2018考研数学高数下册强化班讲义-张宇(1).pdf

新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 1 新东方在线考研新东方在线考研 2018 新东方在线考研数学高数强化班课程配套讲义新东方在线考研数学高数强化班课程配套讲义（数一）（数一）授课教师：张宇授课教师：张宇 欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材 目录 2018 新东方在线考研数学高数强化班课程配套讲义新东方在线考研数学高数强化班课程配套讲义.1 授课教师：张宇授课教师：张宇.1 第一讲 多元函数微分学.2 第二讲 二重积分.8 第三讲 微分方程.11 第四讲 无穷级数.16 第五讲 多元函数积分学.25 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 2 第一讲第一讲 多元函数微分学多元函数微分学 综述 1.概念-5 个 2.计算-微分法 3.应用-极值和最值问题 一、概念（169 页 高数 18 讲）一元函数概念 多元函数 z=f(x,y)1.极限的存在性-公说公有理，婆说婆有理 1）第一种定义法（数学专业、同济 6.7 版）设二元函数()(,)f pf x y的定义域为D，000(,)P xy是D的聚点.如果存在常数 A，对于任意给定的正数,总存在正数使得当点0(,)(,)oP x yDU P时，均有|()|(,)f pAf x yA 成立，那么就称常数 A 为函数(,)f x y当00(,)(,)x yxy时的极限，记作0000(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)x yxyf x yAf x yA x yxy或 以上是按集合论知识（以点集趋向方式）定义多元极限，通俗说来，只要（x,y）是“有定义的”，且满足(,)f x yA，则00(,)(,)lim(,)x yxyf x yA，这里自然“排除”了00(,)x y邻域内的无定义点，所以(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1 11 111lim=limlim2(1 1)(1 1)x yx yx yxyxyxyxyxyxy x f(x)0 Z=f(x,y)x y 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 3 2）第二种定义法（非数学专业的高等数学教材）若二元函数(,)f x y在00(,)x y的去心邻域有定义，且(,)x y以任意方式趋向于00(,)x y时，均有(,)f x yA，则00lim(,)xxyyf x yA 故由于1 1xyxy 在 x 轴 y 轴的去心邻域无定义，于是001 1limxyxyxy 不存在！按照两种定义，得出22000()1lim()sin()xyxyxy第一种定义不 第二种定义 所以，为避免这种教材定义不同的“矛盾”，教育部考试中心目前处理的比较恰当，比如（只考这种）2222001lim()sin0 xyxyxy（无论哪种定义）【注】除洛必达法则、单调有界准则、穷举法，可照搬一元函数求极限的方法。如 等价无穷小替换 无穷小乘以有界变量等于无穷小 夹逼准则 【例】求2222302220-sin()lim()xyxyxyxy 3322222222210,sin610,sin()6xxxxxyxyxyxy【解】故 原式=1/6 【例】222200limln()xyx yxy【分析】已知0lim ln0 xxx，故222200lim()ln()0 xyxyxy 原式=2222222200lim()ln()xyx yxyxyxy 而2()4abab，故 222222222221()14=()04xyx yxyxyxy 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 4 且原式大于 0，故2222222200lim()ln()=0 xyx yxyxyxy 【例】求242200sin(+ylimxyx yxy）242244222222222+ysin(+y)00 x yxyx yyxyxyxyxyyy 故原式=0 2.连续性 若0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy，则称(,)f x y在00(,)x y处连续.【注】若“”，叫“间断”。但多元函数在考研中不讨论间断类型.3.偏导数的存在性 (,)zfx y 水平 0000000000000(,)(,)(,)(,)(,)=z(,)limxxxf xyz xyf xx yf xyfxyxyxxx 铅锤 0000000(,)(,)(,)limyyf xyyf xyfxyy 【例】设26(,)xyf x ye，求(0,0),(0,0)xyff。【分析】见到00000(),(,),(,)xyfxfx yfx y，首要考虑定义法。严格按定义：2000 x(0+,0)(0,0)1(0,0)limlimlimxxxxxfxfefxxx 不 636()0000()(0,0+)(0,0)1(0,0)limlimlimlim0yyyyyyyyfyfefyyyy 4.