第二章——一维随机变量1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学张振授课时间：2024.06.07粉笔公考·官方微信1第二章——一维随机变量1（笔记）【注意】本节课程为重上课程。由于上节课程网络不好，导致授课效果不佳，故重新授课。【注意】分布函数：1.上节课介绍了分布律，分布律仅仅适用于离散型随机变量。其他类型不好用分布律表示，此时介绍分布函数。2.分布函数定义：设X是一个随机变量，对于任意实数x，令F（x）=P{X≤x}，x∈R，称F（x）为随机变量X的分布函数。分布函数也是函数，随机变量也是函数，随机变量的定义域为样本空间，把样本空间的结果和数字对应起来；分布函数的定义域x∈R。F（x）是概率，F（x）=P{X≤x}，可以用数轴表示，落在（-∞，x]。2【注意】1.分布函数的定义域为R。2.如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F（x）在x处的函数值就表示X落在区间(-∞，x]上的概率。【例3】若X的分布律为求X的分布函数F（x）。【解析】3.已知X的分布律，求X的分布函数F（x）。X是离散型随机变量，取值为0，1，2，F（x）=P{X≤x}，x∈R。（1）x需要分情况讨论。①当x＜0时，F（x）=P{X≤x}=0。②当0＜x＜1时，F（x）=P{X≤x}=P{X=0}=7/15。③当1＜x＜2时，F（x）=P{X≤x}=P{X=0或1}=14/15。④当x＞2时，F（x）=P{X≤x}=P{X=0或1或2}=1。（2）讨论等号的情况。①当x=0时，F（0）=P{X≤0}=7/15。②当x=1时，F（1）=P{X≤1}=14/15。③当x=2时，F（2）=P{X≤2}=1。综上，等号的位置均在大于号的一侧。画出分布函数的图像，3【注意】离散型随机变量的分布函数均为分段函数（实心在阶梯的左侧），且左、右分段点的等号都是写在大于号的一侧。（2）基本性质设F（x）为随机变量X的分布函数，则F（x）满足下列性质：①单调不减性：对于任意的x1＜x2，都有F（x1）≤F（x2）；②规范性：0≤F（x）≤1，且𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝐹(𝑥)=0，𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝐹(𝑥)=1；③右连续性：F（x+0）=F（x）。这三条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件。【注】①任何随机变量都有其对应的分布函数；②由于F（x）单调不减以及𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝐹(𝑥)=0，𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝐹(𝑥)=1，就可以保证0≤F（x）≤1，所以在判断函数是否为某随机变量的分布函数时，其充要条件可4以化简；③由于分布函数一定右连续，所以当其为分段函数时，分段点处的等号一律放在x取大于号的一侧。【注意】基本性质：1.单调不减性。概率论中公理化定义非负性的推论。对于任意的x1＜x...
