时,一般有以下两种方法。(1)直接法,直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若按对象特征抽取,则按分类进行。(2)间接法,去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。(责任编辑 徐利杰)71解题篇 经典题突破方法 高二数学 2 0 2 4年3月