具有Pytkeev%5E%28＊%29网的空间的映射性质.pdf

第36卷第3期2023年9月Vol.36 No.3Sep.2023闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University（Natural Science）具有Pytkeev*网的空间的映射性质邵辉,刘鑫*（宁德师范学院数理学院,福建 宁德 352000）摘要：讨论具有特定Pytkeev*网的空间的映射性质，证明闭映射和有限到一伪开映射保持具有Pytkeev*网的空间，并更进一步地说明了闭映射保持具有点可数Pytkeev*网的空间.同时，给出例子说明某些具有特定Pytkeev*网的空间不能被一些映射保持.关键词：拓扑空间；Pytkeev*网；闭映射；伪开映射中图分类号：O189.1 文献标志码：A 文章编号：2095-7122（2023）03-0051-04The mapping properties of the space with certain Pytkeev*networksSHAO Hui,LIU Xin*(School of Mathematics and Physics,Ningde Normal University,Ningde,Fujian 363000,China)Abstract:The paper discusses the mapping properties of the spaces with certain Pytkeev*network are discussed,proves that closed mapping and finite to one pseudo-open mapping preserve Pytkeev*networks,and further demonstrates that closed mapping preserves spaces with point-countable Pytkeev*networks.Meanwhile,some examples are given to illustrate that some spaces with certain Pytkeev*networks cannot be preserved by some mappings.Key words:topology space;Pytkeev*network;closed mapping;pseudo-open mapping度量空间理论一直都是一般拓扑学研究的中心课题.对度量化问题的研究使得诞生了这样的一些空间类，有益于刻画可度量性，继承了度量空间的许多优美性质且度量空间的某些理论或技巧能拓广到这些空间类.这些空间统称为广义度量空间.1959年，Arhangel ski 1提出了网的概念，并证明了具有可数网的紧的Hausdorff 空间有可数基，从而可度量化.更进一步，Arhangel ski2、Meara 3、Guthrie 4、高智民5分别引入了弱基、k网、cs网、cs*网，发展了广义度量空间理论.1983 年，Pytkeev 6证明了序列空间具有如下性质，并说明此种性质蕴含可数tightness:对拓扑空间X的任意子集 A及任意的x-A A，在A上存在一个由无限子集所构成的集列AnnN，满足对x的任意邻域U，存在nN，使得 AnU.此种性质被Malykhin和Tironi 称为Pytkeev性质3.2009 年，Tsaban等7对此做了进一步的推广，引入了强Pytkeev性质：对拓扑空间 X 中的任意一点x，都存在X的可数子集族P，满足对x的任意邻域U及X中满足x-A A的子集A，存在PP使得PU且PA是无限集.显然，若拓扑空间X具有强Pytkeev性质，则X具有可数cs*特征8.随后，Banakh9在2015年引入了(strict)Pytkeev网的概念.与此同时，Gabriyelyan等10提出了cp网、ck网和cn网等概念.这些空间在广义度量空间、基数函数、函数空间、拓扑群及拓扑向量空间中都扮演着极其重要的角色.收稿日期：2022-06-13基金项目：福建省自然科学基金(2020J05230)；宁德师范学院重大项目培育计划(2018ZDK11)作者简介：邵辉(1987-),女,河南周口市人,助教.