2018考研数学线代强化班讲义-张宇(1).pdf

新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 1 新东方在线考研新东方在线考研 2018 新东方在线线性代数强化班课程配套讲义新东方在线线性代数强化班课程配套讲义 授课教师：张宇授课教师：张宇 欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材 目录 2018 新东方在线线性代数强化班课程配套讲义新东方在线线性代数强化班课程配套讲义.1 授课教师：张宇授课教师：张宇.1 引言.2 第一讲 行列式.2 第二讲 矩阵.9 第三讲 向量组与方程组.16 第四讲 特征值与二次型.23 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 2 引言引言 教材：张宇线性代数 9 讲 习题集：张宇题源 1000 题 记笔记，背笔记 内容：行列式 矩阵 （基础篇）向量组 方程组 （主题篇）特征值 二次型 （应用篇）目标 拿满分！第一讲第一讲 行列式行列式 综述 行列式的定义与性质 （三大定义，七大性质）行列式的计算 （具体型计算，抽象型计算，关于展开式法的逆用）一、行列式的定义与性质 1.几何法定义-柯西 1）111221222 2aaaa11221221a aa a=S Ssin()(sincoscossin)l ml m 11221221a aa a 定义：二阶行列式是以两个行向量为邻边的平行四边形的面积。2）1112132122233132333 3=aaaaaaVaaa 定义：三阶行列式是以三个 3 维向量为棱的平行六面体的体积 3）111212122212nnnnnnn naaaaaaaaa 定义：n 阶行列式是由 n 个 n 维向量组成，其结果为 n 维图形的体积。4）重要观点 00nn nDA向量组中的向量线性无关向量组中的向量线性相关 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 3 5）七大性质（习惯上12=naaa列向量）=TAA(行、列地位等价)1214=411211 11100iin，（有 0 行或 0 列 行列式为 0）10iink，（两行或者两列对应元素成比例则行列式为 0）单列（行）可拆性（可加性）111iininin14-712-712-7311-835-836-8592512582 11ijnjin，（互换添负号）11(ininkk倍乘）（倍加）11ijniijnk 2.逆序数法定义 111212122212nnnnnnn naaaaaaaaa1 21 2()1 122(1)nnj jjnnj jja j a ja j i.展开后有 n!个项 ii.每项是取自不同行、不同列 n 个元素的乘积 iii.行下标顺排后，每项前乘以1 2()(1)nj jj【注】12na aa叫 n 级排列，如 6 4 1 2 3 5 叫 6 级排列 12()na aa叫12na aa的逆序数 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 4 【例 1】p4 例 1.1 112233112332111213122133222311223312233133132132132231000a a aa aaaaaa a aaaa a aa a aaa a aa a a 11111112222221000000000000000000000000nnnnnnnnaaaaaaaaaaa 右上三角行列式 左下三角行列式 （主）对角行列式 1122nna aa 11111111000000000000nnnnnnnnaaaaaaaa(1)212,13,21=nnnnnna aaa（-1)左上三角行列式 右下三角行列式 副对角行列式【例 2】已知45123213=231213xxDxxx展开后，4x的系数为（），3x的系数为（）3.展开式法定义（展开定理）子式=行列式 余子式ijM 代数余子式ijijijAM（-1)ijijijMA（-1)展开公式（降阶）关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 5 11221122+(1,2,)(1,2,)iiiiininnn njjjjnjnja Aa Aa AiniDAa Aa Aa Ajnj按第 行展开按第 列展开【例】4000=0我生我生有有（-1)有（我幸-生你）我有幸-生有你你幸你幸 二、行列式的计算 1.具体型 消 0 化三角形法【例】122122111221111100110=()()110()(1)nnnnnnniiiinnnnniiaxaaaaaaxaaxaxDaxaxaaaxaaxxaxx行和相等 消 0 降阶法 1 11100000=(1)(1)00(1)nnnnnababaDababbaab 按第一列展开 加边法-行列式各行（列）有共同元素，可将其设为*，则 100AA 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 6 【例】设121211122+20,nnnaaa aaDnnna 12111101+1102220naannna12111110020000-00naana 112100010020000niiniaaana 121(1)nniiia aaa 递推法 012-1+1-10000100000-1nnnaaaaaxDxx1111=(1)(1)(1)nnnnnnaxD 按最后一列展开 即+1=nnnDaxD 数学归纳法 证明1222212111112111()nnnjiij