21.第十三章——幂级数1+考研数学李振（笔记）（2025考研系统班图书大礼包·数学）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第十三章幂级数 1（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.03.27粉笔考研官方微信1第十三章第十三章幂级数幂级数 1 1（笔记笔记）【解析】1.积分判别法：设函数 f（x）在N，+）上非负且单调减少，其中 N 是某个正整数，令 an=f（n），则级数n=1an?与反常积分N+f（x）?dx 同敛散，推导过程见 PPT。2.积分判别法是 2021 年新大纲新增内容，但是考研没有考查过，知道定理即可，如果涉及，基本是直接出题。【注意】本节课数二听课有好处，完全不听对考研也没有影响，它属于数一、2三的内容，听课对于超纲的题目可能有所帮助，但是概率比较低，对于数二考试是不会直接考查的。【解析】7.对于广义 P 级数，P1，收敛；P1，发散；P=1，q1，收敛；P=1，q1，发散，具体证明也是通过积分判别法。本题可以借助积分判别法证明。【注意】1.正项级数判别法使用范围：级数的通项中正向和负向有一项为有限项。2.一般项级数：通项中，正向和负向都是无穷多项。【解析】一般项级数：正、负项都是无穷多项的级数称为一般项级数，特别地，若级数各项的正、负号是交错的，则称该级数为交错级数。我们常用n=1（?31）nun来表示交错级数，其中un称为交错级数的正项部分。【解析】绝对收敛与条件收敛：设=1?为一般项级数，若由该级数各项的绝对值组成的新的级数=1|?收敛，则称该级数绝对收敛，若级数=1?收敛但非绝对收敛，则称级数=1?条件收敛。【注意】41.绝对收敛收敛，即若n=1|un|?收敛，则=1?收敛（绝对收敛的级数必收敛）。2.一个收敛的级数，要么绝对收敛，要么条件收敛，要理解绝对值收敛和条件收敛是互斥关系。3.一般项级数的判断：先加绝对值变成正项级数（变为正项级数），判断是否绝对收敛，若绝对收敛，则判别到此结束，若不绝对收敛，再判断级数本身是否收敛，即是否条件收敛。【解析】1.关于交错级数的收敛，有如下莱布尼茨判别法：如果交错级数n=1（?1）nun（其中un称为交错级数的正项部分）满足条件：（1）unun+1（n=1，2，3，）；（2）limnun=0；则级数n=1（1）nun?收敛。2.总结：un单调递减，趋于 0，交错级数收敛。【注意】判断交错级数的敛散性步骤：1.先加绝对值，判断是否绝对收敛。2.若不绝对收敛，一般再用莱布尼茨判别法判断是否条件收敛。3.若也不条件收敛，则发散。5【解析】8.n=1un2?=n=1ln（1+1n）?ln（1+1n），直接比阶数，n，ln（1+1n）ln（1+1n）1n，1n调和级数发散，故n=1un2?发散；n=1Un?是交错级数，先加绝对值判断是否绝对收敛，n=1|un|?=n=1ln（1+1n）?发散，不是绝对收敛，再判断是否为条件收敛，ln（1+1n）为条件收敛，绝对收敛和条件收敛都是收敛，对应 C 项。【选 C】【解析】9.n=1n?sin1na正项级数，直接比阶数，n，nsin1nanna=1na12，级数要想收敛，a-121，a32，D 项满足。n=11n2a?发散，意味着 2-1，61，结合莱布尼茨判别法，1n2a，2-0，满足单调递减趋于 0，2，取交集为 D 项。【选 D】【注意】n=1（1）nnp?的敛散性：当 p1 时，绝对收敛；当 0p1 时，条件收敛；当 p0 时，发散。【注意】级数考查大题，10 道题中有 8 道题是幂级数，考试对于常数项级数难度比较大，考试更多的是幂级数，幂级数整体命题趋势比较固定，且整体的得分率比较高。【注意】71.幂级数收敛半径和收敛域的计算是小题，大题主要是幂级数求和和展开。2.傅里叶级数是数学一的单独考点，数三同学不需要学习，傅里叶已经连续考查两年（2023 年、2024 年），2025 年考查概率极低。3.数二不考查级数，如果知道级数，对于超纲题做题会比较快，如果真的要想考查级数，也会通过极限的问题转化为数列极限。4.