43.第二章——一维随机变量1【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第二章一维随机变量 1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学张振 授课时间：2024.06.07 粉笔公考官方微信 1 第二章第二章一维随机变量一维随机变量 1 1（笔记）（笔记）【注意】本节课程为重上课程。由于上节课程网络不好，导致授课效果不佳，故重新授课。【注意】分布函数：1.上节课介绍了分布律，分布律仅仅适用于离散型随机变量。其他类型不好用分布律表示，此时介绍分布函数。2.分布函数定义：设 X 是一个随机变量，对于任意实数 x，令 F（x）=PXx，xR，称 F（x）为随机变量 X 的分布函数。分布函数也是函数，随机变量也是函数，随机变量的定义域为样本空间，把样本空间的结果和数字对应起来；分布函数的定义域 xR。F（x）是概率，F（x）=PXx，可以用数轴表示，落在（-，x。2 【注意】1.分布函数的定义域为 R。2.如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数 F（x）在 x 处的函数值就表示 X 落在区间(-，x上的概率。【例 3】若 X 的分布律为 求 X 的分布函数 F（x）。【解析】3.已知 X 的分布律，求 X 的分布函数 F（x）。X 是离散型随机变量，取值为 0，1，2，F（x）=PXx，xR。（1）x 需要分情况讨论。当 x0 时，F（x）=PXx=0。当 0 x1 时，F（x）=PXx=PX=0=7/15。当 1x2 时，F（x）=PXx=PX=0 或 1=14/15。当 x2 时，F（x）=PXx=PX=0 或 1 或 2=1。（2）讨论等号的情况。当 x=0 时，F（0）=PX0=7/15。当 x=1 时，F（1）=PX1=14/15。当 x=2 时，F（2）=PX2=1。综上，等号的位置均在大于号的一侧。画出分布函数的图像，3 【注意】离散型随机变量的分布函数均为分段函数（实心在阶梯的左侧），且左、右分段点的等号都是写在大于号的一侧。（2）基本性质 设 F（x）为随机变量 X 的分布函数，则 F（x）满足下列性质：单调不减性：对于任意的 x1x2，都有 F（x1）F（x2）；规范性：0F（x）1，且()=0，+()=1；右连续性：F（x+0）=F（x）。这三条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件。【注】任何随机变量都有其对应的分布函数；由于 F（x）单调不减以及()=0，+()=1，就可以保证 0F（x）1，所以在判断函数是否为某随机变量的分布函数时，其充要条件可 4 以化简；由于分布函数一定右连续，所以当其为分段函数时，分段点处的等号一律放在 x 取大于号的一侧。【注意】基本性质：1.单调不减性。概率论中公理化定义非负性的推论。对于任意的 x1x2，画数轴，落在（-，x2）的概率大于等于落在（-，x1）的概率，则 F（x1）F（x2）。2.规范性：分布函数本身是概率，概率一定位于 0 和 1 之间，0F（x）1。F（x）=PXx。()=0，根据定义理解，F（x）=PXx，F（-）=PX-=0，F（+）=PX+=1。3.右连续性：F（x+0）=F（x）。0+F（x）=F（x0），右极限等于函数值，P（xx0）是右连续。4.以上三条性质也是一个函数可以作为某随机变量分布函数的充要条件。5.注：（1）分布律对应的是离散型随机变量。任何随机变量都有其对应的分布函数。（2）由于 F（x）单调不减以及()=0，+()=1，就可以保证0F（x）1，所以在判断函数是否为某随机变量的分布函数时，其充要条件可以化简。（3）由于分布函数一定右连续，所以当其为分段函数时，分段点处的等号一律放在 x 取大于号的一侧。6.若一个函数单调不减，()=0，+()=1，则 0F（x）1。若一个函数满足单调不减，且()=0，+()=1，则为分布函数。7.分布函数一定右连续，写分布函数时分段点的等号一定放在大于号一侧。5 【例 4】若 X 的分布函数为 F（x）=+（1+）2，0，0，求常数 a，b，c的值。【解析】4.已知分布函数，求参数。用性质，单调不减只是定性研究，规范性是定量研究，用规范性，()=c=0；+()=a=1。再用右连续计算 b，0+F（x）=0+1+(1+)2=a+b，F（0）=c=0，则 a+b=0，可得 b=-1。【注意】1.已知分布、求参数：利用充要条件中的规范性以及右连续来进行求解。2.改编一下题目：F（x）=+（1+）2，0，0，计算 b。