可微性(,)zf x y 1）全增量 0000(+,+)(,)zfxx yyfxy 2）线性增量 0000(,)(,)xyAfxyA xB yBfxy 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 5 3）002200()lim0(,)(,)()()xyzA xB yf x yxyxy 在处可微 22=()+()zA xB yoxy 线性主部 微分学中，000000(,),(,)(,)xyxyxdxydydzfxy dxfxy dy 得全微分 dz(,)(,)xyfffx y dxfx y dydxdyxy全微分【例】设连续函数(,)zf x y满足2201(,)22lim0(1)xyf x yxyxy，则(0,1)dz【分析】22(,)22(1)f x yxyoxy 又01lim(,)220 xyf x yxy，则01lim(,)=1(0,1)=1xyf x yf，22(,)(0,1)2(0)(1)(0)(1)f x yfxyoxy 故(0,1)2dzdxdy 5.偏导数的连续性(,)zf x y 1）用定义求0000(,)(,)xyfx yfx y，2）用公式求(,)(,)xyfx yfx y，3）00?00lim(,)(,)xxxxyyfx yfxy，且00?y00lim(,)(,)yxxyyfx yfxy 若均是，则称 f(x,y)在00(,)x y处的偏导数连续。【注】逻辑关系(,)zf x y 二、计算（多元函数微分法）1）链式求导规则 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 6 设(,),(),(,),()zf u v w uu y vv x y ww x，称,x y叫自变量，,u v w叫中间变量，z叫因变量.|zzvzwxvxwx 【例】（闭关修炼 43 题）设(,)f x y一阶偏导数连续，在（1，0）的某邻域内有22(,)12(1)f x yxyoxy 成立，记(0,0)(,)(,),(,)yz x yf exydz x y则 2）对于高阶导数 无论z对谁求导，也无论对z已经求了几次导，求导之后的新函数仍具有与原函数z完全相同的复合结构.3）注意书写规范【例 1】设2(,)(sin,),xxz x yf eyyf有二阶连续偏导数，求2zx y 【例 2】已知函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数，12(1,1)2,(1,1)0(1,1)0fff，(,(,)zf xy f x y，求2(1,1)zx y【注】定下12ff，的规定后，遵守！关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 7 三、应用-多元函数的极值、最值 1.理论依据 1）无条件极值 函数取极值的必要条件：设(,)zf x y在点00(,)x y处一阶偏导数存在取极值，则0000(,)0,(,)0 xyfx yfx y.【注】适用于三元及以上.非充分条件！函数取极值的充分条件。记000000(,)(,)(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC，则200000AABAC 极小值点极大值点不是极值点该法失效，另谋他法，【例】闭关修炼 23 页例 46 设(,)zz x y是由222954906180(*)xxyyyzz所确定的函数，求(,)zz x y的极值.【分析】固定格式 求0(1,2,n),0 xiyfP if可疑点 用法，求000000(,)(,)(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC，200000AABAC 极小值点极大值点不是极值点该法失效，别谋他法 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 8 2）条件极值与拉格朗日乘数法 问题提法：求目标函数(,)uf x y z在约束条件(,)0(,)0 x y zx y z下的极值。固定格式固定格式（1）构造辅助函数(,)(,)(,)(,)F x y zf x y zx y zx y z （2）得0,0,0,0,0 xyzFFFFFi(1,2,n)P i（3）解方程组(,)()iiiiiP x y zu P，比较取最大、最小者为最大、最小值。根据实际问题，必存在最值，所得即所求。【例】闭关修炼 24 页 47 题 在曲线 L2224(,)=xyz3xyzx y zwxyz上求点，使分别为最大最小值，并求之。第二讲第二讲 二重积分二重积分 综述 1.概念与对称性 2.计算（直角坐标系，极坐标系）一、概念与对称性 1.概念对比 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 9 2.对称性 1）普通 设D关于y轴对称，12(,),(,)=(-,)(,)0(,)=-(-,)DDf x y df x yfx yf x y df x yfx y若，若 再如，D关于x轴对称，12,(,)=(,)(,)0(,)=(,)DDf x yf xyf x y df x yf xy，再如，D关于原点对称，12,(,)=(,)(,)0(,)=(,)DDf x yfxyf x y df x yfxy，例如，D 关于（0,0）对称，则22(cos sin)Dx yxy d 2）轮换对称性 2222122222:1:14343(23)(23)xyyxDDxy dxdyyx dydx【注】()(t)=(u)bbbaaaf x dxfdtfdu，称为“积分值与用几何字母表示无关”。