2024线性代数冲刺醒脑串讲讲义.pdf

抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 2024 考研线性代数 冲刺醒脑串讲讲义 Kira 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 写在前面的话 醒脑是什么？先下一个定义：醒脑是做题的底气和自信，它建立在完善的知识储备和对解题方法的深刻理解之上.看到新颖复杂的题目，不一定瞬间拿到结果，但凭借自己扎实的底层方法论，能联系所学一步步正确地往下推，而不是乱写、误写、凭着感觉写.这就是脑子醒的.学霸们战胜考试的自信和底气也正来源于此.线代和概率的冲刺策略有所不同.概率的关键是建立好世界观，通透理解知识和方法的原理，按固定的操作说明书解题，主干是非常清晰干净的.而线代则非常“鸡零狗碎”，但这些“鸡零狗碎”又暗中结成了一张密网.线代醒脑课的任务是，帮你把各种“鸡零狗碎”结成一个个知识块，专题研讨逐个猛锤.做到读题一句话，脑海里立刻有十个点发散开，且全部有理有据认知清晰.同时，我们会抽出暗网中的主脉络，实现块与块的交叉.最终搭建起对线代的熟悉感和掌控感.你站在顶层往下看，就完全明白出题人想考你什么.新颖的题目和角度讲过、做过也许会忘，但这些根基性的东西是永恒的.它们足以支撑你拿到满分.术有万千，而道不变.2024 版线代醒脑讲义相比起 2023 版，对各知识块的出场顺序做了较大调整，使同学们的理解更加丝滑顺畅，同时针对本届学员的反馈和今年的重点预测，在例题命制和解法上作出升级和删改，补充了更多细节、结论和考察角度.当然，更主要的升级是 Kira 本人的讲解的切入角度和表达方式，将更加易懂易记，助力各位学员高效提分。愿大家在醒脑课结束后都能收获对线代更深刻的理解和更强大的解题能力！Kira 2023.11 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 课程使用说明书 1.请各位同学在报名后抓紧加入 qq 群.每年的醒脑课都是由课堂和群讨论两部分共同组成的 消息通知、答疑互动、考前提醒都会在 qq 群内发布，这两个月 Kira 会一直在群里陪伴大家.2.课堂节奏较紧凑，建议各位同学课前做好预习.课时比计划只多不少，但力求高效。3.不要不要把听课的时间用来抄答案，要着重听思维思维听强调强调，记录启发。课前课后都会上传例题答案的手写板书，可以提前写答案，或直接用 Kira 的板书复习.4.有不懂的或需要补充讲解的地方，欢迎在 qq 群里随时Kira 提出，我们的共同目标是解决问题.好问题或经典错误都有机会上墙哦，在直播时大家一起研讨，做案例分析.5.从课程中学到的知识要通过做题来实践通过做题来实践，先确保课内例题能独立解答，听懂课并不是真的掌握，要自己能下笔写出来能下笔写出来才可以.道理都懂，明明能动笔做，你却胆小不敢做，这就是你和明明的差距！学习是“动笔-对答案拿反馈-信心增强-动笔”的循环.6.我们与遗忘之间的斗争是永不停息的！我们与遗忘之间的斗争是永不停息的！微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题一】线性代数是同义句转化系统四大家族！一、一、A 可逆可逆/不可逆不可逆轴心家族轴心家族 术语是生动可感的 1.A可逆可逆 1）0A()rn=AA 的特征值全不为零 2）=Ax0只有零解A 的行（列）向量组线性无关 3）A 的行（列）向量组可以线性表示任意 n 维向量，且表示法唯一.（“超级向量组”）对任意非零列向量 b，=Axb有唯一解 A 与同阶单位阵 E 等价1,si=2APPP P是初等阵 A 的行（列）向量组为nR的一个基（仅数一）TA A为正定矩阵.2.m nA列满秩列满秩()rn=AA列向量组线性无关=Ax0只有零解 【例1.1】设A为 2 阶矩阵，(),=P A，其中是非零向量且不是A的特征向量.证明P为可逆矩阵.【例1.2】设AB均为n阶矩阵，且B和EAB都是可逆矩阵，证明EBA可逆.Kira 备注：关于证明题的基本认知（1）考研线代证明题=已知答案的计算，难度往往低于解答题，证明不能算作一种题型；（2）证明是选择辨析能力的延展，当我们分析选择题时，就是在做证明；（3）如何评判自己证明步骤是否正确？答：只要每一步条件结论正确，推出关系成立即可.