*通信作者.Email:2023年闽南师范大学学报（自然科学版）2016年，为了进一步地研究广义度量空间，Banakh11引入了Pytkeev*网.定义定义1 设P是空间X的覆盖.1）P称为X的网,若X中的每一开子集是P的某子集族的并.2）P称为X的(拟)k网，若对于X中的每一(可数紧)紧子集K及X中包含K的开子集V，存在PPw使得KPV.3）P称为X的cs*网，若X中的序列 xnnN收敛于x且V是x在X中的邻域，则存在PP使得序列xnnN的某子列终于P且PV.4）P称为X的Pytkeev*网，若P是X的网且对x在X中的任一邻域U，以及X中以x为聚点的序列A=xnnN，存在PP使得xPU且PA是无限集.1 主要结果定理定理1 闭映射保持具有Pytkeev*网的空间.证明证明 设P是X的Pytkeev*网,f:XY是闭映射.任取Y中的点y及Y中以y为聚点的序列A=ynnN.给定y的开邻域OY，下证：存在PP 满足yf(P)O且f(P)A是无限集.对任意的zAy，选取xzf-1(z)，记B=xz:zAy，则f(B)=Ay.因为f是闭映射，所以y-A y f(-B)，从而存在xf-1(y)-B满足f(x)=y且xB.于是x是B的聚点.显然存在x的邻域V满足f(V)O.又因为P是X的Pytkeev*网，所以存在PP使得xPV且PB是无限集.于是有 yf(P)f(V)O且f(P)A是无限集.所以f(P):PP是Y的Pytkeev*网.证毕.空间X的子集族P称为局部有限的12，如果对每一xX，存在x的邻域U仅与P中有限多个元相交.推论推论1 完备映射保持具有局部有限Pytkeev*网的空间.证明证明 设f:XY是完备映射,集族P是X的局部有Pytkeev*网，由定理1可知，集族f(P)=f(P):PP是Y的Pytkeev*网，由于完备映射保持局部有限集族13，则f(P)是Y中的局部有限集族.即Y有局部有限Pytkeev*网.证毕.由定理1可得以下推论.推论推论2 可数到一闭映射保持具有点可数Pytkeev*网的空间.证明证明 设f:XY是可数到一闭映射,P是X的Pytkeev*网.由定理1 f(P):PP是Y的Pytkeev*网.由于f是可数到一映射,则f(P):PPX中的P点可数集族，所以f(P):PP是Y的点可数Pytkeev*网.证毕.单位闭区间中的不可数子集B称为中的Bernstein集13，若B及B关于欧氏拓扑的闭子集都是可数集.设B是中的Bernstein集，集族P是通常拓扑上的可数基.B表示集赋予关于B的Michael直线拓扑14:的子集G是B的开集当且仅当存在关于欧氏拓扑的开集U和B的子集D使得G=UD.容易验证，B有下述性质.引理引理115 设B是Michael直线，C=B,则有1)B是具有点可数基的遗传仿紧空间.2)B是B的闭可分子集.3)对B的任意不可数子集A,有-A B.下面的例1表明推论2的条件“任意的f-1(y)是可数的不能替换为“任意的f-1(y)是 Lindelf的”.52邵辉，等：具有Pytkeev*网的空间的映射性质第3期例例1 闭Lindelf 映射不保持具有点可数Pytkeev*网的空间.证明证明 记单位闭区间01为且赋予其通常拓扑，B是中的 Bernstein 集.B表示集赋予的关于B的 Michael 直线拓扑.记 S1=01/n:nN.令 X=BS1A=B0Y=X/A.则A是X的闭子空间.令q:XY是自然商映射，则q是闭映射.由引理1知，X是具有点可数基的正则 Lindelf 空间.Y不具有点可数cs*网16.所以，X具有点可数Pytkeev*网.又因为Pytkeev*网是cs*网11，所以Y没有点可数Pytkeev*网.从而说明了闭 Lindelf 映射不保持具有点可数Pytkeev*网的空间.证毕.众所周知，闭映射不保持具有点可数k网的空间17，完备映射不保持具有点可数cs*网的空间18.那么闭映射是否保持具有点可数Pytkeev*网的空间呢？下述定理给此问题以肯定回答.定理定理2 闭映射保持具有点可数Pytkeev*网的空间.证明证明 设P是X的点可数Pytkeev*网，f:XY是闭映射.对任意的yY，选取xyf-1(y).记Q=xy:yY.令Z=f(PQ):PP.若存在PP使得yf(PQ)，则f-1(y)PQ，即xyP.因为P是X中的点可数集族，集族Z在Y中也是点可数的.因此只需证集族Z是Y的Pytkeev*网.任取Y中以yY为聚点的序列A=ynnN及y的任一开邻域O满足yOY.