故()()bbaaf x dxf y dy【例 11.23】设()f x是连续的恒正的函数，证明21()(),()bbaaf x dxdxbaabf x【分析】1）11=()(y)bbaadxdyf xf 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 10 左=1()()bbaaf x dxdyf y()()Df xdxdyf y 2）()=()bbaaf x dxf y dy 左=1()()bbaaf y dydxf x(y)()Dfdxdyf x 2 左=22()()22()()()()DDf yf xdxdydxdybaf xf yba原式 222222222:1:14444(23)(23)xyyxDDxy dxdyyx dydx 定义：若D中的x与y对调，可推出D不变。则：(,)(,)DDf x y dxdyf y x dxdy，此即为轮换对称性。【例】闭关修炼 24 页 48 设(),f xa b在上连续且单调递增，证明22()()2baDbayf y df x dx。(,),Dx y axb ayb 二、计算 1.直角系 X型区域（上下型）后积先定限，限内画直线，先交写下限，后交写上限。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 11 Y 型区域（左右型）2.极坐标系 21()()(,)(cos,sin)rrDIf x y ddf rrrdr 【例】计算222222D4-,12Ix y dxdy Dxyxyy由的上半圆与的下半圆围成 第三讲第三讲 微分方程微分方程 综述：按类求解，对号入座 1.一阶方程（可分离变量，齐次型，一阶线性型，可降阶）2.高阶方程（齐次非齐次）3.应用题 引言 基本概念 1.()(,.)0nF x y y yy 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 12 2.阶数-方程中y的最高阶导数的阶数12nn一阶高阶 3.通解-解中所含独立常数的个数=方程的阶数 一、一阶方程 1.变量可分离型(,)()()()()dydyF x yf x g yf x dxdxg y若【例】求2tantanyyxx的通解【分析】2tan(1)dyxydx2tan1dyxdxy111lnln cosln21yxCy 22111221111cos1cos1cosCCCyyyyxyxyx令21CC.22coscosCxyCx，0c.【注】求解微分方程中，除了后面一阶线性型欲讲的特殊情形外，一律在出现 lnu 且 u 不知正负时，写ln u。1,1yy，但1,1yy 是解.(奇解)丢解不丢分 非线性方程中，通解+奇解=全部解 线性方程中，通解就是全部解 2.齐次型()dyyfdxx 变量替换法 令,()1ydyduu uu xyuxxuxdxdx()duxuf udx 11()()duxf uududxdxf uux【例】求lnyx yyx的通解 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 13 3.一阶线性型()()yp x yq x，(),()p x q x为已知函数.pdxpdxpdxeypeyeq()pdxpdxy eeq pdxpdxy eeqdxCpdxpdxyeeqdxC 公式法 【例】求2()yyxy的通解.【注】尚有两种类型的方程，貌似二阶，实可降阶。(,)yf x y 型缺 y【分析】缺 y 则干掉 y,y,“赶尽杀绝”令 y=p，则 y=p 则(,)pf x p可分离变量齐次一阶微分方程 (,)yf y y 型 缺 x【分析】缺 x，绝不允许 x 再出现 令 y=p,则dpdp dydpypdxdy dxdy 故=(,)dpp f y pdy【例】求22(0)12()(0)1yyyyyy 满足的特解 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 14 二、高阶方程（2-4 阶）2()b a 1.0ypyqy(,p q为常数)-二阶常系数齐次线性方程 写特征方程220=4pqpq，写通解：1212121212121,21200=()0(cossin)xxxxxxyC eC eyC eC xeCC x eiyeCxCx 通通通令【例】设cosxxxe与为 4 阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则首项系数为 1 的该方程为 2.()xmypyqye px，()mpxxm 的 次多项式.通解为：yyy非齐次通齐通非齐次特*y的设定：设*=()xkmye Q x x，()mQxxm 的 次一般多项式；k的设定:一看：自由项中的 二算：解特征方程1,2 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 15 三比较：1,212120,1,2,k=或=【例】求24(2)xyyex的通解【分析】1.先研究40yy2122212402,2=xxyC eC e 齐通写写；2.设2*()xyeAxB x(一看：自由项中2；二算：122,2；三比较11k)将*y代回方程22(824)(2)xxeAxABex 2218198*()242981616xAAxyexABB 故：2222129=()816xxxxyC eC eex通.2）()cos()sinxmnypyqyepxxp xx 三、应用题 背景公平-信息给予 翻译成数学表达式【例】闭关修炼 28 页 55 题 已知22=12.8128,4.4130SpDp，设 P(t)随时间的变化率与 D-S 成正比，与 p 成反比，1,(0)54kp（1）建立 p(t)满足的微分方程（2）通过 y=p2，求解此方程。