具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1681-1698http:/具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率1韩忠杰1贺以恒2 赵志学*（1天津大学数学学院天津30 0 354；2 天津师范大学数学科学学院天津30 0 38 7)摘要：该文主要研究弱耦合弹性板系统的稳定性和最优衰减率，其中系统中仅有一块板带有阻尼(粘性阻尼、结构阻尼或Kelvin-Voigt阻尼).基于频域方法和对系统算子细致的谱分析，导出了系统的最优多项式衰减率.此外，还确定了系统的最优衰减率与阻尼阶数之间的关系，并且发现了一个有趣的现象，即间接阻尼的阶数越高，弱耦合板系统衰减越慢最后，通过数值模拟对理论结果进行了验证。关键词：耦合弹性板；间接镇定；最优多项式衰减；谱分析；频域方法.MR(2020)主题分类：93D20;93C05文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-16 8 1-181引言设2 是Rn中的一个有界集，并且具有光滑边界32.本文主要研究上两个弱耦合弹性板的长时间渐近行为，其中仅有一个板带有阻尼.具体的，本文所研究的弱耦合系统可描述为utt+?u+au+=0,E2,t0,tt+2+a u+n(-)vt+=0,E2,t 0,ulan=u la n =u la n =0,t 0,u a n=0,(u +n u t)l a n =0,当=2时,(u(a,0)=uo(a),ut(a,0)=u(a),v(a,0)=v(a),vt(r,0)=vi(c),a E2,其中，u(c,t)和(a,t)分别表示t时刻 处板的位移；0为耦合系数，并且假定它足够小；常数n0为阻尼系数；（-)ut，=0,1,2 代表三种不同类型的阻尼1,即粘性阻尼（=0,也称为摩擦阻尼)，结构阻尼（=1）和Kelvin-Voigt 阻尼（=2)。弱耦合板系统（1.1）可以看作Russell33提出的一般性框架的一个特例。这类模型可以用来描述塑性复合材料的振动，这类材料广泛应用于飞行器、舰船、潜艇等，众所周知，振动在工程中往往起着消极的作用，因此通常需要对这类系统施加各种类型的阻尼来抑制振动35。注意到当耦合系数=0时，系统（1.1）将解耦成一个保守板（u系统）和一个阻尼板（系统).已有研究表明，具有上述三种不同类型阻尼的板方程对应的半群都是指数稳定的.特别地，在结构阻尼和Kelvin-Voigt 阻尼情形半群还是解析的11,2 1,2 2。一个自然的间题是，当耦合系收稿日期：2 0 2 1-12-2 3；修订日期：2 0 2 3-0 4-10E-mail:基金项目：国家自然科学基金（6 2 0 7 32 36，1190 1433)Supported by the NSFC(62073236,11901433)*通讯作者Jcientia中图分类号：O231.4文献标识码：A(1.1)当=0,1时,1682数0时，保守的u系统能否通过耦合作用被另一个带有阻尼的系统间接镇定关于该问题已有许多研究结果一般来说，不同于单一阻尼系统的指数衰减，弱耦合波方程或板方程往往只具有慢衰减性，比如多项式衰减、对数衰减5而间接阻尼的类型（阻尼阶数）与耦合系统（1.1）最优衰减率之间的关系则是本文的主要研究内容.定义系统（1.1）的自然能量如下直接计算可得这表明系统（1.1）是耗散的.而且，由（1.3）式可以看出，系统（1.1）的能量耗散只依赖于耦合系统中的U部分，而与保守的u部分无关.换句话说，保守板方程是通过耦合作用被耗散板方程的阻尼效应间接镇定的正因为如此，该类问题也称为间接控制或间接镇定问题33耦合弹性板系统的间接镇定问题已有广泛的研究.2 0 世纪90 年代，Russell33提出了一个关于弹性系统间接阻尼问题的一般性框架此后，大量有关间接控制和间接镇定问题的研究成果开始出现例如，关于带有间接粘性阻尼的弱耦合双曲系统（耦合波方程、板方程或波-板系统）的多项式稳定性或对数稳定性研究，可参考文献4-6，14，16，17，2 3，2 5,34,38；关于强耦合（通过速度耦合）波方程或板方程的能量衰减率研究，可参考文献7，12，15；关于具有间接阻尼的耦合弹性板或波系统的正则性和稳定性研究，可参考文献9，18,2 0,2 6；关于耦合板方程或波方程的间接边界镇定问题研究，可参考文献3，2 9,32 需要注意的是，有关该类问题的研究很多，这里仅列出了部分文献带有其它类型间接阻尼的耦合系统稳定性研究也有一些很好的结果，比如关于热阻尼13,36,37、分数阶阻尼2,30 的研究.