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李林老师考研图书仅在北航出版社出版考研数学 2 0 2 4预测套卷(数学三)李 林编著“李6”+“李4”几乎人手一册的考前宝卷!内容全新重写，含金量更高!重要提示：李林老师声明李林2 0 2 4 版6 套卷、4 套卷(俗称“李6”“李4”)仅在北航出版社出版，封面有李林老师的照片，而且正版书赠李林老师亲授课程，扫封面二维码、刮封面防伪码登陆北航出版社平台获取。其他任何非北航出版社出版的图书及资料都非本人所写，请广大考生注意甄别!扫码关注作者自媒体李林老师新浪微博扫码+刮防伤码看李林老师亲授课程X 京航空航天大著出版社地出账号：密码：B E I H A N G U N I V E R S I T Y P R E S S2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷(数学三)李 林 编著B E I H A N G U N I V E R S I T Y P R E S S法京航空航无大等出版社内 容 简 介本书即深受广大考研学子认可的李林4 套卷，俗称“李4”,是近年来几乎人手一册的考研数学必备参考书。本书专为参加全国硕土研究生招生考试且考数学三的考生编写，可用来检查考生考前阶段的复习效果，帮助考生积累临场经验，切实提高应试能力。本书包含4 套试卷，每套试卷的题型与题量与考研真题一致。本书设计的试题具有很强的预测性，能为考生带来巨大收获。本书与李林6 套卷(俗称“李 6”)配套使用复习效果更佳。图书在版编目(C I P)数据2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三/李林编著.-北京:北京航空航天大学出版社，2 0 2 3.1 2I S B N 9 7 8-7-5 1 2 4-4 1 8 8-0I.2.李.高等数学研究生一入学考试习题集 I V.O 1 3-4 4中国国家版本馆 C I P 数据核字(2 0 2 3)第1 7 6 6 7 0 号版权所有，侵权必究。2 0 2 4 考研数学终极预测4 套卷.数学三李林编著责任编辑 龚 雪黄北京航空航天大学出版社出版发行北京市海淀区学院路3 7 号(邮编1 0 0 1 9 1)h t t p:/w w w.b u a a p r e s s.c o m.c n发行部电话；(0 1 0)8 2 3 1 7 0 2 4 传真：(0 1 0)8 2 3 2 8 0 2 6读者信箱：b h z x f s 1 6 3.c o m 邮购电话：(0 1 0)8 2 3 1 6 9 3 6北京宏伟双华印刷有限公司印装 各地书店经销开本：7 8 7 1 0 9 2 1/1 6 印张：4 字数：1 0 7 千字2 0 2 3 年1 2 月第1 版 2 0 2 3 年1 2 月第1 次印刷I S B N 9 7 8-7-5 1 2 4-4 1 8 8-0定价：3 9.8 0 元若本书有倒页、脱页、缺页等印装质量问题，请与本社发行部联系调换。联系电话：(0 1 0)8 2 3 1 7 0 2 4前 言本书即深受广大考研学子认可的考研数学4 套卷(李林4 套卷，俗称“李4”),是本人为参加全国硕士研究生招生考试且考数学三的考生专门研发编写的，可用来检查考前阶段的复习效果，帮助考生积累临场经验，切实提高应试能力。本书包含4 套试卷，每套试卷的题型和题量与考研真题一致。在题目命制上，选择题、填空题着重考查对基础知识的正确理解与灵活运用，其中有少量综合性较强的题目；解答题则体现了考试的重点与难点。选择题、填空题与解答题均配有详细的解析。本书是本人根据多年考研数学辅导经验，深入研究命题规律，精心编制而成。希望考生独立完成 4 套卷，对尚未熟练掌握的内容与方法，及时查缺补漏，以便提高应试水平。本书设计的试题具有很强的预测性，希望能给考生提供切实的帮助。最后祝广大考生考出优良的成绩!金榜题名!李 林2 0 2 3 年 1 2 月目录考研数学终极预测4 套卷第一套1考研数学终极预测4 套卷第二套6考研数学终极预测4 套卷第三套 1 1考研数学终极预测 4 套卷第四套 1 6考研数学终极预测4 套卷第一套参考答案及解析 2 1考研数学终极预测4 套卷第二套参考答案及解析 3 0考研数学终极预测4 套卷第三套参考答案及解析 4 1考研数学终极预测4 套卷第四套参考答案及解析 5 2考研数学终极预测4 套卷第一套考研数学终极预测4 套卷第一套一、选择题：1 1 0 小题，每小题5 分，共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.