060.刻意练习解析(高等数学)【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 1 2025 年周洋鑫考研数学大纲基础精讲一本通年周洋鑫考研数学大纲基础精讲一本通 刻意练习解析刻意练习解析 目录 第一章 函数、极限与连续.2 基础讲义 第第 11、13 页页.2 基础讲义 第第 23 页页.3 基础讲义 第第 36-37 页页.4 基础讲义 第第 44 页页.7 第二章 一元函数微分学.9 基础讲义 第第 52、54 页页.9 基础讲义 第第 62 页页.10 基础讲义 第第 64 页页.10 基础讲义 第第 71 页页.10 第三章 不定积分.11 基础讲义 第第 84 页页.11 2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 2 第一章 函数、极限与连续 基础讲义 第第 11、13 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【答案】C.【解析】()2limlimcos01xxxf xxx+=+.()22211 11limlim1 coslim22xxxg xxxxx+=.因此()()limlimxxg xf x+，即x +时，()()f xg x，故选 C.【刻意练习【刻意练习2 2】【答案】A.【解析】()()130001414123limlimlim2sin23xxxxxf xxx+=.()()()223355000tantantantanlimlimlimxxxxxxxxxxxg xxx+=22201tantanlim3xxxxxx+=222220001tantanlimlimlim3xxxxxxxxxx=+()11 1 113=+=.因此()()00limlimxxf xg x，即0 x 时，()()f xg x，故选 A.【注】【注】()()3322ababaabb=+；()()3322ababaabb+=+.【刻意练习【刻意练习3 3】【答案】D.【解析】函数()f x的无定义点为0,1xx=，即()f x在)()()1,0,0,1,12，内连续.又()2200coscos22limlim1xxxxxxx=，()2111coscos22limlimlimsin11222xxxxxxxxx=，因此0 x=处极限不存在，1x=处极限存在，故选 D.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 3 基础讲义 第第 23 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【答案】A.【解析】当0 x+时，()()()1lnln 1ln 1ln 11xxxxxx+=+；()2ln1xxx+；221 111cos2 24xxx=；()()()33333331122tanarctan3333xxxxo xxxo xxo xx=+=+.故选 A.【刻意练习【刻意练习2 2】【答案】1,22ck=.【解析】方法一方法一：当0 x 时，()()2222111ln 1arcsinarcsinarcsinarcsin222kxxxxxo xxxcx+=+=,故1,22ck=.方法二方法二：当0 x 时，()()ln 1 arcsinarcsinln 1 arcsinarcsinxxxxxx+=+()arcsinln 1 arcsinxx+2211arcsin22kxxcx=，故1,22ck=.【刻意练习【刻意练习3 3】【答案】2.【解析】方法一方法一：原式()()()3333301122233limxxxo xxxo xx+=()()333330822233limxxxo xxxo xx+=2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 4 ()33302lim2xxo xx+=.方法二方法二：原式302 arctanarctan22limxxxxxx+=3300arctanarctan222limlimxxxxxxxx=+()333300112332limlimxxxxxx=+28233=+=.基础讲义 第第 36-37 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【答案】C.【解析】由题意可知，()()()00limlim2xxxxf xg xu x+=和()()()00limlim2xxxxf xg xv x=都不存在.若()0limxxf x不存在，并不能得出()0limxxg x的存在性，排除 A、B.若()0limxxf x存 存在，且()0limxxg x存 是存存在的，则()()()00limlim2xxxxf xg xu x+=存 和()()()00limlim2xxxxf xg xv x=都将存在，与题意不符。因此排除 D，应选 C.【刻意练习【刻意练习2 2】【答案】124.【解析】原式22220coslim2xxxexx=()()224424401111111224222lim2xxxo xxxo xx+=()44401112lim224xxo xx+=.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 5 【刻意练习【刻意练习3 3】【答案】12.【解析】方法一方法一：原式()230sectansinlimxxxx=，其中介于tan x与sin x之间 2323001sec112limlimsec22xxxx=.方法二方法二：原式()()33333011tantansinsin33limxxxo xxxo xx+=()()3333333330000011tansintansin33limlimlimlimlimxxxxxxxo xo xxxxxxxx=+1111002332=+=.方法三方法三：原式()()30tan tantansintan sintansinlimxxxxxxxx+=()()333000tan tantansintan sintansinlimlimlimxxxxxxxxxxxx=+11113322=+=.【刻意练习【刻意练习4 4】【答案】1 12;2;4 4.【解析】（1）原式222414limlimlim2xxxxxxxxxx+=.（2）方法一方法一：原式2224142limlimlimlim2xxxxxxxxxxxxx+=.方法二方法二：令xt=，则原式224142limlimlim2tttttttttt+=.（3）原式2221lim412limlim41242xxxxxxxxxxxxx+=+=+2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 6 1lim224xxxx+=+.（4）令xt=，原式221lim412lim412ttttttttt+=+=+1lim224tttt+=+.【刻意练习【刻意练习5 5】【答案】13;6.【解析】令xt=，则()2lim910tttatb+=，即()2lim91tttatb+=，且2lim93ttt+=，则3a=.代入可得，()22211lim913limlim691393ttttttttttttt+=+，则16b=.