nnnnnxxxVxxxxxxxx （大列的位置-小列的位置）如222222+111()()()()()b cacababcabcabcabc cb ca baabcabc【分析】第一归纳法：低阶-高阶 已知结果 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 7 1(,)0nnf D D 1）验证 n=1 或者 n=2 成立 2）设 n=k 成立 3）证 n=k+1 成立 证明：1222212111112111()nnnjiij nnnnnxxxVxxxxxxxx 【例】证明2cos10012cos10sin(1)=01sin100012cosnnD【分析】第二归纳法12(,)0nnnf D DD 1,2n 验时成立设nk时成立证n=k时成立 证明：关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 8 2.抽象型计算【例】设abc、为已知常数，,0Tn nAAab，为 n 维列向量 则TAc【分析】(+1+1)0()(1)()nnTTTTAAAAcbaa cbccbbcbb ）（3.关于展开式法的逆用 112212112212iiiiininiiiniininna Aa Aa Aa aak Ak Ak Ak kk 将(1,2,)ijjakjn就得到新的行列【例 1】设430402222=07005322D，求41424344MMMM【分析】41424344414243443040222211007001111MMMMAAAA 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 9 第二讲第二讲 矩阵矩阵 综述 定义与运算（加、减、乘）可逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 求逆矩阵 矩阵方程 分块矩阵 一、定义与运算 1.定义 111212m n1=nnmmnaaaaAaa 当 n=m 时，称为 n 阶矩（方）阵 2.基本运算 1）加法()ijijm nABab 1同型 2对应加 2）数乘()ijm nkAka 每个ija均要乘以 k=knn nkAA 3）乘法()m nn sm sijm sABCc 【注】1）ABBA（不一定）()mmmABA B 2）=0AB不等于 A=0 或 B=0 3）,0ABAC A不一定 B=C 3.若干重要矩阵 零矩阵 0m n 单位矩阵 1=100nnn nEI 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 10 数量阵 =00nnn nkkEIk 对角阵 1=00nn n 上下三角阵 对称阵 =TijjiA Aaa 反对称阵 0=-iiTijjiaAAaaij，正交阵 -1=TTTAAA AEAA N 阶正交阵 A 由 n 个两两正交的单位向量组（标准正交基）组成 【例 1】设10-10=100=00-1AB P AP，,其中 P 为 3 阶可逆阵，求20202-2BA 二、可逆阵（A 必须是方阵）1.定义：给,n nn nAB，若 AB=E，则 A,B 可逆，且 11,BAEAB BA（乘法可交换）2.性质 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 11 11AA 1110,kkAAk 111ABB A（穿脱原则）1-1TTAA 11AA 三、伴随阵 1.定义 112111222212=nnnnnnAAAAAAAAAA ijA为 A 的ija的代数余子式，任何 n 阶矩阵必有伴随矩阵 计算AA=1112112121221222aaAAaaAA=00AAA E =AAA AA E,=kABE ABBAAAA AE AA kE天生可交换 111AAAAA A 2.常用结论及其推证（0AA可逆）a)n-1=AA b）1110,nnkkAkA AkA c)TTAA d)11AA e)2nAAA f)ABB A 111ABB A TTTABB A(穿脱原则)四、初等阵 1.定义:n 阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，叫初等阵 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 12 3010100ij001100100010010001007100012001Eiij互换初等阵 E倍乘初等阵 E(k)倍加初等阵 E(k)2.性质-1ijij=EE 1ii1()E kEk -1ijij()EkEk 3.左行右列定理 初等阵 P 左乘（右乘）A 得 PA(AP),就是对 A 做了一次与 P 相同的初等行（列）变换。【例 1】54-1010100100=100050011001003001A A，求【分析】010010100100100=010001001001，5010010100=100001001 4100100011=014001001，010100100=100050014001003001A-1-1-1-1100100010=014050100001003001A 100010100010114=01-400100=0-55300100111000033 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 13 五、求 A 的逆 1.