F（-）=0，F（+）=1，都可以算出 a、c 的值，b 的值无法计算，因为 x0，是右连续，计算参数时或验证是否右连续，“”那侧不用验证，一定是右连续，只需要验证“”那侧。【例 5】下列函数可以作为某随机变量的分布函数的是（）6 A.F（x）=11+3 B.F（x）=2 C.F（x）=0，0，1+，0，D.F（x）=+2【解析】5.判断函数是否为某随机变量的分布函数，有三条充要条件：单调不减；规范性，F（-）=0，F（+）=1；右连续。A 项：F（+）=01，错误。B 项：F（-）=-10，错误。D 项：F（+）=/2+2/1，错误。C 项：x0，单调不变；x0 时，F（x）=x/（1+x）=1-1/（x+1），单调增加，计算导数判断也可以，在 0 处也是连续的，整体满足单调不减。F（-）=0：F（+）=1，满足规范性；0+()=0=F（0）。满足右连续，是分布函数。正确，当选。【选 C】【注意】若 C 项：F（x）=0，0，1+，0，此时不需要验证右连续。0，说明在 x=0 处一定是右连续。（3）特殊性质 设随机变量 X 的分布函数为 F（x）=PXx，由 X 所产生的一切随机事件的概率都可以利用分布函数来计算。7 PXx0=1-PXx0=1-F（x0）；PXx0=F（x0-0）；PX=x0=PXx0-PXx0=F（x0）-F（x0-0）；PXx0=1-PXx0=1-F（x0-0）；Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1）；Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1-0）；Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2-0）-F（x1）；Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2-0）-F（x1-0）。【注意】特殊性质：设随机变量 X 的分布函数为 F（x）=PXx，由 X 所产生的一切随机事件的概率都可以利用分布函数来计算。1.PXx0=F（x0），Xx0和Xx0为对立事件，PXx0=1-PXx0=1-F（x0）。2.PXx0=PXx0+PX=x0，PX=x00 时，PXx0和 PXx0不相等。计算 PXx0，点从左边朝着 x0无限趋近，0()=F（x0-0）。3.PX=x0=PXx0-PXx0=F（x0）-F（x0-0）。4.Xx0和Xx0互为对立事件，PXx0=1-PXx0=1-F（x0-0）。5.Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1）。6.Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2）-F（x1-0）。7.Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2-0）-F（x1）。8.Px1Xx2=PXx2-PXx1=F（x2-0）-F（x1-0）。【例 6】【2010-13-4 分】设随机变量的分布函数 F（x）=0，0，12，0 1，1 ，1，则 PX=1=（）A.0 B.12 C.12-e-1 D.1-e-1【解析】6.已知 X 的分布函数，求 PX=1。PX=1=PX1-PX1=F（1）-F（1-0）=1-1/e-1/2=1/2-e-1，选择 C 项。【选 C】8 【注意】x 是定义域，xR；X 是随机变量，F（x）=PXx。4.连续型随机变量及其概率密度（1）定义 设 F（x）为随机变量 X 的分布函数，若存在非负可积函数 f（x），使得对于任意实数 x，有 F（x）=f（t）dtx-，则称 X 为连续型随机变量，函数 f（x）称为 X 的概率密度函数，简称概率密度。【注意】只有连续型随机变量才有概率密度；概率密度 f（x）的理解：可以类比物理学中的密度。密度关于度量的积分是质量，则概率密度关于度量的积分是概率。【注意】连续型随机变量及其概率密度：1.定义：设 F（x）为随机变量 X 的分布函数，若存在非负可积函数 f（x），使得对于任意实数 x，有 F（x）=（）（变限积分），则称 X 为连续型随机变量，函数 f（x）称为 X 的概率密度函数，简称概率密度。（1）连续型随机变量和离散型随机变量概念不同，离散型随机变量是有限个或可列无限多个，连续型随机变量取值不可列，例如不能列出室内所有的温度，有无穷多个数。（2）连续型随机变量可以用变限积分表示，被积函数是概率密度。2.注意：（1）只有连续型随机变量才有概率密度。只有离散型随机变量才有分布律。9 分布函数适用于所有的随机变量。（2）概率密度 f（x）的理解：可以类比物理学中的密度。