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例1.3】设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若3=AO，则（）（A）EA不可逆，+EA不可逆 （B）EA不可逆，+EA可逆 （C）EA可逆，+EA可逆 （D）EA可逆，+EA不可逆 【例1.4】设,m nm sn sABC，满足,=ACB以下命题正确的是（）群友来题（A）如果C的列向量组线性无关，则矩阵B的列向量组一定线性无关.（A）如果C的行向量组线性无关，则矩阵B的行向量组一定线性无关.（A）如果B的列向量组线性无关，则矩阵C的列向量组一定线性无关.（A）如果B的行向量组线性无关，则矩阵C的行向量组一定线性无关.二、二、,=ABC ABOAB家族家族 真题重点，集中突破！()()()()()()()11222 23 2121212121212121212212111302,241313,2,3424,2,34,11022133TTTTTTTTT=+=+=+0 0A BAB A AB A OAB列变换例如另一方面11221221223TTTTTTTTTTTT=+000BBABO行变换，微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 1.若=ABC（其中,m nn sAB），则 角度一：向量组线性表示与等价 1)C的_（行/列）向量组可以由A的_（行/列）向量组线性表示；若B为可逆方阵，则C的_（行/列）向量组与A的_（行/列）向量组等价.2)C的_（行/列）向量组可以由B的_（行/列）向量组线性表示；若A为可逆方阵，则C的_（行/列）向量组与B的_（行/列）向量组等价.注：“由线性表示”可改为“是的线性组合”.线性表示的结论对于=ABC无条件成立，不管是否可逆，是否方阵.角度二：线性方程组 3)由()()1212,ss=A ，B的列向量i都是方程组_的解.（解矩阵方程=AXB的依据）秒杀训练（全真题秒杀训练（全真题+选项扩展）选项扩展）【例1.5】（2018）设A,B为n阶矩阵，记()r X矩阵X的秩，()X Y表示分块矩阵，则（）（向量组角度）（A）()()rr=A ABA （B）()()rr=A BAA（C）()max(),()rrr=A BAB （D）()()TTrr=A BAB 【例1.6】（2021 改编）设,A B为n阶实矩阵，则下列不成立的是（）（A）()2=ABAAOA ATrr （B）()2Trr=AABAOA（C）()2=ABAAOAATrr （D）()2Trr=AOABAA 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 注：rTTT=00A AxAxA AAA AA与同解与行向量组等价 思考一下，若选项（C）改为()2Trr=ABAAOA A，是否正确？2.若=ABO（其中,m nn sAB），则 角度一：秩 1)()()rrn+AB 角度二：线性方程组 2)B的每一列i都是线性方程组_的解.3)B_向量与A_向量两两正交.角度三：向量组的线性相关性 4)若BO，则A的_向量组线性_关.若AO，则B的_向量组线性_关.注：也可以从=0Ax有非零解角度分析.【例1.7】已 知 列 向 量 组123,和1234,都 是4维 实 向 量，其 中()123,2r=，1234,有 2 列不成比例，且每个i都与123,正交，则()1234,r=（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 三、三、同解方程同解方程“葬爱葬爱家族家族”不是小题，而是核心问题 1.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1)交换矩阵的两行（列），即或；2)以一个非零非零的数乘矩阵的某一行（列），即或，；3)将矩阵的某一行（列）乘以常数加到另一行（或列），即或.2.方程组同解的定义：方程组同解的定义：设方程组(I)和(II)都有 n 个未知数，如果(II)的每个解也是(I)的解，且(I)的每个解也是(II)的解，则称(I)和(II)同解.注：矩阵和线性方程组一一对应.3.初等行变换的初等行变换的“关系网关系网”设A经过有限次初初等行变换化为B，则 线性方程组=0Ax与=0Bx_ A与B的行向量组_.存在可逆P，使_.A与B的_向量组有相同的线性关系，其极大无关组相对应.原理见极大无关组 注：若A经过有限次初等列列变换化为B，则有类似结论，即A与B列向量组等价；行向量组有相同的线性关系；存在可逆矩阵Q使=AQB（思考，此时的同解方程组为？）4.