前面提到的结果主要集中在具有粘性阻尼（=0）耦合系统的稳定性或者具有结构阻尼（=1)、K e l v i n-Vo i g t 阻尼（=2）系统的正则性。此外，利用 Riesz 基方法，文献2 8 还研究了具有负阶（0充分小时，H成为一个Hilbert空间.定义系统算子A，=0,1,2 如下，当=0(粘性阻尼)时,y定义域为D(Ao)=(u,y,U,2)H ly,z,u,AuE V(2);当=1(结构阻尼)时，y2定义域为D(A1)=(u,y,U,z)H ly,z2,Au,Ave V(2);当=2(Kelvin-Voigt 阻尼)时,y定义域为D(A2)=(u,y,v,z)e Hly,z,Au,Au+nAz e V(2).则系统（1.1）可写为状态空间H中的发展方程U(O)=Uo,其中,U(t)=(u(-,t),g(,t),v(-,t),z(,t),Uo=(uo(-),ul(-),vo(),l()E H.下面的定理2.1建立了系统（2.6)）的适定性。韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率H=V(2)L2(2)V(2)L2(2),(AuiA2+iu+y+Ai+vi2+iz+aiu+Qui2)dc,(2 +n z)-u-)y-2 u-Q w-u(-(u-n z)-Q u-U)y-2 u-Q u-u-(A u +n 2)-Q u-)dU(t)=AU(t),t 0,dt1683(2.1)(2.2)y-2 u -v-u(2.6)(2.8)(2.9)2+B1684定理2.1设算子A，=0,1,2 及空间H定义如前所示，则有如下结果成立(1)0 Ep(A),其中,p(A）表示算子 A的预解集;(2)对=0,1,2,算子Ag总是生成H上的Co压缩半群(etAp)t0.通过对系统算子A细致的谱分析，可以得到如下关于算子A,=0,1,2的本征值的渐近表达式.命题2.1算子A，=0,1,2 定义如前所述，uk)keN*为简单支撑边界条件下拉普拉斯算子-的本征值.则算子A的本征值包含两个分支，分别记为 入1,，2,b，并且具有如下渐近表达式(1)当=0 时,(2)当=1 时,(3)当=2 时,由（2.7)-(2.9）式给出的渐近表达式容易看出，对=0,1,2，虚轴总是算子A的特征值的渐近线，这意味着系统（2.6）达不到一致指数衰减.推论2.1对=0,1或2,系统(2.6)均不是一致指数衰减的下面进一步研究系统（2.6)的慢衰减率，本文的主要结果如下。定理2.2 对任意初值 UoED(A)，系统（2.6)是多项式稳定的，且最优衰减率为=0,1,2.即存在常数C0,满足注2.1，定理2.2 表明，随着阻尼阶数的增大，多项式衰减率，=0,1,2将变小。换句话说，随着阻尼的阶数从=0逐渐增大到=1,=2（分别对应粘性阻尼、结构阻尼、Kelvin-Voigt阻尼)，系统（1.1）将会衰减越来越慢.注2.2 与弱耦合系统相关的一些其它方面的问题也值得进一步研究，例如(a)关于阻尼项（-)t，本文研究了三种不同类型的阻尼，分别相应于=0,1,2.除整数阶阻尼外，还可以考虑分数阶阻尼，例如E(0,1)或者E（1,2)，并且可以预计的是耦合系统的相应衰减率与阻尼阶数有关.此外，还需要引入一些新的技术来处理分数阶微积分问题，感兴趣的读者可以参考文献2,8.数学物理学报土ik2k2nkin2iuk+028uk11土iuk+11.k2k4nukm?-4uk+0(k);2211Q2一uk入2,12IletApUollu Ct-2+UollD(A),Vt 1.Vol.43 AQ2(2.7)Q22n2k4%2nk1k2MNo.6(b）具有边界阻尼的弱耦合板系统的稳定性仍然是未知的虽然在弱耦合波动方程的间接边界镇定问题研究上已有一些结果，如文献3,2 3，但对于弱耦合板的间接边界阻尼问题，目前研究成果较少。虽然衰减率也可以通过频域方法来估计，但即使对于一维弱耦合板系统，衰减率最优性的验证也可能成为一个棘手的问题，这主要是由于相应系统算子谱的渐近分布难以估计。(c)如果阻尼系数 n是区域上的一个函数，相应系统的稳定性分析也是一个有趣的问题一般来说，阻尼类型以及阻尼区域的几何条件都会对系统衰减率产生影响.针对这类问题，Alabau 和Lautaud6对带有局部粘性阻尼，Akil等1对带有局部摩擦阻尼的耦合波方程进行了研究。