设a(x)=t a n x-s i n x,(x)=1+x 2-T-x 2,(x)=?,s i n t d i,当x 0 时，将它们关于x 的阶数从低到高排列，正确的是A.a(x),(x),y(x).B.a(x),y(x),(x).C.y(x),(x),(x),D.(x),(x),y(x).2.设f(x)在 0,+上二阶可导，f(0)=0,f”(x)0,当0 a x x f(a).B.b f(x)x f(b).C.x f(x)b f(b).D.x f(x)a f(a).f 0,0)=0.H m-1,则正确的是3.设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义，且A.f(0,0),f;(0,0)均存在.B.f(x,y)在点(0,0)处不连续.C.f(x,y)在点(0,0)处可微.D.f(x,y)在点(0,0)处连续但不可微.4.设正项数列 a。,b,满足a,=1 n(a。+e)(n=1,2,),则下列选项中错误的是a。收敛，则b。收敛.2 0,发散，则2 6.A.若B.若发散.2 a.收效，则2 6:D.若2 6:发散，则2 a发散.C.若收敛.5.设3 维列向量?,a?,a?线性无关，矩阵A=(a)满足A?=?,A a?=?-a?,A a?=?-?,A?是a。的代数余子式，则A u+A?+A a=A.1.B.-2.C.2.D.3.6.设A 是m n 矩阵，m 0),且y(1)=1.(I)求y=y(x)表达式；()求y(x)在(0,+?的最大值.1 8.(本题满分1 2 分)a+&=K a 0,b 0)下，于点设函数f(x,y)=(x-1)2+y 2(y 0)在条件(是叠)处取得最小值，求a,b 的值.3李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三1 9.(本题满分1 2 分)1-m a x(2 x-x 2,1-y)d r d y.设D=(x,y)|0 x 1,0 y 1 ,计算2 0.(本题满分 1 2 分)设不恒为零的函数f(x)在 0,1 上有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=0,记M=m a x l f(x)1 ,证明：(I)至少存在一点(0,1),使得|f (E)l 2 M;(I I)|?=(x-D f(x)d x|2 M.4考研数学终极预测 4 套卷第一套2 1.(本题满分1 2 分)设二次型f(x?,x?,x g)=X 1 A X(A 1=A)经正交变换X=Q Y 化为b y 2+c 2 y ,其中，(I)求a,b,c 的值及矩阵A;()求可逆矩阵P,使得A+E=P P.2 2.(本题满分1 2 分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为n-a-n 0,f(x)=3 k x 2-x,6.司2.设1,则 f(x)在上的最大值为A.m a x(r(是),r().B.m a x(r(o),f(号).C.m a x(r(o),f(/F).D.m a x(f(k),f()3.设f(x)在 0,1 上可导，且f (x)1,则下列结论中正确的是(上有f a)f(去)0 时，在当r(去)0 1上有f(x)子当时，在r(去)0 时，在上有1 f(x)1 字当 0.r(去)0 时，在上有|f(x)l 当A.B.C.D.u4.设收敛，则下列选项中错误的是B.2A.易必收敛.必收敛.D.2c.2(-1)m,必收敛.必收敛.5.设.,A 是A 的伴随矩阵，r(A )=1,则下列选项中正确的是A.a+2 b=0 且b 0.B.a+2 b 0 且b=0.6考研数学终极预测4 套卷第二套C.a+2 b 0 且a=b.D.a+2 b 0 且a b.aA 是3 阶非零矩阵，且B A 1=0,k?,k?为任意常数，则方程组A X=0 的通解为7.设A 是3 阶实对称矩阵，二次型f(x?,x z,x?)=X 1 A X 经正交变换X=Q Y 后的标准形为y+2 y 2-y ,则二次型g(x?,x z,x?)=X 1 A*X 经可逆线性变换X=P Y 后的规范形为A.y+y 2+y .B.-y?-y 2+y .C.-y-y 2-y.D.y+y 2-y 2.8.设随机变量X 的分布函数为F(x)=0.3 0(x)+0.7(2),其中(x)为标准正态分布的分布函数，则 E X=A.0.3B.0.7C.0.5D.0.69.