重要关联结论重要关联结论同解方程同解方程 1)=Ax0和=Bx0同解 同义句转换 无需死记硬背=Ax0和=Bx0的基础解系_.A与B行向量组_()()rrr=AABB()()rr=AB 线性方程组 增广矩阵 行向量组 123123123(1)(2)123123(2)2123123(2)2(1)234846(1)22(2)22(1)4846(2)22(1)2423(2)22(1)0661(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+=+=+=+=+=+=122212248461122112248461122242311220661rrrrr ()()()()()()()()121212124,8,4,61,1,2,21,1,2,24,8,4,61,1,2,22,4,2,31,1,2,20,6,6,1TTTTTTTT=ijrrijcckikrikc0k kijrkr+ijckc+微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 2)=Ax和=Bx同解(),A 与(),B 行向量组_()(),rrr=A A B B ()(),rr=A B 【例1.8】已知 n 阶矩阵12,A A，n 维列向量12,，若矩阵()11,A 经过有限次初等行变换化为()22,A，则下列说法正确的个数是（）秒杀 非齐次线性方程组11=A x与22=A x必同解 齐次线性方程组()11,=A x0与()22,=A x0必同解 非齐次线性方程组()111,=A x与()222,=A x必同解 矩阵12,A A的行向量组必等价 2必可由1A的列向量组线性表示.（A）2 个 （B）3 个 （C）4 个 （D）5 个 原题条件也可换为“行向量组等价”举例：矩阵()1111,2222=A 经初等行变换化成()1123,0313=B 必能一一对应到一个齐次线性方程组的同解变换：123412323020 xxxxxxx+=+=与 1234233230330 xxxxxxx+=同解，即(),=A x0与(),=B x0同解 也必能一一对应到一个非齐次线性方程组的同解变换：1231232320 xxxxxx+=+=与123232333xxxxx+=即=Ax与=Bx同解 但是不能不能在旁边添加新的列（与原变换无关的信息），比如:(),=A xb与(),=B xb不一定同解 b是谁？没有人认识b 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 3)同解方程的常用结论：精简版！必须熟！1)若()()rr=AB且=Ax0的解均是=Bx0的解，则=Ax0和=Bx0同解.2)T=0A Ax与=Ax0同解；3)若=Ax0的解均是=Bx0的解，则=Ax0与=0ABx同解；4)设矩阵P列满秩，则=0PAx与=0Ax同解；5)n 阶矩阵A，n=0A x与1n+=0Ax同解.（例如 4 阶A，4=0A x与5=0A x同解）【例1.9】（2022 一）设,A B为n阶矩阵，使得=Ax0与=Bx0同解，则（）（A）方程组=AOyEB0只有零解 （B）方程组=EAyOAB0只有零解（C）方程组=AByOB0与=BAyOA0同解（D）方程组=ABByOA0与=BAAyOB0同解 选项（选项（C）改法）改法 1：矩阵ABOB与BAOA的行向量组等价.选项（选项（C）改法）改法 2：矩阵ABOB与BAOA的列向量组有相同的线性关系 试一试试一试：调整选项（C）（D）中错误选项的子块位置，使之正确.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 四、四、解的包含解的包含ikun 家族家族 1.解的包含关系重要解的包含关系重要结论结论（体会从多重角度看懂一个问题的奇妙）设m n矩阵1122,TTTTTTmm=AB，A的行向量组可由B的行向量组线性表示 _的解都是_的解 ()_rr=AB _的基础解系可以由_的基础解系线性表示 存在矩阵C，使_.()()rrAB（至少有 3 个角度解释）举例：1231232341xxxxxx+=的解都是123234xxx+=的解，后者解不一定是前者的解（因为前者要同时满足两个方程，而后者只需满足其中一个方程）此时，令()()12341234,111 10000=A B 即 =Ax的解都是=Bx的解（I）(),B 的行向量组可以由(),A 的行向量组线性表示（II）(),rr=A A B（III）但不能说()(),r A B，也不能说(),B 与(),A 行向量组等价.