但据我们所知，目前为止尚未有关于不同类型局部阻尼的弱耦合高维板方程衰减率的研究结果.3适定性(定理2.1的证明)本节证明系统（2.6）的适定性，分为以下两部分(1)A 耗散对 U=(u,y,U,z)E D(A),直接计算可得(ApU,U)=AyAu+yu-(-A)2u+au+u)y+z+z-(-)+Qu+n(-)z +)z+ayu+zuda(Ay-uy)+(Az-z)+(yu-u)+(z-uz)+(y-)+(2-uz)-n(-)B/2(-)/2 da,从而，Re(ApU,U)H=-n因此，算子A是耗散的.(2)A 是双射首先证明A是单射。设W=（a,9,2）ED(A s）满足AsW=0,只需说明W=0.由A的定义(2.3)-(2.5)式,有(3.2)2=0在 V(2)里,(2+Q u+=0 在L2(2)里,并且满足如下边界条件ilan=ila n =la n =la n =0.根据(3.2)1式和(3.2)3式，9=0,之=0，还需进一步说明=0.一方面，将(3.2)2 式和(3.2)4式相加得2(+)+(1+)(a+)=0,注意到边界条件(a+)la=(+)la=0,从而有=0.另一方面,(3.2)2 式与(3.2)4式相减得2(-)+(1-)(-)=0,根据边界条件(-)la=（-)la=0 可得-=0.因此,=0.这说明A是单射.韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率9=02 a+0+a=00 在 L2(2)里,1685(-)/2 2/2 d a 0.(3.1)在 V(2)里,1686下面证明A是满射，只需说明对任意的 F=（e,f,g,h）EH，存在U=（u,y,U,2)ED(Ap)使得(3.3)即y=e?u+Q u+u=-f2=9(2 u+n(-)z+u+=-h在 L2(2)里.设(S,S)EV(2)V(2)，分别用和（乘以(3.4)2 式和(3.4)4式并积分，两式相加得a(u,U),(E,C)=L(s,S),V(E,S)E V(2)V(2),其中a(u,u),(s,S)=数学物理学报AsU=F,在 V(2)里,在 L2(2)里,在 V(2)里,(Aus+au+u+au+)da,Vol.43 A(3.4)(3.5)(3.6)L(s,C)=-/.(fE+h+n(-)B/2 g(-A)/2 c)d a.直接验证可知，是V(2)V(2)上满足连续性和强制性的一个双线性形式,L是V(2)上满足连续性的一个线性形式根据Lax-Milgram定理，变分问题（3.5）存在唯一解（u,u）EV(2)V(2).为了证明U=（u,y,z)D(A）的存在性，还需要说明当=0,1时，有u，EH2(2),当=2时,有 u,+n z E H 2(2).显然,根据(u,u)V(2)V(2)和(3.4)2 式可知uEH2(2).当=0,1时，综合(u,)V(2)V(2)，(3.4)3式及(3.4)4式可得u E H 2(2);当=2 时,根据(u,)V(2)V(2)和(3.4)4 可得+nzE H2(2).因此,存在 U=(u,y,U,2)E D(A)使得(3.3)式成立.根据Lumer-Phillips 定理31,，可知Ag生成H上的一个Co压缩半群etApt0,这样就完成了系统（1.1）的适定性证明.4谱分析（命题2.1的证明)本节主要给出系统算子A，=0,1,2 谱的渐近分布.考虑本征值问题（I-A)U=0,即(4.1)2-入U=0,(-(-)2 u +n(-)z+au+u-入z=0.在系统（1.1）简单支撑边界条件下，拉普拉斯算子的本征值及相应的本征向量分别记为 k,其满足当 k+时,k+o0.令(4.2)(3.7)y-入u=0,-(-)2 u +a u +u -入y=0,uk=Ck,Uk=Dh,No.6其中C,D为常数.将（4.2)式代入（4.1)式得因此，入k是A的本征值当且仅当入+1韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率入+1+nu入k+1D(A2+1)(A+呢+n入+1)-Q2=0.1687=0.(4.3)下面我们将从特征多项式（4.3）式出发推导本征值入的渐近表达式根据（4.3）式，本征值入一定满足下面两个不等式之一1%+1,元+%+n入k+1a,分以下两种情况讨论情形1存在一支本征值【入1,）满足0.则下面两条表述是等价的(i)存在一个常数 c0,使得对任意的 UoE D(A),有(i)lim sup I(i-A)-1/H00.