设(X,Y)服从二维正态分布N(0,0;1,1;0),则E(|X-Y|)=B.c.云D.A.0.1 0.设X?,X?,X,(n 1)相互独立，且均服从参数为的指数分布，(x)为N(0,1)的分布函数，则正确的是A|0)B.P|-0 c)o二、填空题：1 1 1 6 小题，每小题5 分，共3 0 分.1 1.设(1+a x s i n y+3 x 2 y 2)d z+(b x 3 y-x 2 c o s y)d y 为函数f(x,y)的全微分，则a+b=.f(0)=1,F(4)=f(2+y 3)d x d y U 0),则F 2(0)=_1 2.设f(x)连续，27李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三1 3.设平面区域D=(x y)|-y 1-x 2,o x 1,则D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积为_1 n+z a r c a n x-x-S a w n z*,I x|0,R 表示总收益；()若Q=8 0 0 0-8 P,求总收益最大时的需求量Q 与商品的价格.8考研数学终极预测 4 套卷第二套1 9.(本题满分1 2 分)I-(a+y)d r d y.设D=(x,y)|x 2+y 2 x+y ,计算2 0.(本题满分 1 2 分)设曲线y=f(x)=x*+n 2 x(n 为正整数),在其上点(1,1+n 2)处的切线与x 轴交于点S(a。,0),求幂级数的收敛域与和函数.9李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三2 1.(本题满分1 2 分)设二次型f(x?,x z,x?)=a x-a x 2+a x +2 x?x?与g(y?,y?,y?)=-y-y 2+a 2 y 2+2 y?y?的秩相等(a 0).(I)当a 为何值，存在可逆(非正交)线性变换X=P Y,将f(x?,x z,x?)化为g(y?,y?,y?),并求一个可逆矩阵P;()当a 为何值，存在正交变换X=Q Y 将f(x?,x?,x?)化为g(y?,y?,y?),并说明理由.2 2.(本题满分1 2 分)设随机变量X 的概率密度为f(x).当x 0 时，f(x)=0;当x 0 时，f(x)是f (a)+旨f(x)=0 的解.Y 服从参数为；1 9的指数分布(0),且X 与Y 相互独立.(I)求(X,Y)的概率密度f(x,y);()若(X?,Y?),(X?,Y?),(X。,Y,)为总体(X,Y)的一组简单随机样本，求的最大似然估计量,并计算E().1 0考研数学终极预测4 套卷第三套考研数学终极预测4 套卷第三套一、选择题：1 1 0 小题，每小题5 分，共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.设正项数列 x。),(y。满足e”=x,+e 2(n=1,2,)且l i m x。=0,则当n 时，A.y。是比x。高阶的无穷小.B.x,是比y,高阶的无穷小.C.y.与x。是等阶无穷小.D.x.与y。是同阶但不等价无穷小.2.设f (x)在 0,4 上连续，曲线y=f (x)与x=0,y=0,x=4围成如右图所示的三个区域，其面积S?,S?,S?满足S?S?S?,则下列选项正确的是y+y=f(x)S?04*S2S3A.f(1)f(3)f(4).B.f(4)f(3)f(1).C.f(3)f(4)f(1).D.f(4)f(1)f(3).3.设f(x)在 a,b 上可导，f(x)在x=a 处取得最小值，在x=b 处取得最大值，F(x)=?f(a)d i,x a,b ,则A.F”(a)0 且F (b)0.B.F”(a)0 且F (b)0.C.F*(a)0 且F”(b)0.D.F (a)0.I=?”d o”(e-e)r d r,4.设D=(x,y)|x 2+y 2 R 2,R 0 ,常数a 0,积分则A.I 0.B.I 0)的泊松分布，Y 服从参数为的指数分布，则p x y=1的充分必要条件是A.C o v(X+Y,X)=0.B.C o v(X-Y,X)=0.C.C o v(X+Y,Y)=0.D.C o v(X-Y,Y+X)=0.1 0.设二维随机变量(X,Y)N(0,1;1,4;1),则下列选项中正确的是A.P Y=-2 X+1 =1.B.P Y=-2 X-1 =1.C.P Y=2 X-1 =1.D.P Y=2 X+1 =1.二、填空题：1 1 1 6 小题，每小题5 分，共3 0 分.m ()=51 1.