【例1.10】（2021 二）设 3 阶矩阵()()123123,=A B ，若向量组123,可以由向量组123,线性表出，则（）（A）=0Ax的解均为=0Bx的解.（B）T=0A x的解均为T=0B x的解（C）=0Bx的解均为=0Ax的解 （D）T=0B x解均为T=0A x的解 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例1.11】设有齐次线性方程组=Ax0和=Bx0，其中,A B均为m n实矩阵，若=Ax0的解均为=Bx0的解，且B行向量组线性无关，则A行向量组也线性无关；若=Ax0的解均为=Bx0的解，则=Ax0与+=0ABxAB同解；若()()rr=AB，且=Ax0的解均为=Bx0的解，则T=A Bx0与=Bx0同解；若=0Ax的基础解系可由=Bx0基础解系线性表示，则TT=0A AxB B与=0Ax同解.以上命题正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 Kira 备注：以上，无论是否直接出题，对于我们理解和掌控线性代数都大有好处 【注意看注意看】眼前这个同学的眼前这个同学的解法正确吗？为什么？解法正确吗？为什么？（此解法泛滥成灾）【2015 真题】设矩阵101101aaa=A，且3=AO.（I）求a；（II）若矩阵X满足22+=XXAAXAXAE，求X.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 题型题型：已知具体同解方程组，求参数：已知具体同解方程组，求参数【例3.1】已知线性方程组（I）1424341,22,1xxxxxx+=+=和 （II）123412341234251,4,32xxaxxxxxbxxxxxc+=+=+=是同解方程组，求,a b c的值.【终极套路】【题型】已知=Ax与=Bx同解，求未知参数./确定未知参数，使=Ax与=Bx同解.（法一）由=Ax与=Bx同解(),A 与(),B 行等价 验证()(),rrr=A A B B 注：在较简单的问题中，由秩可直接确定可能的参数值，代回验证A与B行等价（行最简形相同）即同解.（法二）第一步，求=Ax的通解通解 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 第二步，将通解代入=Bx，确定可能的参数值.（此时=Ax的解都是=Bx的解）第三步，检验参数，确保=Ax与=Bx同解.最简单的检验方法：最简单的检验方法：将参数代回，求(),r B .若()(),rr=A B，则=Ax与=Bx同解.若()(),rrA B，则=Ax与=Bx不同解.注：1）对于齐次线性方程组=Ax0，第一二步可简化为求基础解系代入另一方程；2）这是因为，若=Ax的解都是=Bx的解且()(),rr=A B，则=Ax与=Bx同解.3.其他检验方法：验证(),A 与(),B 有相同的行最简形.小加餐盘点考研线代中的答案唯一/不唯一（如何自行检查）1)逆矩阵 2)只做初等行变换，将A化成的行最简形 3)施密特正交化后得到的正交向量组 4)=Ax0的基础解系、通解 5)线性相关的向量组（不含0）的极大线性无关组 6)Tx Ax在正交变换下化成的标准形（不计平方项顺序）7)Tx Ax在可逆线性变换下化成的标准形（不计平方项顺序）8)求P使1=P AP/A的无关特征向量 9)求正交变换=xQy将二次型化为标准形/求正交阵Q，使TQ AQ为对角阵 10)求可逆线性变换=xCy将二次型化指定标准形/求可逆阵C，使TC AC为指定对角阵 11)二次型Tx Ax的矩阵 12)已知A的全部特征值和无关特征向量，反求A 等醒脑课结束后再回来看是否清晰 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题二】行列式与矩阵运算基本功训练！一、一、行列式与行列式与矩阵运算矩阵运算 1.“形状形状”的的直觉直觉 【例2.1】以下,x是n维列向量，A是n阶方阵，请将标号快速填入横线：数 n阶方阵 n维行向量 n维列向量 T=_；T=_；1T=A _；T=x Ax_；*=A _；()()_T=AxAx；()()_T=BxA Bx.出题角度：已知10T=A，能否推出10T=A？2.求求抽象行列式抽象行列式练习练习【例2.2】设1112223332cbacbacba=，则111111222222333333232323ababcaababcaababca+=+_ 111111222222333333abbccaabbccaabbcca+=+_.3.