密度关于度量的积分是质量，则概率密度关于度量的积分是概率。线密度、面密度、体密度。（2）基本性质 设 f（x）为某连续型随机变量 X 的概率密度，则 f（x）满足下列性质：非负性：f（x）0；规范性：（）+=1。这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要条件。【注意】基本性质：充要条件。1.非负性：f（x）0。F（x）=（）；F（x1）=（）1，F（x2）=（）2，x2x1，F（x2）-F（x1）=（）210。假设 F（x）可导，则 F（x）0，F（x）=f（x）。2.规范性：（）+=1。F（x）=（），F（）=0，F（+）=1。3.这两条性质也是一个函数可以作为某连续型随机变量概率密度的充要条件。【例 7】设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=+1，0 2，0，其他，求 a。【解析】7.已知概率密度求参数。一般用规范性求解，（）+=1，只需要在0，2上积分，因为其他区域被积函数都等于 0。（）20=（+201）=2a+2=1，可得 a=-1/2。10 【小结】已知概率密度求参数，我们一般利用充要条件中的规范性求解。【例 8】【2002-14-3 分】设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1（x）和 f2（x），分布函数分别为 F1（x）和 F2（x），则以下命题中正确的是（）。A.f1（x）+f2（x）必为某一随机变量的概率密度 B.f1（x）f2（x）必为某一随机变量的概率密度 C.F1（x）+F2（x）必为某一随机变量的分布函数 D.F1（x）F2（x）必为某一随机变量的分布函数【解析】8.A、B 项描述的是概率密度，充要条件：非负性，规范性。C、D项描述的是分布函数，充要条件：单调不减，F（-）=0、F（+）=1，右连续。A 项：f1（x）+f2（x），满足非负性；1()+f2(x)+=1+1=2，不满足规范性。B 项：f1（x）、f2（x）都满足非负性，则 f1（x）*f2（x）0，满足非负性；1()f2(x)+，该积分无法计算，例如/21 1/21+21，无法用初等函数表示。C 项：F1（x）、F2（x）都是分布函数，满足单调不减，则 F1（x）+F2（x）满足单调不减；F（-）=0，F（+）=2，不满足规范性；F1（x）、F2（x）都是右连续，则 F1（x）+F2（x）也是右连续。D 项：F1（x）*F2（x），两个单调不减的函数相乘还是单调不减函数；两个右连续的函数相乘还是右连续的函数，F（-）=0*0=0；F（+）=1*1=1，满足规范性。选择 D 项。【选 D】11 【注意】1.F1（x）、F2（x）都是分布函数：（1）问F1（x）+F2（x）/2 能否作为某随机变量的分布函数。F1（x）+F2（x）/2，满足单调不减，F（-）=0，F（+）=1，右连续，则F1（x）+F2（x）/2 可以作为某个随机变量的分布函数。（2）（1/3）F1（x）+（2/3）F2（x）/2 也可以作为某随机变量的分布函数。（3）aF1（x）+bF2（x），且 a+b=1，a0，b0，则 aF1（x）+bF2（x）可以作为某随机变量的分布函数。2.连续的函数经过四则运算或反函数运算，还是连续的函数。3.假设 F1（x）、F2（x）是连续的，问 f1（x）F2（x）+f2（x）F1（x）能否作为某一随机变量的概率密度。f1（x）、f2（x）具有非负性，F1（x）、F2（x）是概率，都在0，1范围内，则 f1（x）F2（x）+f2（x）F1（x）具有非负性；1()2（）+f2(x)F1（x），假设 f1（x）、f2（x）是连续的，F（x）=f（t），函数连续，变限积分可导，F（x）=f（x），计算过程如图所示，结果为 1，满足规范性。12 （3）特殊性质 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F（x），概率密度为 f（x），则：F（x）是连续函数；对任意的实数 c，PX=c=0；【注】连续型随机变量取任何值的概率均为 0，所以在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分端点的情况，也就是对于任意的 x1，x2R（x1x2），都有 Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2。对任意的 x1，x2R（x1x2），Px1Xx2=F（x2）-F（x1）=()21；【注】Px1Xx2=()21可以概括为“哪求概率，哪积分”，其几何意义为：X 落在区间（x1，x2）上的概率等于以 x2-x1为底，以 f（x）为高的曲边梯形的面积。