【刻意练习【刻意练习6 6】【答案】36.【解析】方法一方法一：原式()()()33301666limxxxo xxf xx+=()()2220636limxxo xf xx+=()()22220366limxxo xf xxx+=+()206lim360 xf xx+=，故()206lim36xf xx+=.方法二方法二：当0 x 时，()()3sin60 xxf xo xx+=+，则()()3sin6xf xo xxx=，所以()()3330066sin6limlimxxxxf xxxx o xIxx+=()306sin6limxxxo xx=+306sin6lim036xxxx=+=.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 7 方法三方法三：原式()30sin666limxxxxxf xx+=()32006sin66limlimxxf xxxxx+=+()20636lim0 xf xx+=+=，故()206lim36xf xx+=.【刻意练习【刻意练习7 7】【答案】32223xxx+.【解析】由题意得，()3222f xxxaxb=+.又32022lim3xxxaxbx+=存，然 0b=.代入可得320022limlim3xxxxaxaxxx+=存，故3a=.因此()32223f xxxx=+.基础讲义 第第 44 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【解析】（）（有界性）由题意得，0nx.又()121112211nnnnxxxx+=+，则02nx.（单调性）设()1 21211xf xxx+=+存，则()()2101fxx=+存，且12xx存，因此数列 nx单调增加.综上所述，nx单调递增且有上界，故极限必定存在.（）设limnnxA=，则121512AAAA+=+.又0nx，则152A+=，因此15lim2nnx+=.【刻意练习【刻意练习2 2】修改题目：设10 x，3118134nnnxxx+=+，1,2,n=.【解析】（）（有界性）由题意得，()01,2,nxn=.又41333181181813344nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx+=+=+=，因此()32,3,nxn=.（单调性）4133811 81044nnnnnnxxxxxx+=，因此 nx单调递减.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 8 综上所述，nx单调递减且有下界，故极限必定存在.（）设limnnxA=，则3181334AAAA=+=.又0nx，则3A=，因此lim3nnx=.【注】【注】44abcdabcd+.【刻意练习【刻意练习3 3】【解析】（有界性）要证明()03nxn+N存，可用数数学纳法法，体 证明如下：（1）当1n=时，103x，然 成立；（2）假设03kx，则()130332kkkxxx+=.（单调性）根据基本不等式，()133322nnnnnxxxxx+=，则302nx.又13311nnnnnxxxxx+=，因此1nnxx+.综上所述，nx单调递增且有上界，故极限必定存在.（求极限）设limnnxA=，则()332AAAA=或0（舍去），则3lim2nnx=.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 9 第二章 一元函数微分学 基础讲义 第第 52、54 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【答案】B.【解析】因为()()002limlim111 cos2xxf xf xxx=，所以()201lim2xf xx=，且()()200limlim0 xxf xf xxxx=，故错误，正确.又因为()201lim2xf xx=存，所以()0lim0 xfx=存，题题中知知()f x存 在0 x=存 处有定义，无法确定()f x在0 x=处存否连续，因此()0f的值未必为0，例如()21,0,21,0,xxf xx=然 满足题意，题()00f，且()0f 不存在，故与均错误.故应选 B.【刻意练习【刻意练习2 2】【答案】D.【解析】当0 x=时，有()()10faf=.又()()()()()001101limlimxxfxfafxaffxx +=()()()000lim0 xfxfaafabx+=，因此()f x在1x=处可导，且()1fab=，应选 D.【刻意练习【刻意练习3 3】【解析】（1）()()()22231f xxxx=知需讨论在1x=处的可导性.令()()()2223g xxx=，由于()10g，故()f x在1x=处不可导.（2）()()()2sinf xx xx=+知需讨论在,x=处的可导性.令()2sing xx x=+，由于()0g =，则x=处可导；令()2sinh xx x=，由于()0h=，则x=处可导，因此()f x处处可导.【注】【注】若()g x在0 xx=处连续，则()()0f xg x xx=在0 xx=可导()00g x=.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 10 基础讲义 第第 62 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【解析】由()limmax,0nnnnnabca b ca b c+=得，()23max,f xx xx=3,01,1.xxxx=当01x时，()1fx=；当1x 时，()23fxx=；当1x=时，()321111limlim131xxxfxxx+=+=，()111lim11xxfx=，因此()f x在1x=处不可导.综上所述，()21,01,3,1.xfxxx=基础讲义 第第 64 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【解析】()()()()()2ln 21ln 211ln 21ln1yxxxxxx=+=+，因此()()()11112211nnnyxx=+()()()()()()111211!11!2211nnnnnnnxx=+()()()()()()11211!11!211nnnnnnnxx=+.基础讲义 第第 71 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【答案】A.【解析】设()()xg xe f x=存，则()()()0 xgxefxf x=+存，因此()g x存 单调递增.即()()()210ggg，因此()()21eff，()()10eff，故应选 A.2025 最新版考研数学大纲基础精讲一本通 新浪微博考研数学周洋鑫 公众号:周洋鑫 11 第三章 不定积分 基础讲义 第第 84 页页【刻意练习【刻意练习1 1】【解析】由题意得，()222sincoscotfxxx=+222221 sin11 sinsinsinsinxxxxx=+=+，因此()1fxxx=+.则()()211ddln2f xfxxxxxxCx=+=+.