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 16 第四讲第四讲 无穷级数无穷级数 综述 1.数项级数的判敛 2.幂级数的收敛域 3.展开与求和 引言 1.概念 12n11limlim=0nnnnnnnnnUnsuusuuu给出+u叫无穷级数收敛反推不可 2.分类（225 页 4）011111.(0)2.(1)(0)3.()nnnnnnnnnnnnnu uu uu ua x正项级数（常）数项级数交错级数符号无限制 任意项级数函数项级数 4.幂级数 一、数项级数的判敛 p225 1.正项级数的判敛 收敛原则（考抽象）1nnnus收敛有上界 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 17 【分析】12=0nnsuuu limlimunnnnnnnssss有上界有界收敛存在收敛 【例】闭关修炼 p29 58（1）设1nnu为正项级数，证明1nnu收敛 ns有界（2）设 nx为单增的有界正数数列，证明11(1)nnnxx收敛 比较判别法 设1nnu1nnv为正项级数，且1111u,vnnnnnnnnnnvuvu收收则散散 比较判别法的极限形式 设1nnu1nnv为正项级数，则 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 18 11111111u0vlim0nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvuuuvuvvvuA 收收小散散收收小散散同敛散 【例】闭关修炼 p30 59 设 ,nnab满足nnbaneea，n=1,2,证（1）若0,0nnab则（2）若0na，1nna 收敛，则1nnnba收敛。比值判别法（达朗贝尔判别法）设1nnu为正项级数，则 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 19 11,lim1,=1nnnuu收发，该发失效，另谋他法（如通项中含有,!nan）根值判别法（柯西判别法）设1nnu为正项级数，则 1,lim1,=1nnnu收发，该发失效，另谋他法【例】判别1!2,3nnnnxxn在处的敛散性 2.交错级数（11(1),0nnnnu u）的判敛（1）莱布尼兹判别法 若11(1),0nnnnu u满足 1）lim=0nnu 2）1nnuu则级数收敛（2）例 p226【注】比较 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 20 1）11111nnaqqaqq 收敛，且收敛于发散 2）p-级数 1111pnpnp 收敛发散 3)广义 p-级数211(ln)1pnpnnp 收敛发散 4）交错 p-级数 1111(1)(0)01npnppnp 绝对收敛条件收敛 3.任意项级数（1nnnuu，符号无限制）的判敛 1）思路上 110nnnnuu加绝对值 2）理论上 1111+nnnnnnnnuuuu若收敛绝对收敛若发散条件收敛拆成正项级数 交错级数，收敛 【例 1】111(1)(0)npnpn 【例 2】已知 f(x)可导，10()2fx，设数列 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 21 111(),1,2()nnnnnnxxf xnxx满足，证明绝对收敛 二、幂级数的收敛域 1.幂级数()(0)00()(0)0000=!()=()!nnnnnnnnnnnnya xxnyaxxxxn（1）具体到0000,nnnnnnxxa xa x带入判敛 00 xx若收敛，称 为收敛点若发散，称 为发散点（2）目标：找到所有的收敛点的综合，找收敛域（3）求收敛域的程序 1）00()()nnnnuxux 2）用+1()lim=()1()lim()=()1nnnnnnuxxuxIxuxx比值判别法收敛区间根值判别法 3）单独讨论两个端点 a,b，判断收敛域【例】求220(1)(21)nnxnn的收敛域 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 22 三、展开与求和 P231 5 熟记（1）-（6）1.展开【例 1】闭关修炼 p31,62 写出()ln()f xex在 x=0 处的麦克劳林展开式，并求012nnn的值 【例 2】将21()(1)f xx展开成(3)x的幂级数 2.求和 【例 1】求1(),1nnS xnxx 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 23 【分析】011nnxx，111121()()()()1(1)nnnnnnS xxnxxnxdxxxxxxxx 1x 【注】分子上（an+b）,先积分 【例 2】1(),1nnxS xxn 【注】分母上有（an+b）,先导后积 四、傅氏级数 1.狄氏收敛性定理 2.函数展开成傅氏级数 1.