设函数y=f(x)由方程e 3+x=e c o s(x y)确定，则1 2.某工厂生产A、B 两种产品，产量分别为x,y 单位，总成本函数为C(x,y)=x 2+2 x y+3 y 2+2,若两种产品的销售价格分别为4 与8 时，产品能全部售出，则生产这两种产品可获得的最大利润为_f(a)=a r c t a n,n 为正整数，则 f ”(0)=.1 3.设u.1=?x 2 d x?c s e 2 y d y=.1 5.设,?,?,a?均为4 维列向量，A=(a,?,?,?),B=(,?,?,?),且|A|=4,|B|=1,则|A 1+B 1|=1 2考研数学终极预测4 套卷第三套f a)=,x(-,+),Y=2(X-E X),则1 6.设随机变量X 的概率密度为D Y=三、解答题：1 7 2 2 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(本题满分1 0 分)已知当x 0 时，I n(1-2 x+x 2)+a s i n x+b x 2 与-5 x 2 是等价无穷小，求a,b 的值.1 8.(本题满分1 2 分设f(x)在 0,a (a 0)上有二阶连续导数，且f(x)0,f(0)=0,f”(x)0,证明：?x f(x)d r 号a?f(a)d r.1 3李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三1 9.(本题满分1 2 分)设D=(x,y)|2 2 x 2+y 2 4,x 0,y 0 ,1-(c+y)f y d r d y.计算2 0.(本题满分1 2 分)设f(x)二阶可导，/(x)0 且l i m 2)=0,1曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的切线a.=l i m “(”(n 为正整数),在x 轴上的截距为u(x),记(I)求a。;?n o.()求级数的和.1 4考研数学终极预测4 套卷第三套2 1.(本题满分1 2 分)设正定二次型f(x?,x z,x?)=X 1 A X=2 x +a x i+a x -4 x?x s,在正交变换X=Q Y下的标准形为(y+y 2)+y ,其中A 是实对称矩阵，,0.(I)求正交矩阵Q;()求可逆矩阵P,使得A=P T P.2 2.(本题满分1 2 分设X?,X?,X。为来自总体X N(,o 2)的简单随机样本，X 为样本均值，z=|X?-X|.(I)求Z 的概率密度；()若Z?,Z?,Z,为Z 的简单随机样本，求的矩估计量.1 5李林 4 套卷之2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三考研数学终极预测 4 套卷第四套一、选择题：1 1 0 小题，每小题5 分，共5 0 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的1.设其中g(x)为有界函数，则 f(x)在x=0 处A.极限存在但不连续.B.连续但不可导.C.可导且f (0)0.D.可导且f (0)=0.(-2,)2.设f(x)=|x|,则f (s i n x)在内有A.可去间断点.B.跳跃间断点.C.振荡间断点.D.无穷间断点.3.设f(x)=x s i n x+(1+a)c o s x,则正确的是A.当a 1 时，f(0)为极小值.D.当a=1 时，f(0)为极小值.a.-1.2 2 a x+2+D x-0,则a x=4.设数列 a,满足C.e 2A.e 2.B.e D.e.5.设矩阵A x,B,E。为单位矩阵，且r(A)=s,r(B)=n,则下列齐次线性方程组有非零解的是A A x=0.B.x=0.c m x-0.n.x-0.6.设合同，则A.a=0.B.a 0.C.a 1.1 6考研数学终极预测4 套卷第四套7.设A 是3 阶实对称矩阵，=(-1,1,1)满足(A-2 E)a=0,且r(A)=1,k 1,k?为任意常数，则方程组 A X=0 的通解为A.k?(1,1,0)1+k?(1,-1,0)T.B.k?(1,1,0)1+k?(1,0,1).C.k?(1,1,0)1+k?(1,1,1)T.D.k?(1,1,0)1+k?(1,0,-1)T.P(x 1,Y 1,Y -1 =B.c.2D.章A.1.T=k|x,-n 1,者9.设X?,X?,X。为来自总体X N(,o 2)的简单随机样本，E T=,则k=A.B.c.D.1 0.设总体X 的分布律为P X=k =(1-p)-p(O p 1)和Y,Y?,Y。