定理2.2 的证明月只需证明iRCp(A）以及引理5.1中的条件(i)对s=2+成立.分为以下两部分(1)iR C p(A).用反证法，假设iR p(A).注意到OEp(A）且p(A）是C中的一个开集，从而有0 入 0:-i,i C p(As),=0,1,2.根据 Banach-Steinhaus 定理2 7,存在序列 Un=（u n,Yn,U n,z n)E D(A p),IU n l l H=1,以及入n ER,入n入,满足(5.1)即i入n un-Yn=:gn,1 0 i入nYn+2 u n +Q U n +u n =:g n,2 0i入nUn-Zn=:gn,3 0(i入nzn+2 n +un+n(-)zn+Un=:gn,40 在 L2(2)里.数学物理学报A2.+%+n2,k+1 a.X2,+呢+n入2,/=0(1),k 00,2.kIIT(t)UollH ct-IUollD(A),t 1.n-8lim l(i入nI-Ap)UnllH=0,Vol.43 A(4.9)2在 V(2)里,在 L2(2)里,在 V(2)里,No.6下面说明如下定义的量当n时都收敛到0,I/Aunl/L2(2),Ilun l/L2(2),Il l/L2(2),I/Aunl/L2(2),Ilunl/L2(2),II/znl/L2(2),这类量以下记为o(1).由(5.1)式和(3.1)式可得,Re(iAan-Ae)Un,Un)n=l(-A)nl/2()=(1).根据(5.2)3式及入n入，Ilu l L2(2)=0(1)n l L2(2)=o(1),当 =0 时,Ilu l/L2(2)=(1),l/nl 2(2)=o(1),当 =1 时,(II/unl/L(2)=0(1),当=2时,其中，=1时应用了Poincar 不等式。将(5.2)1式代入(5.2)2 式,并在L2(2)中和 un作内积得(un,gn,2)L2=-i入n(un,yn)L2+(un,2 u n)L2 +a(U n,U n)L2 +(u n,u n)L2同理，将(5.2)3式代入(5.2)4式，并在L2(2)中和um作内积得(gn,4,n)L2=i入n(2m,un)2+(2Un,un)L2+a(un,un)2+n(-)Pz n,u n)L2 +(U n,u n)L?=-in(gn,3,un)L2+(1-XR)(un,un)L2+(Aun,Aun)L2+a(un,un)L2+n(-)zn,n)L2=o(1).(5.7)式与(5.6)式相减并取实部，则a(un,Un)L2-a(un,un)2-nRe(-)g z n,u n)2 =0(1).此外,根据(5.4)式和(5.5)式,(-A)Pzm,un)L2=(-)z n,(-)u n)L2 =o(1),=0,1,2,代入(5.8)式得为了证明（5.3）式成立，分以下两种情形讨论情形1=0,1.在这种情形下，根据（5.5）式可知unllz2(2)=o(1),结合（5.9)式有进一步，根据(5.2)1式可得在L2(2)中分别对(5.2)2 式和un，以及(5.2)4式和Un作内积，通过分部积分可得ian(yn,un)L2+(Aun,un)L2+(Un,un)L2+(un,un)L2=o(1),韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率=i入n(un,n,1)L2+(1-X2)(Un,un)L2+(AUn,Aun)L2+a(un,Un)L2=0(1).1689(5.3)(5.4)(5.5)(5.6)(5.7)(5.8)(un,Un)L2-(un,un)L2=o(1).(5.9)Ilunl/2(2)=(un,un)L2=0(1).(5.10)Ily l(2)=0(1).(5.11)1690ian(zn,Un)L2+(Aun,Aun)L2+a(un,Un)L2+(Un,Un)L2+n(-A)zn,Un)L2=0(1),结合(5.5)1,(5.5)2,(5.10)，(5.11)式,有最后，综合（5.5)1，5.5)2，（5.10)，（5.11）和（5.12）式可得UnllH=0(1)，这与UnlH=1矛盾情形2=2.考虑到（5.5)3式以及lunllL2(2）的有界性，并通过分部积分，有IIV n/2(0)=-(A n,n)L2 II unl()l/ul/(2)=(1).进一步,，根据Poincar 不等式,由(5.2)3 式可知类似于(5.9)-(5.12)式中的分析可知再结合(5.5)3，(5.14)和(5.15)式就得到矛盾IUnll=0(1).