聚焦素养立意 彰显育人导向——以一道八年级期末压轴题的命制为例.pdf

中学数学教学参考（中旬）562023年第6 期命是题研究聚焦素养立意彰显育人导向以一道八年级期末压轴题的命制为例钱小强（江苏省泰州市姜堰区仲院初级中学）摘要：初中数学试题命制应坚持素养立意，充分发挥试题的育人导向作用。通过一道八年级期末压轴题的命制历程，得到启示：立足基础，注重知识迁移与运用；源于教材，注重试题创新与发展；启迪思维，注重逻辑关联与整合。关键词：素养立意；命题研究；数学思维；育人导向文章编号：10 0 2-2 17 1(2 0 2 3)6-0 0 56-0 4笔者有幸参加了姜堰区2 0 2 2 年秋季期末八年级数学试卷的命制工作，其压轴题源于苏科版教材八年级上册的一道练习题，命题组基于“四基”，着眼“四能”，历经“化静为动、变换情境，穿针引线、系统优化，关联逻辑、思维深化，精心打磨、去伪存真”的过程，最终的试题有利于培养学生理性精神和创新意识，发展其几何直观和逻辑推理素养。下面笔者基于试题命制过程谈对“聚焦素养立意，彰显育人导向”的命题思考。1命题历程1.1命题立意由于本次考试考查范围为苏科版教材八年级上册的全部内容，包含全等三角形、轴对称图形、勾股定理、平面直角坐标系及一次函数等，笔者决定以教材典型几何问题为基本素材，引人平面直角坐标系，以相关章节的核心知识为载体，考查学生化归、变与不变、分类讨论等思想方法，以及分析和解决问题的能力，聚焦推理能力、几何直观、模型观念等。1.2素材来源（教材第一章第3 节“探索三角形全等的条件”练习第2 题）已知：如图1,CBAD，A E 工DC,垂足分别为B,E，A E,B C相交于点F，且AB=BC。求则点E移动到DC的延长线上（如图2），图形位置发生了变化。若点D沿射线BA向左移动，则又会形成如图3、图4两种不同的位置关系。CEFABD图1证：ABFC B D。这是教材中的一道经典几何题，由已知条件易知ZBAF=ZBCD，进而证得ABFCB D。从图形变换的角度看，CBD可看作是由ABF绕点B顺时针旋转90 所得。鉴于此，笔者思考能否从这个熟悉的图形出发，关联有关核心知识，考查学生综合运用知识分析和解决问题的能力，引导其进行操作与探究、观察与猜想、思考与表达。1.3试题命制1.3.1化静为动，变换情境教材练习题中呈现的两个直角三角形是静态的，形状和大小均不发生改变，且直观可见BCBD。若不改变条件中的已有关系，让点D由此位置向右移动，当BDBC时，发现要使AE工CD且垂足为E，FEACB图2经探究发现，点D在直线AB上运动时（不与点B重合），ABF与CBD全等的关系始终不变，且两个全等三角形均可绕着点B旋转90 重合。考虑到点B位置的特殊性，点B到AF，CD 的距离相等，若联结图2 中的BE，发现虽然点E的位置随着点D的*泰州市“十四五”教育科学规划课题“指向初中生学科阅读素养的差异化教学实践研究”（课题编号：tzyblx2021-006，主持人：钱小强，朱宝勤）的阶段性研究成果。(2）光3时求占的从标。WW命题研究2023年第6 期57中学数学教学参考（中旬）运动而发生变化，但是BE始终平分乙AED。于是，问题的主线方向形成，适当调整字母，形成一稿。CDAB-EF图3一稿如图5，在平面直角坐标系Oy中，点P为轴上一点（不与点O重合），点A在轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB,AC工PB,垂足为C,交y轴于点D。(1)求证:AOADAOBP;(2)联结OC,试说明OC平分/PCA。1.3.2穿针引线，优化系统全等三角形是初中数学的核心知识，可以是贯穿试题的明线，也可以是解决问题的暗线，更是考查学生几何直观和逻辑推理的重要载体。笔者深人研究一稿后发现，可从以下三个方向进行优化：一是优化试题的人文性。第（1)问的证明过程过于烦琐，需要对图1一图4的四种情形均加以证明，且方法雷同，均可由“乙AOD=ZBOP，A O=BO，ZDAO=ZPBO”证得全等。其中证得“ZDAO=ZPBO尤为关键，于是可将第（1)问精简为证明角相等，直指解决问题的关键，同时限定点P的运动范围，减少分类种类，充分体现试题的人文性。二是优化试题的多样性。一稿中两问均停留在定性分析上，没有对具体的数量关系进行定量分析，导致平面直角坐标系有名无实。