(n?1)分别为1 7李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三T=m+m-=2(x,-来自总体 X 和Y 的简单随机样本，X 与分别为其样本均值x r+2;-v,则方差D T=-三、解答题：1 7 2 2 小题，共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(本题满分1 0 分)l i m (a)-1=2,计算l i m(n s i n )(5)设f(x)在x=0 的某邻域内可导，且!1 8.(本题满分1 2 分)设D=x 2+y 2 t 2,t 0 ,f(t)有连续导数，且f u)=2 r u-+y d=d y+(I)求f(x);()当x 0,1 时，求曲线y=f(x)与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.1 8考研数学终极预测 4 套卷第四套1 9.(本题满分1 2 分)设f(x)满足f(x)+2 f 2(x)+f(x)=0,且f(0)=1,f 2(0)=0,a.=,f(a)d r.(I)求f(x)及a。;.I()求级数的和.2 0.(本题满分1 2 分)F(x)=2 x+f(x).设f(x)在 0,1 上可导，0 f(x)1,0 f (x)0)的指数分布，记X=m i n(X?,X?),Y=X+X?(I)求X 的分布函数与概率密度；()求Y 的概率密度f y(y),并计算 E Y.2 0考研数学终极预测 4 套卷第一套参考答案及解析考研数学终极预测4 套卷第一套参考答案及解析一、选择题1.答案 D解析当x 0 时，有a(x)=t a n x-s i n x=t a n x(1-c a s x)三，B(x)=T+x 2-1-X=+P+-x,(x)=?s n d t =-c o s t|.-1-c o s(1-c o s x)1-2 ,故 D 正确，2.答案BF(a)=1 q 2)a 0),则解析令F ()=a f(c)=f a)_ s f(a)-(r q)-f o)-f)f -a)F.其中0 x b.由f”(x)0,可知f (x)单调递减，故 F (x)g),从而F(x)单调递减，于是有：,即b f(x)x f(b),B 正确.3.答案 D-1 可知，-1+0(-0,即解析由1f(x,y)=x 2+y+o(p)(p=x 2+y 2),从而l i m f(x,y)=0=f(0,0)故f(x,y)在点(0,0)处连续，由f;(o.o)-m f a 0)-f(0.0)-m+a(=)-m知 f/(0,0)不存在，同理，f,(0,0)也不存在，故f(x,y)在点(0,0)处不可微.D 正确。2 1李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三4.答案B解析由a,=l n(a,+e*)可知，e*=a,+e,故e*-e=a,0,从而a?b,0.2 a.收效时，2 6.由比较审敛法可知，当收敛，排除 A.当2 n.发散时2 6不一定发散，故选 B.a.=5,则2 a.-若取发散.由e=a,+e 可得，b,=l n(e-a,)=I n(c 2-t).l m(e-)=1 n(c 3-+1-1)e-7-1.当n?e 2-1=+()+)又因为收敛，2 b.从而，收敛.2 a对于C,由收敛可知，l i m a。=0.当n 充分大时，|a。|=a,1,故a?b?0 可知，收敛，排除 C.选项 D 是选项C 的逆否命题，由C 正确可知，选项D 正确.排除 D.5.答案D解析由已知可得A(?,?,?)=(?,?-?,?-a?)由?,?,?线性无关，则a.a a A e a-n m-m-a-w-由可知B 的特征值为?=?=?=1,也是A 的特征值，且|A|=1,从而A 的特征值为l A.,即?=?=?=1,故A n+A?+A g=t r(A )=?+?+?=3,D 正确.6.答案 D解析 由r(A)=A 的行秩=A 的列秩，以及A 的行向量组线性无关可知，r(A)=m.对于A,A 1 是n m 矩阵，r(A T)=r(A)=m,即A 1 的列向量组线性无关，故A 1 x=0 只有零解.排除 A.2 2考研数学终极预测 4 套卷第一套参考答案及解析对于B,A 1 A 是n n 矩阵，由r(A 1 A)r(A)=m n,故A 1 A x=0 必有非零解.对于C,A 是m n 矩阵，r(A)=m,故r(A)=r(A b?)=m n,即A x=b?必有无穷多个解.对于D,A 1 是n m 矩阵，A?x=b?有唯一解?r(A?)=r(A 1:b?)