综合以上两种情形,总是成立 iR C p(A).(2)下面证明其中运用反证法假设（5.16）式不成立，根据 Banach-Steinhaus 定理，存在序列Un=(un,Yn,Un,zn)E D(Ap)(lIUnllH=1)及 入n E R(An 00),使得(5.18)n8其中j满足（5.17)式.更具体的，(5.18）式可写为(入1/i(i入n un-yn)=:fn,1 01/(ianyn+2un+an+un)=n,2 0/(i入n Un-zn)=:fn,3 0(A/1入n2m+2un+Qun+n(-)Pzmn+n=:fn,4 0 在 L2(2)里.根据耗散性(3.1)式,有Re(/i(i入n-Ap)Un,Un数学物理学报II/u l L2(2)=(1),IIAunl 2(2)=(1).Il u/L(2)=:(1),II z l(2)=0(1).IlunllL2(2)=0(1),Ilynl L2(2)=o(1),IIAunl L2(2)=0(1),lim sup-(i入I-Ap)-I l10,入8 0limI(i入nI-Ap)Unll/=0,Vol.43 A(5.12)(5.13)(5.14)(5.15)(5.16)1当=0时,12113当=1时,114当=2时.(-)zm(-A)2znda,(5.17)在 V(2)里,在 L?(2)里,在 V(2)里,(5.19)(5.20)No.6结合(5.18)式,可得进一步，根据(5.19)3式，当=0,1,2时，总有将表达式(5.17)代入(5.2 2)式得其中,=1时应用了Poincar不等式.将(5.19)1式代入(5.19)2 式，并在L2(2)中与Un作内积得(Un,fn,2)L2=-i入+1(Um,yn)L2+(Um,2 u n)L2 +a 入(um,Un)L2+入(Un,un)L2韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率II.,(-A)m L()0.i+(-L)n=入(-A)2m+入*(-A)fn,3 0,I1入u l L2(2)0,当=0 时,I入亮unllL2(2)0,当=1时,(II入unllL2(2)0,当=2 时,1+11691(5.21)(5.22)(5.23)+a入(un,Un)2+入x(un,un)L2 0,类似地，将(5.19)3式代入(5.19)4式，并在L2(2）中与un作内积可得(5.24)+nAx(-A)Pzm,um)2+Xx(un,un)L2+a(un,un)La+nA(-A)Pzm,n)La+x(un,un)L2 0.为了推导出矛盾，接下来证明IUnlH0.根据的不同取值，分为以下三种情况(1)=0.在这种情况下，由（5.17）式可知j=，此时（5.2 1)式即一方面，根据（5.2 3)1式，容易发现（5.2 4）式右边的第一项、第四项和第五项都趋于零，因此另一方面，根据（5.19)1，（5.2 3)1和（5.2 6）式，易知（5.2 5）式右边的第一项、第五项和第六项都趋于零，从而有-(Un,un)L2+入(AUn,Aun a+aA,(un,un)2=o(1).(5.27)式与(5.2 8)式相减得结合(5.19)1式可知(5.25)II n zn l L(2)0.(5.26)-入(un,un)L2+X(Aun,Aun)L2=0(1).(5.27)(5.28)入(un,un)L2 0,(5.29)Il u/()0.(5.30)1692在L2(2）中，分别对（5.19)2 式和入2 um，以及（5.19)4式和入2 n作内积，通过分部积分可得i入n(yn,un)La+(Aun,Aun)L2+(Un,n)L2+(un,un)L2-0,ian(zn,Un)L2+(AUn,Aun)L2+a(un,Un)L2+n(2n,Un)L2+(un,Un)L2-0,注意到(5.2 3)1，(5.2 6)，(5.2 9）和(5.30)式，从而有最后，综合（5.2 3)1，（5.2 6)，（5.30）和（5.31）式，可以得到矛盾UnH0.(2)=1.这种情况下，由（5.17）式可知j=根据（5.2 1）式及Poincar不等式，有(5.24）式右边除以入n，并将（5.2 3)2 式代入（5.2 4)式，可以看出第一项、第四项、第五项均趋于零，这说明此时（5.2 7）式仍然成立同理，（5.2 5）式两边同时乘以入1可得A-1 fn.4,un)L2=-i(fn,3,un)2-X(n,n)L2+X%AUn,un)L?