2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题.pdf

版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 1 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 20132013 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）当0 x 时，用()o x表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）23()()x o xo x（B）23()()()o x o xo x（C）222()()()o xo xo x（D）22()()()o xo xo x（2）函数|1()(1)ln|xxf xx xx的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设kD是 圆 域22(,)|1Dx yxy位 于 第k象 限 的 部 分，记()kkDIyx dxdy1,2,3,4k，则（）（A）10I （B）20I （C）30I （D）40I （4）设na为正项数列，下列选项正确的是（）（A）若111,(1)nnnnnaaa则收敛（B）11(1)nnna若收敛，则1nnaa 2 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究（C）1nna若收敛，则存在常数1P,使limPnnn a存在（D）若存在常数1P，使limPnnn a存在，则1nna收敛（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若,BABC则 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价（6）矩阵1a1aba1a1与2000b0000相似的充分必要条件为（A）a0,b2（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2（7）设123XXX，是随机变量，且22123N(0,1)N(5,3)XN，X0,2），X,22(1,2,3),jjPPXj 则（）（A）123PPP（B）213PPP（C）312PPP（D）132PPP（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 3 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 则2P XY()（A）112（B）18（C）16（D）12 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（9）设曲线)(xfy 和xxy2在点)1,0(处有公共的切线，则2limnnnfn_。（10）设函数),(yxzz 由方程xyyzx)(确定，则)2,1(xz_。（11）求dxxx12)1(ln_。（12）微分方程041 yyy通解为y_。（13）设ijA(a)是三阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i,j1,2,3),_A则（14）设随机变量 X 服从标准正态分布N(0,1)X,则2()XE Xe=_。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答解答应写出文字说明、证明过应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。（16）（本题满分 10 分）设D是由曲线13yx，直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形，,xyV V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。（17）（本题满分 10 分）设平面内区域D由直线3,3xy yx及8xy围成.计算2Dx dxdy。（18）（本题满分 10 分）4 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为601000QP，（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价 P。（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在0,上可导，(0)0lim()2xff x且，证明（1）存在0a，使得()1f a （2）对（1）中的a，存在(0,),a使得1().fa（20）（本题满分 11 分）设101,101aABb，当,a b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。（21）（本题满分 11 分）设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT ；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。（22）（本题满分 11 分）设,X Y是 二 维 随 机 变 量，X的 边 缘 概 率 密 度 为 23,01,0,.Xxxfx其他，在 给 定01Xxx的条件下，Y的条件概率密度233,0,0,.Y Xyyxfy xx其他（1）求,X Y的概率密度,f x y；（1）Y的边缘概率密度 Yfy.（23）（本题满分 11 分）版权所有版权所有 翻印必究翻印必究 5 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 报名专线：报名专线：400400-63006300-966966 设总体X的概率密度为 23,0,0,.xexf xx其它其中为未知参数且大于零，12,NX XX，为来自总体X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.