具有非线性波动的运费率模型的渐近性质.pdf

第 卷第期 年月江苏师范大学学报（自然科学版）（），收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）作者简介：连保胜，男，副教授，博士，硕士生导师，主要从事随机微分方程及其应用的研究文章编号：（）具有非线性波动的运费率模型的渐近性质连保胜，邹峰，鲁宇艺（武汉科技大学 理学院，湖北 武汉 ）摘要：研究具有非线性波动的运费率模型的渐近性质利用马尔可夫不等式，证明解的随机最终有界性通过取适当函数，利用指数鞅不等式、引理，得到解的轨道估计仅与模型的漂移项系数有关最后，通过数值模拟，验证了模型的合理性关键词：非线性波动的运费率模型；随机最终有界性；渐近矩估计；轨道估计中图分类号：文献标志码：犱 狅 犻：犃 狊 狔 犿 狆 狋 狅 狋 犻 犮狆 狉 狅 狆 犲 狉 狋 犻 犲 狊狅 犳 犳 狉 犲 犻 犵 犺 狋 狉 犪 狋 犲犿 狅 犱 犲 犾狑 犻 狋 犺狀 狅 狀 犾 犻 狀 犲 犪 狉 犳 犾 狌 犮 狋 狌 犪 狋 犻 狅 狀 ，（，）犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：，犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊：；航运业是世界经济的核心产业，为世界贸易的快速发展奠定了坚实的基础，蓬勃发展的贸易深深依赖于航运能力和航运市场航运市场是一个竞争性强、复杂多变的市场，其运行机制是由运输需求、运力供给和运费水平之间的相互关系决定的关于运费率的研究，可追溯到 年，甚至有一些 年的数据此后，关于运费率的研究，便从多方面展开，如：等利用人工神经网络来确定远期运货协议能否提高未来运费率预测的准确性；研究了运费率的季节性行为，发现考虑随机季节性的模型优于考虑确定性季节性的模型 年，考虑多种变量的情况，总结得到运费率模型狓（狋）（）犪（狓（狋（）狓（狋）狋烇烋 狓（狋）狕（狋），其中：，烇烋犚（正实数），是需求运费率弹性指数，是总吨位利用率指数，是需求动态的瞬时期望增长率，是船舶总吨位的折损率，烇烋是需求动态的标准差；犪（狓（狋）是狓（狋）的函数；狕（狋）是标准布朗运动狕（狋）的增量，即狕（狋）犖，狋他发现传统均衡航运市场模型与金融或实物期权文献中使用的均值回归随机价格过程非常接近，此模型的其他具体形式（如算术均值回归过程、几何均值回归过程），也多次被用于运费率模拟和实物期权估价诸多因素会对运费率产生影响：确定性的季节因素，如圣诞、新年带来的需求变化，从而引起运费率的变化；不确定性的地缘政治事件，如战争造成油价的波动，从而导致运费率波动可见，仅考虑线性波动是不够的因此，我们将文献 的模型推广为具有非线性波动的运费率模型狓（狋）犽（狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋），（）其中：犽，犚，犽，（），烇烋；常数；（狋）是标准布朗运动模型的性质根据实际情况，若随机微分方程（）有解，则必然为正解对于任意给定的正的初始值，方程系数必须满足局部 条件和线性增长条件，方程才有唯一的解显然，随机微分方程（）满足局部 条件，但不满足线性增长条件 全局正解的存在性定理对于任意初始值狓（）狓犚，随机微分方程（）在狋时有唯一正解狓（狋）狓（狋，狓），且狓犚在狋时几乎必然成立证记犳（狋，狓）犽（狓（狋）狓（狋），犵（狋，狓）狓（狋），对区域犇犚，显然犳（狋，狓），犳狓，犵（狋，狓），犵狓在，狋犇上是连续的，所以犳（狋，狓），犵（狋，狓）在，狋犇上是关于狓局部 