通过分部积分，II/1/2 ul/2()=-(Aun,a un)L2()I/ul/2()/null()=(1),根据（5.19)3，(5.2 3)2，(5.32）和（5.34）式可以看出，(5.33）式右边第一项、第五项和第六项均趋于零，此后的证明过程完全类似于（5.2 8）和（5.31）式，此处不再赞述最后，仍可推得UnlH0,这与假设Unl=1矛盾.(3)=2.这种情况下，由（5.17）式可知=1根据（5.2 1）式，（5.2 3)3式以及I入nUnlL2(2）和IlznllL2(2）的有界性,经过分部积分可得IIV u/2(2)=-(Aun,n)2 I/nl/2()l ul/2(2)=0(入-4),IIzm/2(0)=-(Azmn,2n)L2 I/Az l L2()/nl/2()=0(A-2).进一步，由 Poincar 不等式可知,(5.24）式右边除以入并将（5.38）式代入，可以看出第一项、第四项、第五项均趋于零，这说明=2时（5.2 7）式仍然成立.同理，（5.2 5）式两边同时除以入，并注意到系统（1.1）的边界条件，有入-2(fn,4,un)L2=-i入-1(fn,3,un)L2-n(Un,n)L2+aA(un,un)L2数学物理学报IIAun l/L2(2)0,Iun/L2(2)0.II/3/z l/L()0.+aA,(un,n)La+nA,(Vzn,Vun)L2+X(Un,un)L?0.IIn znllL(2)=0(1),II1,unll L(2)=0(1).+入n(Aun+nAzn,Aun)L2+入(un,un)L2 0.Vol.43 A(5.31)(5.32)(5.33)(5.34)(5.35)(5.36)(5.37)(5.38)(5.39)No.6根据unllL2(2）的有界性及（5.2 1）式和（5.2 3)3式可知，（5.39）式右边第四项满足而且，根据（5.38）式及IunlL2(2）的有界性可知，（5.39）式右边第五项趋于零，从而由（5.2 3)3，（5.2 7）式以及Iu n l l L2(）的有界性可知从而,由(5.40)式可得根据(5.41)和(5.19)1式,类似于(5.30)-(5.31）式中的分析，可知综合(5.2 3)3，(5.37)，(5.38)，(5.41)，(5.42)及(5.43)式，可知IUnllH=0(1)，这与UnH=1矛盾.基于以上分析，(5.16）式总是成立的从而，根据引理5.1，系统（1.1)是多项式稳定的，并且衰减率至少为中，B=0.1,2.下面还需要进一步说明系统（1.1）的衰减率字，=0.,1.2是最优的，根据系统算子A，=0,1,2 本征值的渐近表达式(2.7)-(2.9)，可以看出，总存在一支满足这说明系统（1.1）的最优多项式衰减率为2+，=0,1,2(文献19,第4节)。这就完成了定理 2.2 的证明.6数值仿真本节给出算子A谱的渐近分布及系统（1.1）动力学行为的数值模拟，以此验证前面的理论结果.为简单起见，我们只考虑一维情况=0,1.系统参数选取为=1,n=0.1,分别取 0,1,2.为了得到算子A的谱分布，我们对特征多项式（4.3）进行数值求解，计算结果如图1所示，其中图1(a)，1(b)，1(c)分别对应于参数取0,1,2 时系统算子A谱的分布.需要注意的是，为了更清晰地展示谱的渐近分布，图1中同时使用了普通平面直角坐标系(图1(b)，1(c)中的局部放大图)和半对数坐标系.从图1可以看出，算子A的本征值包含两个分支，在=0，=1，=2 三种情形下，虚轴始终都是右边分支(黑色的点)的渐近线，这与谱的渐近表达式（2.7)-(2.9）一致.特别地，通过比较（2.7)-(2.9)式的实部可以发现，=0时右边分支趋向于虚轴的速度最慢，而当=2时，右边分支趋向于虚轴的速度最快，这与图1是一致的.对于谱的左边分支(红色的点)，图1(a),韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率X(Aun+nAzn,Aun)L2=o(1).-入h(un,un)L2+入,(un,n)L2=0(1).入(un,un)2=o(1),入(un,un)L2=0(1).Ily l L()0.II/unl L2(2)-0.0(1)IRe入1,nl=2mA1,/2+;=0,1,2,1693(5.40)(5.41)(5.42)(5.43)16941(b)和1(c)之间存在明显差异.