递推递推法法的万能思路的万能思路【例2.3】（2015 一）n 阶行列式 20021202_00220012=微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 二、二、伴随矩阵伴随矩阵*A 1.定义：定义：n阶矩阵A，ijA为A的代数余子式，()1121112222*12nTnijn nnnnnAAAAAAAAAA=A.注：核心公式*=A AA EAA，求逆可用*1=AAA，求伴随可用*1=AA A，对于二阶矩阵，用“主对角线互换，副对角线反号”即得伴随阵.为什么将定义为代数余子式转置？分析 001000001000001=AAAA EA 同理，*=A AA EAA，伴随矩阵“天然”可交换.若A可 逆，*=AAAEAAA，故11=AAA AE，逆 矩 阵 也“天 然”可 交 换.（=ABEBAE的原理）2.*A出题角度 常结合ijA和方程组，其他奇怪出题角度见课后扩展包 1)核心公式*=A AA EAA（*,A A可交换）2)n阶矩阵A，ijA为A的代数余子式.若0=A，则()12,TiiinAAA（即*A的列）是方程_的解，()12,Tjjnjaaa（即A的列）是方程_的解.3)设*A的特征值为123,，则A的余子式之和112233MMM+=_.*A111213112131212223122232313233132333111112121313112112221323113112321333211122122313212122222323213122322333aaaAAAaaaAAAaaaAAAa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa=+=+AA311132123313312132223323313132323333Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa A+微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 4)()()1()10()1 nrnrrnrn=AAAA 5)设 3 阶矩阵A的特征值为1,2,3，则*A的特征值为_,()*tr=A_.设 3 阶矩阵A的特征值为0,1,2，则*A的特征值为_,()*tr=A_.6)（2013）设A为n阶非零实矩阵*_=1TijijaA=且；AA AEA*_=1.TijijaA=且AA AEA 7)设 3 阶矩阵123242323=A，则*A第一行元素之和为_.三、三、方阵可交换方阵可交换&多项式多项式 1.方阵可交换方阵可交换：方阵能像“数”一样四则运算的前提是_，即_()222220=2+()()()nnkn kknkC=+=+=ABAAB BAB ABABABAB 2.方阵的多项式方阵的多项式：1110()kkkknfaaaa=+AAAAE 1）矩阵A的两个多项式()f A和()A总是可交换的（因为,klAA E都可交换）.2）矩阵A的多项式可以像数一样相乘或因式分解.如()(2)+=AEEA_等.四、四、逆矩阵逆矩阵1A 1.定义：n阶矩阵A，若存在 n 阶矩阵B，使则矩阵A可逆.【例2.4】（2017 一三）设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）（A）TE不可逆 （B）T+E不可逆（C）2T+E不可逆 （D）2TE不可逆 ,=ABBAE微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 醒脑追问：1）此不可逆矩阵的秩为_.（2012 一）2）此类矩阵求逆矩阵的方法是？五、五、矩阵矩阵*1,TAA AA的运算性质的运算性质（分组默写）第一组()1*=A_；()1T=A_；()*T=A_.第二组()T=AB_；()*=AB_；()1=AB_；=AB_.以下等式是否恒成立？()kkk=ABA B；()()11kk=AA；()()TkkT=AA；()()*kk=AA 第三组()1_,0kk=A；()_Tk=A；()*_k=A；_k=A.第四组()11=A_；()TT=A_；()*=A_.第五组 1=A_；T=A_；*=A_.第六组 以下等式是否恒成立？()TTT=ABAB；()111=ABAB；()*=ABAB；=ABAB 醒脑提问：以上哪些公式要求,A B可逆，哪些不要求？【例2.5】设A是 4 阶反对称矩阵，且2=A，则()*1*T+=AA（）（A）*18A （B）*18A （C）118A （D）118A 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 六、六、分块矩阵的运算分块矩阵的运算 1.