第五章大数定律和中心极限定理本章知识结构网络图考试内容与要求考试内容切比雪夫(Chebyshev)不等式;切比雪夫大数定律;伯努利(Bernoulli)大数定律;辛钦(Khinchin)大数定律;棣莫弗一拉普拉斯(DeMoivre-laplace)定理;列维一林德伯格(Levy-Lindberg)定理.考试要求1.了解切比雪夫不等式.2.了解姑雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序。列的大数定律)。3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维一林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理).仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研课§1大数定律大纲考点梳理1.1依概率收敛对于随机变量序列12,,,,,nXXXa为常数,如果对任意的正数,恒有lim1,nnPXa→−=则称随机变量列12,,,,nXXX依概率收敛于a,记作PnXa⎯⎯→.1.2切比雪夫不等式设随机变量X的数学期望()EX和方差()DX均存在,则对任意0,有()()2,DXPXEX−或()()2{}1.DXPXEX−−1.3大数定律1.3.1切比雪夫大数定律设随机变量12,,,,nXXX相互独立,每个变量iX的数学期望()iEX和方差()iDX存在,且存在常数c,使得(),1,2,iDXci=,则对任意正数,有()1111lim1.nnkknkkPXEXnn→==−=【注】定理表明:当n很大时,相互独立的方差有公共上界的随机变量的平均值11nkkXn=,依概率收敛于其数学期望()11nkkEXn=.1.3.2伯努利大数定律设随机变量12,,,,nXXX独立且同服从于01−分布()1,Bp,则对任意正数,有仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研课11lim1.niniPXpn→=−=伯努利大数定律的等价形式:设事件A在每次试验中发生的概率为,pn次重复独立试验中事件A发生的次数为(),AnBnp,则对任意正数,有lim1.AnnPpn→−=1.3.3辛钦大数定律若随机变量12,,,,nXXX相互独立且同分布,有相同的数学期望(),1,2,iEXi==,则对任意正数,有11lim1niniPXn→=−=【注】定理表明:当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值11kknXn=依概率收敛于它的数学期望.典型例题解析【例5.1】假设随机变量12,,,,nXXX相互独...