连续的 因此，对于任意初始值狓犚，存在最大区间，）内的正解狓（狋）狓（狋，狓），若，则正解是全局的令是一个足够大的数，使得狓，对任意整数，定义停时 狋，），狓，（）显然，当时，是单调递增的记 ，则几乎必然成立若能证明几乎必然成立，则以及狓（狋）犚（狋）几乎必然成立因此，只需证明犜，有犘犜（）即可取非负函数（狓）槡狓 狓，由伊藤公式 可得（狓（狋）（狓（狋）狓（狋）（犽（狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）（狓（狋）狓（狋）狓（狋）狋（犽 狓（狋）犽 狓（狋）犽狓（狋）狓（狋）狓（狋）狋（狓（狋）狓（狋）（狋）（）多项式函数犉（狓）犽 狓犽 狓犽狓狓狓在犚中有界，记为犕对（）式两边同时从到犜积分，并取期望，得犈（狓（犜）（狓）犕犈（犜）（狓）犕犜对每一个犜，狓（，）等于或者，且（狓（，）槡 ，槡 ，因此（狓）犕犜犈（犐犜（）（狓（，）犘犜 槡 ，槡 ，其中犐犜（）是指示函数当时，可得 犘犜，从而犘犜由于犜是任意的，从而犘成立 随机最终有界性定义如果对于任意（，），存在正数犪犪（），使得对任意正初始值狓犚，随机微分方程（）的解满足 狋 犘 狓（狋）犪，则称方程的解是随机最终有界的引理对任意，存在一个与有关、与初始值狓犚无关的正数犽，使得随机微分方程（）的解满足第期连保胜，等：具有非线性波动的运费率模型的渐近性质 狋 犈 狓（狋）犽证取函数：犚犚为（狓）狓，由伊藤公式 可得（狓（狋）狓（狋）（犽（狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）（）狓（狋）狓（狋）狋（犽 狓（狋）犽 狓（狋）（）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）显然犽 狓犽 狓（）狓犽 狓犽 狓狓狓狓犽（狓），因此（狓（狋）（犽（狓（狋）狋 狓（狋）（狋）由伊藤公式 可得（狋（狓（狋）狋（狓（狋）狋狋（狓（狋）狋犽狋 狋狓（狋）（狋），由此可得狋犈（狓（狋）（狓）犽（狋），狓 犈（狓（狋）犽，所以 狋 犈 狓（狋）犽定理随机微分方程（）的解是随机最终有界的证令引理的，则存在犽，使得 狓 犈 狓（狋）犽对于任意，取犪犽，由马尔可夫不等式得犘狓（狋）犪犈 狓（狋）犪 犈 狓（狋）犽，即 狋 犘狓（狋）犪，故解是随机最终有界的 渐近矩估计由于方程（）没有显式解，所以对解的渐近估计很有必要定理对任意参数（），存在一个与相关的正常数犕，对于任意初始值狓犚，随机微分方程（）的解狓（狋）狓（狋，狓）有如下性质：狋 狋犈狋狓（狊）狊犕证取函数：犚犚为（狓）狓，由伊藤公式 可得（狓（狋）（犽 狓（狋）犽 狓（狋）（）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）因此（狓（狋）狓（狋）狋（犽 狓（狋）犽 狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）（）由多项式函数的性质可知，犽 狓犽 狓狓在犚中有界，记为犽对（）式两边同时积分并取期望，可得犈狋 狓（狊）狊犽狋（狓），犈狋狓（狊）狊（犽狋（狓），由此可得结论由定理的证明过程，易得如下定理定理对于任意初始值狓犚，随机微分方程（）的解狓（狋）狓（狋，狓）有如下性质：狋 