若 f（x）在点 x 处连续，则有()=()。【注】该性质揭示了概率密度函数的概率含义：若 f（x1）f（x2），并不表示 X=x1的概率比 X=x2的概率大，因为 PX=x1=PX=x2=0。它表示在 x1以及 x2附近的一个长度为x 的小区间内，若x 足够小时，此时该点附近的概率密度可以看作常数，则 X 落在这两个小区间内的概率分别为 f（x1）x 以及 f（x2）x。概率密度本质上反映了 X 在点 x 附近所分布的概率的“疏密”程度。【注意】设连续型随机变量 X 的分布函数为 F（x），概率密度为 f（x），则：13 1.F（x）一定连续，通过变限积分理解。F（x）=（），PX=x0=PXx0-PXx0=F（x0）-F（x0-0），函数是连续的，则 F（x0）-F（x0-0）=0。连续型随机变量取任何值的概率均为 0，反过来，若随机变量在某一点的取值不为0，则随机变量一定不是连续型随机变量。2.对任意的实数 c，PX=c=0。连续型随机变量取任何值的概率均为 0，所以在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分端点的情况，也就是对于任意的 x1，x2R（x1x2），都有 F（x2）-F（x2）=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2。（1）离散型：点点不漏。（2）连续型：一点不差不是差。3.对任意的 x1，x2R（x1x2），Px1Xx2=F（x2）-F（x1）=（）2-（）1=()21。Px1Xx2=()21可以概括为“哪求概率，哪积分”。几何意义为：X 落在区间（x1，x2）上的概率等于以 x2-x1为底，以 f（x）为高的曲边梯形的面积。4.若 f（x）在点 x 处连续，则有()=()。证明：F（x）=（），变限积分连续被积函数可导，F（x）f（x）。该性质揭示了概率密度函数的概率含义：若 f（x1）f（x2），并不表示 X=x1的概率比 X=x2的概率大，因为PX=x1=PX=x2=0。它表示在 x1以及 x2附近的一个长度为x 的小区间内，若x 足够小时，此时该点附近的概率密度可以看作常数，则 X 落在这两个小区间内的概率分别为 f（x1）x 以及 f（x2）x。概率密度本质上反映了 X 在点 x 附近所分布的概率的“疏密”程度。14 【例 9】下列关于分布函数和概率密度的说法正确的有 个。离散型随机变量的分布函数一定有不连续点；分布函数不连续的随机变量一定是离散型随机变量；连续型随机变量的分布函数一定可导；连续型随机变量的概率密度不一定连续。【解析】9.正确。例 3 中离散型随机变量的分布函数是分段的，实心都在左边，等号都在大于号一侧。错误。随机变量不仅有离散型、连续型，还有混合型。例如 F（x）=（5+7）/160，1，1 1，1，1，分布函数不是阶梯型，不是离散型随机变量，PX=-1=PX-1-PX-1=F（-1）-F（-1-0）=1/8，P（X=1）=1/4，在某一点处的概率不为 0，所以也不是连续型随机变量。错误。F（x）=（），如果概率密度 f（t）是连续的，则 F（x）可导。被积函数连续，变限积分可导。正确。概率密度非负可积即可，并不一定连续。综上所述，说法正确的有 2 个。【例 10】设连续型随机变量 X 的分布函数为 F（x）=+，0，0，0，其中0，试求：15 （1）a 和 b 的值；（2）概率密度 f（x），【解析】10.（1）已知分布函数，求参数，利用规范性和右连续，根据 F（x）可知，x0 一定是连续的，故用不到右连续。此时用规范性+()=+(+)（=0）=a=1；是单调不减函数，只要 b 为负数，则为单调递增函数，连续型随机变量 X 的分布函数一定连续，0()=0+（）=F（0）=0，F（0）=a+b，所以 0=a+b，b=-1。（2）求概率密度 f（x）。F（x）=()，分布函数求导就是概率密度。F（x）=1 ，00，x0，F（x）=，00，x0，F-（0）=0，F+（0）=0+F（x）-F（0）/（x-0）=0+（1-）/x=，而0，说明 F（0）不存在，f（x）=，00，x 0。16 【小结】已知分布函数求概率密度，直接对分布函数求导即可。当分布函数为分段函数时，对于分段点处的导数不需用导数的定义，对于该点，概率密度可以直接写为 0。【例 11】设连续型随机变量 X 的概率密度为 f（x）=2，01，0，其他，则 PX12=。【解析】11.已知概率密度，求概率，哪求概率，哪积分。PX12=Px（，1/2=（）12。f（x）是 分 段 函 数，需 要 分 段 积 分，（）12=（）0+（）120=00+2120=0+2120=2120=x2|012=12。