=m,但A”的列向量只是m 个线性无关的n 维向量(m 0,故C=-章令!y(x)=-5 x 2+x,是唯一极小值点，也是最小值点，于是a-2)1 2.答案?x 2 f(x)d x=?f a)d(x 2)解析=3 x 2 f x)|-?x 2 f a)d r-*+-(+-a-).2 4考研数学终极预测 4 套卷第一套参考答案及解析2(e-e 1)1 3.答案s a)-2+D T解析令,可求得其收敛域为(-,+),则s(x)=2,s a)=2-D t-n+D T-S).且 S(0)=0,S (0)=1,解初值问题1 S=S 0-1.s(x)=2(e 2-e).得+D r=S d)=2(e-e 1).故1 4.答案1 5 0 0 3-需求量Q 对价格P 的弹性为解析7 o=-p 合依题设，一吕-P l n 3,分离变量可得-(-l n 3)d P,两边积分得Q=C c e-”,由Q(0)=1 5 0 0 可得，C=1 5 0 0,故需求函数为Q=1 5 0 0 3-P1 5.答案 8解析由已知A A=|A|E=E,A 1=A*,|A*|=|A|3-1=1.又A E?(1)=B.故(A E?(1)*=B*,即E(1)A?=B ,|A-1+B|=|A +E?(1)A*|=|E+E j(1)|A*1.6 0 0-1 0)-B C-0-e-:?|A 1+B|=|E+E?(1)|=8.又因为故1 6.答案 解析似然函函数为2 5李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三o-f m m-(品):o x;0),分离变量化为-1 h a r,两边积分，得m|y l=?1-=d r=(m x-D d(号)-d m x-D-?:-d x=d n x-)+c;=l n x+1 m e?=I n e y=e?x 2=C x 2,(C=e?).故y=x 2(x 0).由y(1)=1 可知，C=1,故y=x 2=e 2*0(x 0).y-3 n-m()故x=e 是 y=在(0,+)上唯一的驻点，且为极大值点，所以y=x 在(0,+)上的最大值为y(e)=1 8.解析利用拉格朗日乘数法.2 6考研数学终极预测4 套卷第一套参考答案及解析L=(x-D 2+y 2+a(+方-1),令E则由y 0 及式可得，=-b 2,代入式可得x-a g 代入式可得y 2-b(-c-g)依题意可知:解上述方程组可得a-3,b-竖1 9.解析 当2 x-x 2=1-y 时，有y(x-1)2+(y-1)2=1.1故(x-1)2+(y-1)2=1 将D 分为D,与D?,如右图所示.于是D?m/-7 1-y-l 2 2,C)bD,O11-u-y a x d y+a x-z d-a y而(a-y)d r d y=?d y?。(-y)d-?(-y)(1-z y-y )d y=?(a-y)d y-?(a-y)2 y-y d y-2-2?2-y)2 y-y d y=2-2 y-y d(2 y-y 1)x2 7李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三=2-(2 y-y 2)|=2-=,v a x-?a d y-?z x-F d y=?2 x-x 1-(1-Z x-x 2)d r=?(2 x-x 2)d r=(x 2-x 2)|。=3,故1=6+号=62 0.解析(I)由f(x)0,f(0)=f(1)=0 可知，M 0,且|f(x)|在(0,1)内取得最大值M,不妨设|f(x o)|=M,x。(0,1);若x?(0.去),则由拉格朗日中值定理，存在?(0,x。)C(0,1),使得I r()|-|?)=6|-2 M.若x?),由拉格朗日中值定理，存在?(x。,1)C(0,1),使得1 r(c)=|/V=(t|-1 2 M.综上所述，至少存在一点(0,1),使得|f ()l 2 M.()由于?x(x-1)F()d z=?x(x-1)d f (x)=(x 2-x)f (x)|。-?(2 x-)f 2(x)d x=-?(2 x-1)f (x)d z=-(2 x-1)f(x)|。+2?f(x)d x=2?f(x)d x,?x(a-D f a)d x|-2|?f(a)d z|2?|f(x)|d x2?M d x=2 M.故2 1.解析(I)由Q 是正交矩阵可知，Q 的列向量是两两正交的单位向量，故有()+()-1.)-1.()2+()=12 8考研数学终极预测4 套卷第一套参考答案及解析解得b=1,c=2,a=1.当a=1 时，Q 的第1 列与第3 列不正交，故a=-1.所以，a=-1,b=1,c=2.