乘法乘法：设两个分块矩阵的子块对应的列数和行数符合矩阵乘法的要求，则+=+ABXYAXBZAYBWCDZWCXDZCYDW 2.转置：转置：111211121121222122221212TTTTkmTTTkmTTTmmmkkkmk=AAAAAAAAAAAAAAAAAA 【例2.6】基本功训练 1)设A为 2 阶矩阵，可逆矩阵(),=P A，若26+=0A A，则1=P AP_.2)设12,s 都是实的n维列向量，规定n阶矩阵1122TTTss=+A ，证明A是实对称矩阵.小结论：T=ACC所有特征值非负非负，其中正特征值的个数()()rr=AC.3）设）设()12,s=A 为 4 阶正交矩阵，若矩阵123TTT=B，则()123+=B _.3.分块分块三角三角矩阵的逆矩阵：矩阵的逆矩阵：11111mn=ACAA CBOBOB，11111mn=AOAOCBB CAB 11111mn=CAOBBOAA CB，11111mn=OAB CABBCAO 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 4.拉普拉斯公式：拉普拉斯公式：,=AOA*A BA B*BOB，(1),(1)mmmnmnnn=OA*AA BA BB*BO，若12kAAA,12k=AA AA,0(1,2,)iik=A（设A为m阶方阵，B为n阶方阵，iA为方阵，1,2,ik=）注：设=ABGCD为分块矩阵，且0G，则注意以下不成立的等式 GADBC；*DBGCA；11DBGCAG 5.；()()rrr+ACABOB.【例2.7】设iA为可逆方阵（1,2,in=），则下列运算中错误的是（）（A）（B）（C）1122kkkknn=AAAAAA（D）1212kkknkn=AAAAAA 分块对角阵的幂和逆 ()()rrr=+AOABOB11111221nn=AAAAAA11121211nn=AAAAAA微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题三】初等变换与初等矩阵全面理解！一、一、初等变初等变换换可化成的矩阵可化成的矩阵 1.区分：区分：行阶梯形矩阵：;行最简形矩阵：等价标准形：2.定理定理 任一矩阵总可经过初等行行变换化为行阶梯形矩阵，再经过初等行行变换化为行最简形矩阵，最后通过初等列列变换化为等价标准形.群友疑问“什么时候可以初等行/列变换？什么时候只能行变换？”二、二、行、列变换的适用场景【总结】行、列变换的适用场景【总结】1.行列变换都可：1)计算行列式；2)求矩阵的秩；3)求特征值（求行列式）.2.仅行变换：1)解线性方程组；2)求列向量组的极大无关组和表出关系；3)利用1(,)(,)r A EE A求1A；4）利用(,)(,)r A BEX解矩阵方程=AXB（A可逆）5)求特征向量（解方程组）.注：“仅行变换”指不可随意行列混着换.三、三、初等矩阵初等矩阵 1.定义定义：对单位矩阵 E 作一次初等(行或列)变换所得的矩阵.ijE:交换 E 的 i,j 两行(或列)所得到的矩阵.()ikE:用非零数 k 乘 E 的第 i 行(或列)所得到的矩阵.()ijkE:把 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上(或把第 i 列的 k 倍加到第 j 列上)所得到的矩阵.2.定理定理 对矩阵A作一次初等行(列)变换，相当于用一个相应的初等矩阵P左(右)乘A.120510331700002000001071001420000010000010000010000010000000m nArm n=EOFOO微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 3.三种初等矩阵的运算（一起分组默写三种初等矩阵的运算（一起分组默写）(1)()()_,_,_ijiijkk=EEE;(2)()()111_,_,_ijiijkk=EEE(3)()()*_,_,_ijiijkk=EEE(4)()()_,_,_TTTijiijkk=EEE 快速填空：111010100100100_,010_,310_.001002001=110120100010210210001002001=_.