狋犈狋狓（狊）狊犕，江苏师范大学学报（自然科学版）第 卷其中犕是一个正常数，与模型系数有关注定理在某种意义上是全局的，而且，它与以及初始值无关，也与干扰强度无关 轨道估计定理对于任意初始值狓犚，随机微分方程（）的解狓（狋）狓（狋，狓）有如下性质：狋 （狋 狓狋狓（狊）狊犽证取函数（狓）狓，由伊藤公式 可得（狓（狋）狓（狋）（犽（狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋）狓（狋）狓（狋）狋（犽 犽 狓（狋）狓（狋）狋 狓（狋）（狋），（）（）式两边同时积分，得 狓（狋）狓狋（犽 犽 狓（狊）狓（狊）狊狋 狓（狊）（狊）记犕（狋）狋 狓（狊）（狊），这是一个实值连续局部鞅，且犕（），其均方差为犕（狋），犕（狋）狋狓（狊）狊（）固定任意的，（），由指数鞅不等式 可得犘 狋犜犕（狋）犕（狋），犕（狋（）狀 狀由于级数狀狀收敛，因此，由 引理 可知 狋（犜犕（狋）犕（狋），犕（狋）狀，即，存在一个，满足犘（），使得对，有犕（狋）犕（狋），犕（狋）狀（）因此，由（）（）式，可得 狓（狋）狋狓（狋）狊 狓狋（犽 犽 狓（狊）狊狀，所以狋 狓（狋）狋狓（狊）（）狊 狓狋犽狀 狋，当狋时，狋 狋 狓（狋）狋狓（狊）（）狊犽令，即得结论注定理的结论在某种意义上是全局的，且解的轨道估计仅与模型的漂移项系数有关数值模拟考虑离散化方程狓狀狓狀犽（狓狀）狓狀狋 狓狀狀槡狋，（）其中狀是高斯随机变量参考模型和文献，在（）式中取犽 ，狓，进行模拟计算图 表明，在对扩散项进行非线性化变动后，运费率为正，且长时间维持在低波动下的一个适当水平，因某些因素的突然变化，产生短期的高波动和高费率还可以看出，运费率始终保持在某一水平线上下波动，说明运费率具有均值回归特征，这符合实际情况，如需求增长带来运费率的上涨，当需求下降或供大于求时，运第期连保胜，等：具有非线性波动的运费率模型的渐近性质费率下降在其他条件不变的情况下，令扩散项指数（图）和（图），可以看出，运费率高时，回归特征明显，运费率低时，回归性弱这是因为运费率高时，船东会采取加大运力等一系列积极措施以赚取更多利润；但随着运力以及运输效率的快速增长，又会造成运费率的下降，从而导致船东积极性下降；当需求得不到满足时，运费率再次缓慢上升由图还可以发现，扩散项指数的变化会对图像的波动产生影响，随着的增大，图像的波动幅度变小由于现实中多种因素影响运费率的变化，因此，选取不同的漂移项指数和扩散项指数，更符合实际情况 图取不同值时，运费率随时间的变化犉 犻 犵 犆 犺 犪 狀 犵 犲 狊狅 犳 犳 狉 犲 犻 犵 犺 狋 狉 犪 狋 犲狑 犻 狋 犺狋 犻 犿 犲狑 犺 犲 狀狋 犪 犽 犲 狊犱 犻 犳 犳 犲 狉 犲 狀 狋 狏 犪 犾 狌 犲 狊结论因诸多因素会对运费率产生影响，因此，我们将 的运费率模型的扩散项推广为非线性形式，证明了模型的全局正解的存在性、解的随机最终有界性，并对解进行了渐近矩估计和轨道估计最后，通过模拟计算，验证了模型的合理性由于扩散项指数的改变会对图像波动性产生影响，因此，当选取不同的漂移项指数和扩散项指数时，结合已有数据，有助于更准确地描述运费率的变化参考文献：，：，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，？，：，（）：非线性系统：英文版 版北京：电子工业出版社，：，责任编辑：钟传欣江苏师范大学学报（自然科学版）第 卷