依题设可得，Q 1 A Q=d i a g(0,b,c 2)=d i a g(0,1,2)=A,故A=Q A Q 1=Q A Q 1()由(I)可知a u+e 0-A+E-?3x 1(A+E)x-Y y +2 y?+3 y?即令,即记作Y=P?Z,则x?(A+E)x X-Q P z +x 2+x .令P?=Q P,则P(A+E)P?=E,从而A+E=(P I)-1 P?1=(P Z)P Z.令P=P z 1,则A+E=P 1 P,其中P=P 2 1=(Q P)-1=P-Q-1=P-Q 12 2.解析2 0温意0_ 33(1)f x(x)=?f c y d y=2?-x 2-y)d y-a-x)-y u y2 9李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测 4 套卷.数学三-(a-x 2 3-a-x 2)=3-x 1),l x|1,故、1 k 1同理，可求得h o-0-)y由于f x(x)f y(y)f(x,y),所以X 与Y 不相互独立.()由E X=?“x f x(x)d x=,x 3(1-x 2)3 d r=0,E(x Y)=?x y f(x,y)d r d y-y-x 2-y)d r d y=0.(利用被积函数关于x,y 均为奇函数).所以，C o v(X,Y)=E X Y-E X E Y=0,从而p x y=0.()当z 0 时，Z=X 2+Y 2 的分布函数F z(z)=0.当0 z 1 时，F?(z)=P Z z =P(X 2+Y 2 x-f a,y)d x d yx 2+y 2 x 2=?d o?。2 1-r 2)r d r=2 x 2-x .当z 1 时，F?(z)=1.故Z 的概率密度为r,e)-F(o)-:-1 考研数学终极预测 4 套卷第二套参考答案及解析一、选择题1.答案 Ci m?-1,解析条件1,只能证得f(x)在x=0 的去心邻域内有定义，且存在极限，不3 0考研数学终极预测4 套卷第二套参考答案及解析i m n=1能证得f(x)在x=0 处连续与可导，故由可得，l i m f(x)=0.C 正确.2.答案Bx-F.解析 在(0,+)上，令f (x)=k x 2-1=0,得当x 0.)时，f(a)0,故/(尽)0.号.是f(x)的极小值点，f(x)在上没有极大值点，所以它在上只m a x(f(o),f(是)能在端点处取得最大值，即最大值为,B 正确.3.答案B解析由拉格朗日中值定理可得r(3)-r(?)=f(e)(4-2),(云，),r(2)+(号).r(?)-r()=f(p)(2-+),n(去云),r()-+r(去).即即r()0 时，f(),由f (x)1 可知，f(x)单调递增，故当,从而在.上有f(x)f(2),正确.6.引当f(去)0 时，r()-,上有f(x)f()0),故由-及A B 1=0,知B”的列向量是A X=0 的解，于是A X=0 的通解为k?(1,0,0)1+k?(2,1,0)1,B 正确.7.答案 B解析 由f(x?,x z,x g)=X 1 A X 经正交变换X=Q Y 后的标准形为y 2+2 y 2-y 可知，A 的特征值为1,2,-1,|A|=-2.A 的特征值为A=-2,2=-1,4=2.即 X 1 A*X 的正惯性指数为p=1,负惯性指数q=2.故B 正确.8.答案 B解析由已知可得，X 的概率密度为3 2考研数学终极预测4 套卷第二套参考答案及解析f(x)=F (x)=0.3(x)+0.7(2)其中，(x)为N(0,1)的概率密度，故E X=?x f(x)d x=?0.3 x g(x)d r+?0.7 x p(=|)d r=0.3?x p(x)d r+0.7?(2 t+1)g()d r=0.3 0+0.7 2?1 4)d t+0.7()d=0.7 1=0.7,其中2 1=t,B 正确.9.答案 C解析 由已知，p x y=0,故X 与Y 相互独立，且X N(0,1),Y N(0,1).记Z=X-Y,则Z N(0,2),故E X-Y D=?l=|d:s e d e-d(e-C 正确，1 0.答案 D衍 由已知可得，E X,-,D X,-是，,根据独立同分布的中心极限定理，有,-D 正确.二、填空题1 1.答案 0解析由已知可得d f(x,y)=(1+a x s i n y+3 x 2 y 2)d x+(b x 3 y-x 2 c o s y)d y,则f =1+a x s i n y+3 x 2 y 2,f =b x 2 y-x 2 c o s y,f”,=a r c o s y+6 x 2 y,f =3 b x 2 y-2 x c o s y,3 3李林4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测4 套卷.