具体来说,当=0时,图1(a)显示直线Re入=号=-0.0 5是左边分支的渐近线；当=1时，图1(b）显示左边分支的渐近线为两条斜线，斜率大致为2 0;当=2时，图1(c）显示左边分支的特征值都是实数，并且可以分为两部分，一部分趋于0 0，另一部分趋于聚点=-10.这些都与谱的渐近表达式(2.7)-(2.9）相吻合。数学物理学报Vol.43 A20000-20002000150010005000-500-1000-1500-2000-10-1关于系统（1.1）动力学行为的模拟，系统初值选取为u(a,0)=v(c,0)=10 sin a,ut(a,0)=vt(,0)=0.我们采取有限差分法对系统（1.1）进行数值求解需要指出的是，图2-4中不仅展示了u(c,t)，u(c,t)，而且给出了能量函数E(t)的模拟结果.由图2-4可以看出，对于不同类型的阻尼,即分别取0,1,2 时，u(c,t)和(,t)在t+时总是收敛于零然而，注意到图2-4中较长的仿真时间（图2 中T=150,图3中T=600,图4中T=6000)，可以看出收敛速度（特别是u-部分)不是很快，这意味着弱耦合系统(1.1)没有达到指数衰减（推论2.1).此外，对比图2(c),3(c)，4(c)可以看出，带有粘性阻尼（=0)时系统（1.1）总能量E(t）衰减最快，带有Kelvin-Voigt阻尼（=2)时能量衰减最慢.这与定理2.2 中关于多项式衰减率的理论结果是一致的.2000150010005000-500-1000-1500-2000-102-103(a)-1500-2000-1010图 1 谱的分布:(a)=0;(b)=1;(c)=2.-100-10-4-105200015001000-10.015000-5000-1000-4-105-50：-106-1050-10.005-3-2-100(c)-100(b)-10-10105-105-10-10-105-10-15-10-10No.6韩忠杰等：具有不同类型阻尼弱耦合板方程的间接镇定和最优衰减率1695105-5-10150100图 2 系统(1.1)仿真结果(=0):(a)u(a,t);(b)u(ac,t);(c)E(t)1050-5-101500.8500.60.40.2t00(a)10050004000300020001000000.8500.60.40.2t0(b)50100t(c)1501050-5-106001050-5-106004000.80.62000.40.2t00(a)图3 系统(1.1)仿真结果(=1):(a)u(c,t);(b)(c,t);(c)E(t).40050004000300020001000L01000.82000.60.40.2t00(b)200300t(c)4005006001696数学物理学报Vol.43 A1050-5-1060004000最后，注意到图3(c)和图4(c)中，系统能量E(t)在开始时衰减非常快实际上，通过将图3(b)，4(b）与图2(b）进行比较，容易发现图3(b)，4(b)中弱耦合系统（1.1)-部分 的衰减速度要比图2(b)中快得多.同时，图3(a)，4(a）中-部分 的快速衰减导致相应的u-部分 衰减比图2(a）中更慢这是合理的，原因在于-部分 直接受到阻尼的影响，而u-部分 则通过与-部分 的耦合间接受到阻尼的影响.因此，一开始系统能量E(t)）的快速衰减主要取决于“-部分,而u-部分 和u-部分 的共同作用导致了E(t)后期的缓慢衰减.1 Akil M,Badawi H,Nicaise S.Stability results of locally coupled wave equations with local Kelvin-Voigtdamping:Cases when the supports of damping and coupling coefficients are disjoint.Computational andApplied Mathematics,2022,41:Article number 2402 Akil M,Issa I,Wehbe A.Energy decay of some boundary coupled systems involving wave Euler-Bernoullibeam with one locally singular fractional Kelvin-Voigt 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