定义法（针对抽象型矩阵）2.A法 11(2 3AAA多用于、阶）A求 A求 11AAA写【例 2】1,abAadbcAcd设求 【分析】112112221=01AAdbAadbcAAAcadbAcaadbc【例 2】1321111,101AA设求 【分析】=2A 121022121A 1111121221022011212111122A 3.初等变换法【th】任何可逆矩阵 A 一定可以通过若干次初等行变换，化成同阶单位阵 E 即 2 1sPPPAE 12 1sPPPEA 1A EE A(行变换)关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 14 【例】1021112,111AA设求【分析】1135222111222011A 六、矩阵方程 x-未知矩阵 AXB X AB A X BC【例】已知111-11-111,=812,21-11AA BAA BEB求【分析】化简先行 对1,nn nAkAkA 211424nAAAAAA 1812A BAA BE 左乘 A 81223AA BABABABA(2)3B AEA 110223330301133300032233330011022B 七、分块矩阵及其应用 1.定义 用若干纵横线将一个矩阵分成若干小块，称这些小块为子矩阵，将子矩阵看作原矩阵的元素，就得分块阵。2.基本运算 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 15 1）加法：同型、分法相同 1212112234343344AABBABABAABBABAB 2）数乘12123434AAkAkAkAAkAkA 3）乘法：左列分法=右行分法且可加 ABXYAXBZAYBWCDZWCXDZCYDW 4)逆 p54 例 3.25 如：-1-1-1-1-100=,=BBAB CADCC DBC可逆，则-1-1-1-1-1=,=00BDBB DCAB CACC可逆，则 【例】设 n 阶矩阵，01001002=100011000nAn，求1j 1nnijiiA 【注】1.若 A1，A2，A3 均可逆，则 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 16 111-1122133=AAAAAAAA可逆，则 113-1122131B=AAAAAA可逆，则B 2.设 An,Bm 0000ACAAA BBCBB 00(1)00mnACAAA BBCBB 第三讲第三讲 向量组与方程组向量组与方程组 综述：11 11221121 1222221 122+nnnnmmmnna xa xa xba xa xa xba xaxaxbm121112112122221212nnnnmmmnmaaabaaabxxxaaab 一、向量组的线性相关性 1.定义 12112212,0,ssssx xxxxx 一组不全为0的数使成立称线性相关.112,00ssxx 有非 解 112212120=0,ssssxxxxxx 若要使成立,必须有，称线性无关.1122nnxxx关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 17 112,00ssxx 只有 解 2.判别线性相关性的方法 设 m 个 n 维向量 1）m=n,时，行列式12m12m,0,0 相关无关 2）mn 时，必相关 3）mt，则1,s必相关。若1,s可由12t,表出，且1,s无关，则st 【例 1】设12,s 相关，23+1,s 无关，（1）1能否由23,s 表出？（2）+1s能否由12,s 表出？三、极大线性无关组 1.定义：12,()iiirrs满足 取自12s 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 19 线性无关 12s 中任一i均可由其表示 则1212,iiirs为组的一个极大线性无关组 R 唯一，叫12s 向量的秩 2.求法 构造12sA（）作初等行变换，化为阶梯型12sB （）,在每个台阶上任取一列，即得极大线性无关组。四、等价向量组 1.定义 设 12s12t,，同维（不要求st）。则 等价 与可互相线性表示 2.重要结论【Th】等价 rrr【注】可直接使用，不必证明 【例】p95 例 5.24 设 1231-12238=,-111223abb，1232315724=,-241472bbaa，1）a,b 取何值时，rr，且 等价？2）a,b 取何值时，rr，但 不等价？关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 20 【注】除了求秩可用行、列、行列同时变换之外，其余一律用初等行变换 五、齐次 AX=0 的求解 1.解的判定 当()r An时0AX只有 0 解.当()r An时0AX有非 0 解（无穷多个）.2.基础解系（()r An）定义：设12s，满足 1）是 AX=0 的解 2）线性无关 3）s=n-r(A)则12s，是 AX=0 的一个基础解系。【例】求123234-0-0 xx xxx x的通解【分析】1）将 A 化为行（最简）阶梯型，按列找出一个秩为()r A的子矩阵，则剩余位置的变量即为自由变量.2）按基础解系定义反着写（3）（2）（1）.关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 21 六、非齐次AX的求解 依据：非齐次通解=齐次通解+非齐次的一个特解 【例】求1241234123-2-64133xxxxxxxxxx的通解 【例 1】已知123234-0()-0 xx xxx x，且()齐次线性方程组的基础解系为 1(1 124)T，2(1 0 1 1)T（1）求()的基础解系（2）求()与()的全部非零公共解，并用()()的基础解系来表示它们。