平面直角坐标系的最大作用在于将“数”和“形”有机结合，可以将几何问题代数化，因此可给定全等三角形的有关线段长，将其转化为一次函数图像求交点坐标的问题。三是优化试题的系统性。问题本质上都是因为点P的运动而产生的变与不变、特殊与一般的关系，若设动点P的横坐标为m，则可将图形问题与代数问题紧密联系，且整个试题都将与有着直接或间接CBF图4二稿如图6，在平面直角坐标系Oy中，点P为轴正半轴上一点，点A在轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB=4，直线AC工直线PB，垂足为C,交y轴于点D,联结OC,设点P的横坐标为m。BDCAP图5显而易见的。笔者思考能否沿此方向继续探究，关联与之密切相关的问题，同时不偏离全等三角形这条“暗线”，充分发挥由m的变化而引起的图形变化中变与不变的关系，进而培养学生理性精神和探究意识。的关联，提升试题结构化、系统化的美感，同时让学生用联系的眼光看问题。基于以上三点，笔者修改后形成二稿。BDA0PX图6(1)求证:ZPBO=ZPAC;时小时主你，(3）试说明：当m0时，OC始终平分/PCA。1.3.3关联逻辑，深化思维逻辑性强、关联度高的问题往往更能考查学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。二稿第（3)问所需的思维力尚不能体现压轴的使命，要说明“平分”，自然联想到角平分线性质定理的逆定理，过点O作AD，P B的高线OE，O F（如图7），而OE=OF是4BDPX图7事实上，在直线AC与直线PB互相垂直的条件下，证明OC平分PCA，也可转化为证明乙ACO=45或PCO=45，而含45的特殊角的三角形也易于寻找，尤其是等腰直角三角形。加之OBP可看作由OAD绕点O顺时针旋转9 0 所得，于是易联想到在AD上必然存在一点G与点C对应，OG为OC的对应线段（如图8），于是有ZCOG=90,OC=OG，由此亦能发现GCO=45。继续研究，不难发现，当m4时，在直线AC上始终存在一点G，使OBC=O A G,如图8，当0 m4时，CA=CG一CB。这里CG=V2CO,但考虑到学生尚未学习二次根式的运算，因而找到点O关于PB的对称点Q，将CG转化为OQ，问题便迎刃而解。命题研究2023年第6 期58中学数学教学参考（中旬）BO图8基于以上思考，三稿出炉。三稿如图10，在平面直角坐标系Oy中，点P为轴正半轴上一点，点A在z轴负半轴上，点B在轴正半轴上，且OA=OB=4，直线AC工直线PB交PB于点C，交y轴于点D，联结OC,设点P的横坐标为m。(1)求证:ZPBO=ZPAC;1水证：上ZPAC;(2)当m=3时，求点C的坐标；(3)取点O关于PB的对称点Q，联结CQ,OQ。试说明：OCQ为等腰直角三角形；当0 m4时，CA，CB，O Q 三条线段是否仍具有以上数量关系？说明理由。三稿将二稿中第(3)问改编成具有一定思维含量的两个小问。第（3)问着重考查学生化归思想和几何推理能力，第（3)问在第（3)问的基础上进行深度研究，考查学生推理能力与模型观念。1.3.4精心打磨，去伪存真一道好的试题必定要经过字勘句酌、反复打磨的过程。笔者对三稿反复研究后发现，仍可在四处加以改进：一是精练语言。条件“点A在轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB=4描述不够精练，简化为直接给出A,B两点的坐标“A（一4,0）,B（0,4)”。二是精减字母。图中直线AC与y轴交于点D对第(2)问的解决有明显的暗示作用，降低了思维含量，因而去掉图中点D，考查学生的发现能力。三是精简要求。第（3)问的两小问均分情况讨论，而第小问所分类的情况均可用角平分线性质定理的逆定理统一说明，因而限定条件“0 m4，避免学生在思维含金量低的地方消耗过多时间。四是精细设问。第小问的提问方式未能将学生思维能力的考查落到实处，改为直接探索CA,CB,OQ之间的数量关系，激发学生自主VBOG图9终稿如图11，在平面直角坐标系zOy中，点A（一4，0）,B(O,4)，点P为轴正半轴上一点，直线ACL直线PB，垂足为C，联结OC,设点P的横坐标为m。(1)求证:/PBO=ZPAC;BD7A0X图10探究和发现的精神。最后适当调整字母次序，形成终稿。BDAPX图11(2）当m=3时，求点C的坐标；(3)取点O关于PB的对称点D,联结CD,OD。