【注意】实际做题中，图中绿色部分的步骤可以省略。17 【例 12】设连续型随机变量 X 的概率密度为 f（x）=14，2 1，14，0 1，12，2 3，0，其他，则使得 PXk=PXk成立的 k 的取值范围是 。【解析】12.概率密度 f（x）为分段函数，求让 PXk=PXk成立的 k的取值范围。按照正常积分的角度，函数一共三段，每段需要单独讨论，一共 6个分段点，相当于求 7 段，太麻烦。PXk：描述的是 y=f（x）与 x 轴，x=k的右侧所围成的面积；PXk：描述的是 y=f（x）与 x 轴，x=k 的左侧所围成的面积。从几何意义来看，画出概率密度的函数图像，用 x=k 把左右分开，使得左右和 x 轴围成的面积相等。k-2 时，左侧面积=0，右侧面积=1，不满足，排除；-2k-1，左侧面积不超过 1/4，右侧面积大于等于 3/4，不满足，排除；-1k0，左侧面积=1/4，右侧面积=3/4，不满足，排除；0k1，左侧面积小于 1/2，右侧面积大于等于 1/2，不满足，排除；当 1k2 时，左侧面积=1/2，右侧面积=1/2，满足。K 的取值范围可以为 1k2、1k2、1k2，等号可取可不取，对于连续型的概率，自变量在某点处的取值为 0。5.分布函数的计算（1）概率密度已知 一、随机变量基期分布 18 【注意】总结：分布律、分布函数、概率密度。【例 13】设随机变量 X 具有概率密度 f（x）=13 23，1 8，0，其他，求 X 的分布函数 F（x）。【解析】13.F（x）=（），变限积分是分段的，根据 x 的分段情况进行讨论，x 的分段情况决定 t 的分段情况，f（t）=13 23，1 8，0，其他，F（x）=（），t（，x）。x 的分段情况和 t 的分段情况有异曲同工之妙，讨论 x 的取值：（1）当 x1 时，t（，x），画图分析，t1，f（t）=0F（x）=00=0。（2）当 1x8 时，分布函数一定右连续，写成 1x8 时，t（，x），画图分析，t 可能在小于 1 的部分，也可能在大于 1 的部分，分解为两部分，F（x）=（）=（）1+13 231=3 1。（3）当x 8时，画 图 分 析，F（x）=（）=01+13 2381+08=0+1+0=1。19 F（x）写成分段函数，即 F（x）=0，1，3 1，1 8，0，8 。【注意】F（x）=（），这是分段函数的变限积分，变限积分的分段情况和被积函数的分段情况一致，此时分段讨论，再结合数轴讨论。【小结】当 X 为连续型随机变量，若已知其概率密度求其分布函数，则根据概率密度的定义可知分布函数 F（x）=（）。（2）概率密度未知【注意】给实际的问题，让求解。【例 14】在半径为 R，中心在坐标原点的圆周上随机地投掷一点，求该点的横坐标 X 的分布函数 F（x）。【解析】14.中心在坐标原点的圆周上随机地投掷一点，求该点的横坐标 X的分布函数 F（x）=PXx，X 取值在（，x上的概率，X 的取值范围-R，R。（1）x-R，画图分析，F（x）=0。（2）xR，画图分析，F（x）=1。（3）-RxR，F（x）=PXx，根据弧度制角度求解，半径为 R，设图中一段为 x，圆周上某段弧长的比例 x/R=cos，=arccos，x 轴下方和 x 轴上方都有一段，2=2arccos，F（x）=PXx=（2-2arccos）/2=1-。最后，把分布函数写成分段函数。【小结】若概率密度未知，求解分布函数需要用定义法，步骤如下：20 写定义：F（x）=PXx；找范围：求出 X 的取值范围，当 x 大于等于 X 的取值范围的区间上限时，F（x）=l；当 x 小于 X 的取值范围的区间下限时，F（x）=0；求概率：当 x 在 X 的取值范围的区间内部时，结合条件求出 F（x）=PXx。【例 15】向直线上随机投点，已知随机点落入区间-1，2上的概率是等可能的，设随机点落入区间 I1=（-1，0内得 0 分，落入区间 I3=（1，2）内得 1分，落入区间 Ix=（0，x内得 x 分，试求所得分数 X 的分布函数。【解析】15.已知随机点落入区间-1，2上的概率是等可能的，无限个点、等可能，是几何概型。一维的，概率是长度之比。先看 X 的取值范围，随机点可能落在 I1=（-1，0内，可能落入区间 I3=（1，2）内，可能落在区间 Ix=（0，x内，不是标准的离散型。x0，1，F（x）=PXx。（1）x0，是不可能事件，F（x）=0。（2）x1，是必然事件，F（x）=1。（3）0 x1，落在 I2区间内，F（x）=PXx=PX（-1，x），直接解不等式，Xx；0 x1；-1X2，F（x）=x-（-1）/2-（-1）=+13。【注意】几何概型，一维长度之比；二维面积之比；三维体积之比。21 遇见不一样的自己 Be your better self