（伏笔）【例3.1】设A是n阶可逆矩阵，把A的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到B，则（）（A）把1A第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到1B（B）把1A第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到1B（C）把1A第 2 行的3倍加到第 4 行上得到1B（D）把1A第 4 行的3倍加到第 2 行上得到1B 四、四、矩阵等价矩阵等价 矩阵等价矩阵等价的等价命题的等价命题（“左行右列”）()()2112(,)(,)(,)rslijcrr=为初等阵为可逆阵为同型阵ABPP P AQQQBP QPAQB P QABA B 矩阵行等价的等价命题：矩阵行等价的等价命题：21rsi=ABPP PABPPABP，为初等阵，为可逆阵 矩阵列等价矩阵列等价的等价命题：的等价命题：12cli=ABAQQQBQAQBQ，为初等阵，为可逆阵 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例3.2】设A是m n行满秩矩阵，mn，试判断以下命题正误：1)存在n阶可逆矩阵Q，使得(),m=AQEO （）2)存在m阶可逆矩阵P，使得(),m=PAEO （）3)一定存在m阶可逆矩阵P，使得(),m=PAE.（）【举例】51021123112331210031310113rr=A 11231123110311 1000130013rr=A 五、五、用初等变换解决的问题用初等变换解决的问题 1.利用1(,)(,)r A EE A求1A.2.利用(,)(,)r A BEX解矩阵方程=AXB（A可逆）【例3.3】设()()()1230,1,0,1,0,1,0,1,1TTT=都是 3 阶矩阵A的特征向量，特征值依次为2 2,1，求99A.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 3.将A初等变换（即PAQ）化为某指定矩阵，求可逆阵,P Q.【例3.4】设53121 1=A，求一个可逆矩阵P，使PA为行最简形.4.利用成对初等变换求合同变换阵（即T=C ACBC，可逆，求C）.众神归位【例3.5】设111221112211122=A，求可逆矩阵P，使110T=P AP为对角阵.【套路：对()A E中A做成对初等变换化为B，而E做同步的初等行变换，当A化为B的同时，E即化为TP】【变一变】设111221112211122=A，求可逆矩阵P，使210110000T=P AP.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【主题四】矩阵的秩用魔法打败魔法！一、矩阵的秩矩阵的秩 1.定义定义 设A为m n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩.2.推论推论 A有一个r阶子式不为 0()_rrA；B中s阶子式全为 0()_rsB.【例4.1】出题方式 1)已知n阶方阵A不可逆，A中元素21a的代数余子式210A，则()r A_.2)设()12342222123411,11aaaaaaaa=A b，其中1234,a a a a互不相等，则()r A_()r B_3.不会线性方程组解的判定？是秩的锅 3.公式与结论公式与结论 1)()_r=AAO，()_rAAO；2)0()min,m nrm nA 注：即()m nrmA且()m nrnA，做题自取所需.3)()()()()TTTrrrr=AAA AAA；4)()()()()()min,rrnrrr+ABABAB，n 为A的列数；注：即()()rrABA且()()rrABB，做题自取所需.5),()()m nn srr=+若且则ABABOABn；6)()()()()rrrr=P,QPAAQPAQA若可逆,则；微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 更一般地，若A列满秩，则()()rr=ABB且有左消去律,=ABOBOABACBC（同理，A行满秩时有右消去律）【左消去证明】由()m nrn=A，存在 m 阶可逆矩阵 P 使nm n=EPAO，而 nn sn sm s=EBPABBOO，故()()()rrrr=BABPABBO.7)max(),()(,)()()rrrrr+ABA BAB；注：即()(),rrAA B且()(),rrBA B，做题自取所需.8)()(,)rrABA B()()rr+AB；9)同型矩阵A和B等价()()rr=AB；10)n阶矩阵A和B，若=ABO，=ABP可逆，则()()rrn+=AB 例如：若2=AA，则()()rrn+=AAE；若2=AE，则()()rrn+=AEAE.