试说明：当0 m4时，OCD为等腰直角三角形；试探索CA,CB,OD之间的数量关系。2命题思考基于素养立意的压轴题命制常常经历“立意一关联一生长一深化”的过程，问题立足基础，关注教材，关注数学的内在逻辑，考查学生抽象能力、推理能力和模型观念，培养他们的理性精神和创新意识，彰显试题的育人价值。2.1立足基础，注重知识迁移与运用“四基”是考查学生核心素养发展水平的重要载体，数学命题要立足基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，因此教师要重视基础教学，引导学生夯实基础，提升能力，发展素养。本题从学生的认知出发，将全等三角形的性质与判定、轴对称图形的性质、平面直角坐标系及一次函数等基础知识串联成线，由点P位置的变化引发图形的变化，问题设计逐层深入，考查学生在图形变化过程中发现角与线段等基本元素之间变与不变的结构和关系，进而建立全等模型解决问题，体现对知识的迁移与运用能力，2.2源于教材，注重试题创新与发展教材是课程标准理念呈现的最好依托，教材例、习题更是经过精心挑选、细致打磨形成的，具有基础性与发展性，好的试题往往都能从教材中找到原型。数学命题要关注教材，在教材例、习题的基础上生长和深化、变化和创新，以此引导教师挖掘教材例、习题价值。本题源自教材习题，通过变换问题情境，化静为动，增设条件，将一道静态的几何题变为平面直角坐标系背景下的动态几何题，内涵丰富，形式新颖，既-中学数学教学参考（中旬）592023年第6 期命题研究源于教材导向教学关注素养一道期末考试压轴题的命制过程施兰英（浙江省绍兴市新昌县教体局教研室）摘要：从命题立意、情境、设问和修饰四个环节阐述一道期末考试压轴题的命制过程。试题知识综合性强，考查多种数学思想，涉及教材多章内容，作为新定义型试题，从概念理解到性质探究及迁移应用，逐层深入，考查学生学习力，体现了“命题源于教材，导向过程教学，关注核心素养”的理念。关键词：源于教材；新定义；命制文章编号：10 0 2-2 17 1（2 0 2 3)6-0 0 59-0 31命题缘起某次调研测试中有这样一道题：已知：如图1，在四边形ABCD中,AB=AD,ZABC=ZADC。求证:BC=CD。笔者在批阅中发现，学生出现用“SSA”判定ABCA D C 的错误最多。其实教材对于“SSA”不能判定全等用相关题目进行了说明。浙教版教材八年级上册第3 0 页第3题：如果两个三角形有两边和一个角对应相等，能考查学生对旋转、全等这类基本图形的掌握，也能考查其运用化归、变与不变、分类讨论等数学思想解决问题的水平。事实上，深人研究会发现，本题可以将“OC平分ACP”的结论向一般性推广，即对于同一平面内任意形状的AODBO P，且满足ZAOD=ZBOP，设直线AD与直线BP交于点C，根据全等可知点O到直线AD，BP 的距离相等，从而推出OC一定平分ZACP。2.3启迪思维，注重逻辑关联与整合数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑)思维训练，而训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算1。以几何图形为主的数学试题命制尤其关注逻辑推理，一方面，问题与问题之间具有逻辑关联，逐级生长与深化；另一方面，问题本身指向答案：不一定。反例如图2，AB=AB,AC=AC,ZB=ZB,但ABC与ABC不全等。为什么教材中出现过的题目，学生还会出现这样的错误呢？BC图1那么这样的两个三角形一定全等吗？请说明理由。ABCC图2于是，笔者有了以此为命题背景的念头。2命题过程笔者按照命题四环节，从立意、情境、设问、修饰四方面对命题过程做如下说明。数学的内在逻辑。教学时，教师应着力培养学生的逻辑推理能力，引导其用联系的眼光观察和分析，用系统的观念总结和反思。本题第（1)问揭示乙PBO与ZPAC关联，为第（2)问做铺垫；而第（2）问的解决必然引发学生发现并利用三角形全等将线段进行转化，这有利于其探索第（3)问中不变的角度关系及其数学内在逻辑，也为第（3）问发现线段之间的数量关系提供思路和依据。这种拾级而上、合乎逻辑的思维过程具有生长性、系统性和发展性，有利于学生发现问题规律，抽象问题本质，形成严谨的逻辑思维能力。参考文献：1章建跃.核心素养统领下的立体几何教材变革 J.数学通报，2 0 17,56（11）：1-6,18.