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 22 【例 2】设441234(,)A,非齐次AX的通解为1122+,2410cc ，记321412(,-)BBX，求的通解 七、关于秩的等式与不等式专题总结 1.定义 对于m nA，存在 k 阶子式不为 0，任意 k+1 阶子式全为 0，则 r(A)=k.有且仅有 k 个线性无关的向量 故秩本质上就是线性无关的向量个数。2.重要公式 0()min,()0=0m nr Am nr AA 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 23 0,()()kr kAr A()()()()TTTm nAr Ar Ar AAr A A，1()()nnn nAr Ar A max(),()()()()r A r Br A Br Ar B()()()r ABr Ar B()min(),()r ABr A r B 若 AB=0，则()nr AB，n 为 A 的列数。,(),()1,()10,()1n nn r AnAr Ar Anr An给 【仅数一】向量空间 1.对于向量空间 V 若12,r，取自 V，无关，且 V 的任意 a 均可由它们表出，则12,r，叫 V的一个基。2.设12,n，12n,，是 n 为向量空间的两个基，且 12()n，C=12n()，,称 c 为12,n，到12n,，的过渡矩阵。第四讲第四讲 特征值与二次型特征值与二次型 综述 1）求 A 的特征值、特征向量 2）A 与 B 相似，相似对角化 3）化二次型为标准型、规范型 一、n nA的特征值特征向量 1.定义 对于n nA，0，数，若A，称为A的特征值，为A的属于的特征向关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 24 量.2.性质 11()nniiiiiatr A 1niiA 3.求法 定义法 A 【例】设，均为 3 维单位列向量，且，正交，TTA,求 A 的全部特征值。特征方程法（适用于具体型计算）=0()0AAEA，0=0EA叫特征方程 12,.,n.代入i入()0()0iEA XEA X基础解系.【例】求02-2244-24-3A的特征值和特征向量.关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 25 二、ABA与 1.A 相似于 B 定义：若可逆矩阵C，使得1C ACB，称：AB 性质 AB则()()r Ar BABEAEB，特征值相同()()tr Atr B mmAB()()f Af B 111111()()()()ABABf Af BABf Af B若，存在，则，2.A 若可逆矩阵D，使得1D AD，称：A.AA 若有n个线性无关的特征向量 重要结论 1）普通 A，121212=与无关，则不确定 2）实对称 A，12121212=正交与一定无关，不一定正交 A判别方法 提法：A 能否相似对角化 1）两个充分条件 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 26 A 有 N 个不同的特征值，可推A A 为实对称矩阵，则A 2）两个必要条件(),iiiiAnAnnrEAnA有 个无关的特征向量为 重根 【例】设112211aAaa，a 为何值时，A 可相似对角化 3.AB判别方法 1）定义法 2）证1A证2B12=，由传递性得AB 【例】p153 例 8.13 证明111001111002,1100nnABn相似 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 27 【补充】求nA，在相似理论中，有如下重要思路 若存在可能矩阵 P，使 111,nnP APAP PAPP 则 三、二次型化标准形、规范形 1.定义及其矩阵表示 2212323121323112323(,)43448022=(,)244243f xxxxxx xx xx xxxxxxx固定格式如 2.化 f 为标准形 1）理论2221 122nnfd xd xd x （d 为实数）标准形 22222121ppp qfxxxxx（p-正惯性指数，q-负惯性指数）规范形 2）方法 配方法（拉氏配方法）【例】将22123231 21 323(,)43448f x x xxxx xx xx x用配方法化为标准形、规范形 正交变换法 1112131123212223231323331=()=()()()()TXPYTTTTTaaaxfx x xaaaxx AxaaaxPYA PYYP AP YYP AP YYY 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 28 【例】22231 21 32343448fxxx xx xx x将（1）用正交变换法化为标准形，并写出正交阵 P（2）化为规范型并写出变换矩阵 3.f 的正定性 定义：若0,0,Txfx Axf 使称 正定，A 正定 必要条件：A 正定，则0,0,TiiaAAA 充要条件：-100iTfAApnAEDAD D 正定正定正定顺序主子式均大于合同于可逆矩阵，使 4.矩阵的等价、相似、合同 （p189 七）1）A B 同型，A,B 等价()()r Ar B 2）A B 同阶 A,B 相似1)C ACB可逆阵C，使得 3)A,B 对称同阶，A,B 合同pq相同【例】p190,例 9.27 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地