记B=xz:zAy.由定理1的证明过程可知，存在xf-1(y)(-B B)及x的邻域V使得f(x)=y且f(V)O.因为P是X的Pytkeev*网，所以存在PP使得xPV且PB是无限集.从而有yf(PB)f(P)f(V)O且f(PB)Af(PQ)A是无限集.于是Z是Y的Pytkeev*网.证毕.定理定理3 有限到一伪开映射保持Pytkeev*网.证明证明 设集族是P的Pytkeev*网，f:XY是有限到一伪开映射.任取Y中的点y及Y中以y为聚点的序列A=ynnN.显然，y-A y.断言 f-1(y)-f-1()A y.假设不成立，则有f-1(y)X-f-1()A y.因为f是伪开映射,所以有y(f(X-f-1()A y)oY-A y，矛盾.取定xf-1(y)-f-1()A y.对y的任意开邻域OY，显然存在x的开邻域V使得f(V)O.因为f是有 限 到 一 映 射，所 以 对 任 意 的nN，f-1(y)是 有 限 集，因 此 存 在X中 的 序 列B=xnnN使 得f-1(Ay)=B.因为P是X的Pytkeev*网，所以存在PP满足xPV和Pf-1(Ay)是无限集.又因为f是有限到一映射，所以f(P)(Ay)是无限集且yf(P)O.从而说明f(P):PP是Y的Pytkeev*网.证毕.由有限到一映射的定义可知,有限到一映射保持点可数集族,所以下述推论是显然的.推论推论3 有限到一伪开映射保持具有点可数Pytkeev*网的空间.设集族P是空间X的覆盖，称X关于P具有弱拓扑，或称X由P所确定19，如果X中的任意子集U是开（闭）的当且仅当对任意的PP UP是P中的开(闭)集.引理引理219 设P是空间X的覆盖，Z=P.令f:ZX是自然映射.f是商映射当且仅当X关于P具有弱532023年闽南师范大学学报（自然科学版）拓扑.下面的例子表明,定理3和推论3中的条件“伪开映射”不能替换成“商映射”.例例2 有限到一商映射不保持具有点可数Pytkeev*网的空间.证明 定义 X=S1Y=(S10).赋予X下述拓扑19:Y作为X的子空间具有欧氏拓扑.(t0)X的邻域基元形如(t0)V()tk：kn nN，其中V(tk)是(t1/k)在子空间1/k的开邻域.令 M=(1/n:nN)(tS1:t).那么M是局部紧的可度量空间，因此M有点可数的Pytkeev*网.令f:MX是自然映射.因为X关于点有限覆盖1/n:nN tS1:t具有弱拓扑，由引理2，f是有限到一商映射.由20知，X没有点可数的Pytkeev网，又因为X是度量空间的有限到一商映像，所以X是序列空间16，从而X没有点可数的Pytkeev*网.证毕.参考文献：1 ARHANGELSKI A V.An addition theorem for the weight of sets lying in bicompactsJ.Doklady Akademii nauk SSSR,1959,126:239-241(in Russian).2 ARHANGELSKI A V.Mappings and spacesJ.Russian Math Surveys,1966(21):115-162.3 MALYKHIN V I,TIRONI G.Weakly Frchet-Urysohn and Pytkeev spacesJ.Topology and Its Applications,2000,104:181-190.4 GUTHRIE J A.A characterization of -spacesJ.Applied General Topology,1971(1):105-110.5 GAO Z M.-space is invariant under perfect mappingsJ.Questions Answers Gen Topology,1987(5):271-279.6 PYTKEEV E G.Maximally decomposable spacesJ.Trudy Mat Inst Steklov,1983,154:209-2137 王汉锋,贺伟.Pytkeev空间与弱FU空间的几个注记J.东北师大学报(自然科学版),2016,48(2):44-47.8 TSABAN B,ZDOMSKY L.On the 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