狄氏收敛性定理 设 f(x)以 2L 为周期，在-L,L上满足 1）连续或只有有限个第一类间断点 2）只有有限个极值点 则 f(x)的傅氏级数 S(X)在-L,L上处处收敛，且 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 24 (),(0)(x+0)(),2(-+0)(l-0)2f x xf xfS xxflfx为连续点为间断点，为端点 【例】则 S(-1/2)=S(0)=S(1)=S(3/2)=2.周期为 2l 的函数的傅氏展开 01()()(cossin)2nnnan xn xf xs xabll 01()1,()()cos1()sinlllnllnlaf x dxln xl lf xaf xdxlln xbf xdxll上的展开 0000021.0=0()sin22.(),()2()cos0lnnllnnn xaabf xdxllaf x dxl lf xln xaf xdxllb奇，正弦偶上是奇/偶的展开 余弦 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 25 0,()flf x做奇延拓，f(x)奇上展开成正弦或余弦级数做奇延拓，(x)偶 【例 1】闭关修炼 p33,65 设 f(x)是,02(),2xxexf xex展开为正弦级数的和函数，则 S(3/2)=【例 2】闭关修炼 p33,66 设 f(x)以 2为周期，-1,-0()1,0 xf xx，将 f(x)展开成傅氏级数 第五讲第五讲 多元函数积分学多元函数积分学 综述 1.预备知识 2.三重积分 3.第一型积分 4.第二型积分（格林公式，高斯公式）5.stokes 公式 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 26 一、预备知识 1.“切一刀、投下来、转一圈”1）“切一刀”-曲面的切平面 【例】曲面2cos()0(0,1,1)xxyyzx在点处的切平面方程为 2）“投下来”-曲线（曲面）在坐标面上的投影曲线（曲面）【例】将 L222201zyLxyzyz：投至 xoy 面，求其 L 及所围区域。3）“转一圈”旋转曲面方程 提法：将000(,)0:(,)0F x y zxxyyzzLG x y zlmn：绕旋转一周所得曲面 求法：关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 27 222222101010000111111111()()()()()()()()()0(,)0(,)0 xxyyzzxxyyzzl xxm yyn zzF x y zG x y z 【例】求210y3210 xyzxyz ：绕 轴旋转一周所得曲面方程 2.场论初步(,)(,)uu x yuu x y数量场向量场 1）方向导数 【例】设22(,),(0,0),ff x yxyll求方向任意 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 28 2）梯度 3）散度 4）旋度 二、三重积分 1.定义 2.计算 直角坐标系下与柱面系下 【例】计算22=,12zxyIzdvzz是由围成【分析】法一：先一后二法（先 z 后 xy 法，投影穿线法）法二：先二后一法（先 xy 后 z 法，定限截面法）球面系下 2sindvrd d dr 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 29 【例】22=,=(,)3,04Izdvx y z zxyzz 三、第一型积分 1.第一型曲线积分 定义 计算口诀：一投二代三计算 【例】设 L 是以原点 0 为圆心，2 为半径的圆周位于 A(-2，0)与 B(0,2)之间的一段劣弧，计算 2222()=ln()xyLIxxyyeds 2.第一型曲面积分 定义 计算口诀：一投二代三计算 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 30 【例】设22=(,),14,()x y z zxyzxyz ds求 四、第二型积分 1.第二型曲线积分-无几何背景 2.计算 1）直接法：一投二代三计算 2）格林公式法(,)(,)()LDQPP x y dxQ x y dydxdyxy 成立要求：1.L 封闭取正向 2.P,Q，QPxy，在 D 中连续【注例 1】高数 18 讲 p327 已知曲线 L 方程为1(1,1)yx x ，起点是（-1,0），终点是（1,0），则曲线积分2Lxydxx dy 2.第二型曲面积分-无几何背景 1）直接法：一投二代三计算 2）高斯公式()PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz 要求：封闭且取外侧 P,Q,R,PQRxyz在 中连续 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 31 【例】设有界区域由平面 2x+y+2z=2 与三个坐标面围成，为的整个表面的外侧，计算 2=(1)23Ixdydzydzdxzdxdy 五、空间第二型曲线积分 p334 1 斯托克斯公式 设为空间某区域，为内分片光滑有向曲面片，L 为逐段光滑的的边界，其方向与外法向符合右手定则，则有斯托克斯公式 coscoscosLPdxQdyRdzdsxyzPQR 其中0cos,cos,cosn为的单位外法向量。【例】闭关修炼 p35 70 计算222222222=,:0,0LxyzRIy dxz dyx dz LRZxyRx，从 z 轴正向看下去为逆时针方向。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地