数学三由f”,=f”,可得a x c o s y+6 x 2 y=3 b x 2 y-2 x c o s y,故a=-2,b=2,a+b=0.1 2.答案2 解析采用极坐标，有F(a)=?“d o?f(r 2)r d r=2 f(c 2)r d r,F (t)=2 t f(t 2),F (0)=0,故F 2(o)-i m F O-F-i m 2 m/=2 x f(0)=2 2(2 i n 2-3)1 3.答案y=1=z=-1+z+1y+1=7 4 1,即y解析由已知，1y=/1-x是以x=-1,y=-1 为渐近线的双曲线.平面区域 D 如右图所示，则V=2 x?x(I-x 2-)d x0=2 r(x T-x 2 d x-?1-d x)1=2 x?T-x d a-x 2)-?(-x+1+-)d r-2 m 2 a-x)*|+?r d x-?,+-d i-2 x 3+-2(-1 m 2)-2(2 1 n 2-6)m+1 4.答案f(x)=-I n=+2 a r c t a n x-x,则解析记r(x)=+(+x+1=)+-1-x-1=9 x*,故f(a)=f(a)-f(o)=?r u o d=2+l x|1.a w n=4 m+T于是3 4x考研数学终极预测4 套卷第二套参考答案及解析1 5.答案1 6解析由已知可得，A 的特征值为1,2,1.由A 2=2 A B+E 可知，A(A-2 B)=E,故A与A 2 B 互为逆矩阵，从而有A(A-2 B)=(A-2 B)A,即 A B=B A,故|A B-B A+2 A|=|2 A|=2|A|=8 1 2 1=1 6.3-1 6.答案解析设该人投篮次数为X,由已知可知，每次命中率为p(O p 1(合去),故p=3-5.p(x=1)1,与分布律的性【注】此题若认为P X=3 =p(1-p)2,则会出现质矛盾，这是由于规则是每人最多投3 次，投3 次仅表明前2 次未投中，不能说明第3 次是投中还是没有投中.三、解答题=y(+z)e”,等式两边对x 积分有1 7.解析 由已知可知，f(x,y)=?y(l+x)e d x+q(y)=y?e d(x-y)+?x e d:+p(y)=y(c +x e -?e d r)+q(y)=y(e?￥+x e?Y-e*)+(y)=x y e +(y).由f(1,y)=y e 1*可得，(y)=0,故f(x,y)=x y e 1-.Y;=c +)=0.+y=0.由可得，3 5李林 4 套卷之：2 0 2 4 考研数学终极预测4 套卷.数学三=0;=.”即f”,=e?-(2 y+x y),f ,=e-(-y-x y+1+x),f?=e-(x y-2 x).对于点(0,0),A=0,B=1,C=0,A C-B 2=-1 0,B=0,C=e 2,A C-B 2=e 1 0,故f(-1,1)=-e 2 为极小值.1 8.解析(I)由已知可得，Q=f(P)的反函数为P=f-1(Q),则f (P)=(g TR=R(Q)=f-1(Q)Q,a g-F(Q)a =f (Q)Q+F(Q)1总收益为故-7(p)Q+F(Q)一噩Q+P-噩+-(+)-0.D 0.当-1 E,()由(I)可知，当E a=-1 时，当E a -1 时，0.0 时，故当需求价格弹性 E?=-1 时，总收益取得最大值.d p-8.由Q=8 0 0 0 8 P 可得当E?=&d p-8 0 o=B P-1 0 0 0 p=-1 时，P=5 0 0,此时，总收益最大，需求量为Q=(8 0 0 0-8 P)|=4 0 0 0.【注】()也可以用如下解法：总收益R=R(Q)=Q P=1 0 0 0 Q-3 Q 2.由R(Q)=1 0 0 0-Q=0 可得，Q=4 0 0 0.R”(Q)=-+0,1又因为故当Q=4 0 0 0 时，总收益最大，P=1 0 0 0-3 0|。=5 0 0.此时价格为3 6考研数学终极预测4 套卷第二套参考答案及解析(x-2)+(y-2)1 9.解析 由x 2+y 2 x+y 可得，令1-|(a+y)d r d y-?d o?(云+r o s o)+(合+r s i n o)r r则-?d o (+r c D+r s i n O+r s i i o)r d r-?(x 2+c o 0+s i n+s o)|d D=?+s)g(s i n O+c o s 0)+s i?d-+(s i n 0-c o s O)|+(-c o s 2 0 d 0-G+1 6-1 62 0.解析由f(