更一般地，若()()()1212+=AEAEO，则()()12rrn+=AEAE 11)为阶满秩矩阵为可逆矩阵.（同义词转换）12)；()()rrr+ACABOB.Kira 助记一条龙 【例4.2】设A为m n矩阵，B为n m矩阵，（1）已知()()rrABB，则()_r A.已知,=ABAC BC，则()_r A.（2）若AB可逆，则()r=A_，()_r=B.（3）当时，必有AB_0.An()0rn=AAA()()rrr=+AOABOB_()mn填或()=填或微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 【例4.3】设A为m n矩阵，B为n n矩阵，C为n m矩阵，且=ABA，=BCO，(),rn=A则=CAB_.【例4.4】（2018）设A,B为n阶矩阵，记()r X矩阵X的秩，()X Y表示分块矩阵，则（）（利用秩的结论）（A）()()rr=A ABA （B）()()rr=A BAA（C）()max(),()rrr=A BAB （D）()()TTrr=A BAB 【例4.5】（2023 一 5）已知n阶矩阵,A B C满足=ABCO，E为n阶单位矩阵，记矩阵OABCE，ABCOE，EABABO的秩分别为123,r r r，则（）（A）123rrr （B）132rrr （C）312rrr （D）213rrr 【注】广义初等变换：设n阶矩阵,A B M，其中MO，E为n阶单位矩阵，广义倍加：=，ABEMAAM+BEMABA+MCB+MDCDOECCM+DOECDCD 微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 广义倍乘：=，ABMOAMBMOABMAMBCDOECMDOECDCD 广义对换：=，OEABCDABOEBAEOCDABCDEODC 注：列变换M永远乘右边，行变换M永远乘左边.二、秩为秩为 1 的矩阵的性质的矩阵的性质 1.n阶矩阵A的秩为 1n 维非零列向量和，使TA.证明：由()()()111TTrrr=例：()123124621,2,31231=2.()TTtr=（,为n维列向量）.证明：以 3 维为例，由()112321 1223 33,Tba a abablba bab=+=，()11 11 21 3212322222 333 33 23 3,Taabababab b ba ba ba baa ba ba b=A，故()TTtrl=A 3.对于T=A（,为n维列向量），有1nnlA=A，其中()Tltr=A.证明：(),TTTrlt=AA记()()()()()()11=nTTTTTTTnTnll=AA 4.若n阶方阵T=A的秩为 1，则A的特征值为12(),0ntr=A.且1()tr=A对应特征向量为()0kk.注：当10时，()0kk 是1的全部特征向量；当10=时，()0kk 是1的部分特征向量.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 证明：1)(),TTTrlt=AA记.由()10r=AA，故0是A的特征值.对于()0=EA x0，有()()01nrnrn=EAA.故特征值0有1n个无关特征向量，所以0至少是A的1n重特征值.即230n=.又()11niitr=A，故12(),0ntr=A.2)由()1TT=A ，故()0kk 是1的特征向量.5.若n阶方阵T=A的秩为 1，则当()0trA时，A可对角化；当()0tr=A时，A不可对角化.证明：由 4 的证明，当()0trA时,单特征值()tr A有 1 个无关特征向量，1n重特征值 0有1n个无关特征向量，故A有n个无关特征向量，可对角化；当()0tr=A时,n重特征值0有1n个无关特征向量，故A不可对角化.【例4.6】已知10niiiab=，1 11 212 122212nnnnnnabababa ba ba ba ba ba b=A，1 1211000000iiiniiiababab=B，（I）求nA （II）判断A与B是否相似.（III）判断A与B是否可对角化.【例4.7】设,为 3 维列向量，1T=，设3T=+AE，则 1）_=A；2）矩阵A属于单重特征值的特征向量为_.微信公众号【再来一杯柠檬水】全年免费分享 抖音/B 站/全平台同名上交 Kira 老师 基本功基本功训练训练：讨论含参矩阵的秩（必考！）：讨论含参矩阵的秩（必考！）【例4.8】求矩阵11122224ba=A的秩，其中,a b