收敛半径和收敛域整体难度值比较高（平均得分率比较简单），大题的得分率比较低，但是区分度特别大，得分前 30%与后 30%差距比较大，说明只要稍微学习，基本可以学会。【解析】函数项级数：若给定一个定义在区间 I 上的函数序列un（x），则由这个函数列构成的表达式n=1ux（x）?=u1（x）+u2（x）+ux（x）+，称为定义在区间 I 上的函数项级数。【注意】常数项级数：通项是常数，例如调和级数。8【解析】1.取定 I 中任一点 x0，n=1ux（x0）?就成为一个常数项级数，若该级数收敛，我们就称 x0是函数项级数的收敛点，否则就称它为函数项级数的发散点，函数项级数所有收敛点组成的集合称为函数项级数的收敛域。2.对收敛域中任意一点，由于级数都收敛，因此该级数确定了收敛域上的一个函数，称为函数项级数的和函数，记作 s（x）=n=1un（x）?=u1（x）+u2（x）+un（x）+。3.注意：函数项级数的和是一个函数，和函数的定义域为原函数项级数的收敛域。4.整个函数项级数围绕收敛域的计算、求和、展开。【解析】1.幂级数：形如n=1un（x）?=n=1an（x a）n?的函数项级数称为幂级数。92.幂级数可以看成是多项式的推广，对于幂级数考试主要有三个要求：一是收敛半径及收敛域的计算；二是幂级数展开；三是幂级数求和。【解析】1.阿贝尔定理：若幂级数n=1an（x a）n?在 x=x0处收敛，那么对于满足|x-a|x0-a|的一切点 x，幂级数n=1an（x a）n?都绝对收敛；若幂级数n=1an（x a）n?在 x=x0处发散，则对于满足|x-a|x0-a|的一切点 x，幂级数n=1an（x a）n?都发散，具体证明见 PPT。2.由阿贝尔定理可以得出：不考虑区间端点，幂级数的收敛域一定关于中心点 x=a 对称。3.通过阿贝尔定理，可以把收敛域分为三种情况。（1）幂级数在一点处收敛，只在 x=a 处收敛，收敛域单独一个点，即 x=a。（2）收敛域是全体实数。（3）所有的点到中心点的距离比 R 小都收敛，比 R 大都发散，R 称为收敛10半径。【解析】收敛半径与收敛域：若幂级数n=1an（x a）n?不是仅在 x=a 处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个确定的正数 R，当|x-a|R 时，幂级数绝对收敛；当|x-a|R 时，幂级数发散；当|x-a|=R 时，幂级数可能收敛也可能发散，此时正数 R 通常叫作幂级数的收敛半径。【解析】对于幂级数n=1an（x a）n?，它的收敛域有如下三种情况：1.幂级数n=1an（x a）n?仅在 x=a 处收敛，此时幂级数的收敛半径为 0，收敛域为a。2.对于任意的实数 x，幂级数n=1an（x a）n?都收敛，此时幂级数的收敛11半径为+，收敛区间以及收敛域都是（-，+）。3.幂级数n=1an（x a）n?的收敛半径为 R，收敛区间为（a-R，a+R），注意收敛区间一定是开区间，然后验证收敛区间端点处的敛散性，从而得到收敛域，也就是该幂级数的收敛域就只可能是（a-R，a+R）、a-R,a+R）、（a-R,a+R、a-R,a+R四种中的一种。【解析】1.在 x=0 处收敛，可以得到收敛半径的范围，已知收敛点，意味着收敛点到中心点的距离一定比收敛半径大，离中心点越近，越可能收敛。0 到-2的距离一定比收敛半径 R 小，可得 R2；在 x=-4 处发散，-4 到中心点-2 的距离收敛半径，-4 到-2 的距离也是 2，得到 R2，综上 R=2，以上两个级数收敛半径是一样，只是把中心点进行平移而已，n=0an（x 3）n?的收敛区间为（1，5），然后验证两个端点敛散性，求收敛域，x=1 时，n=0an（2）n?发散；x=5时，n=0an（2）n?收敛，左端点发散，右端点收敛，收敛域为（1，5。12【注意】已知一个点，可以得出收敛半径的范围。1.若=1（）?在 x=x0处收敛，则|x0-a|R。2.若=1（）?在 x=x0处发散，则|x0-a|R。3.若=1（）?在 x=x0处条件收敛，则|x0-a|=R。【解析】幂级数的求解方法主要是比值和根值判别法，根据比值判别法，后一项比前一项的绝对值小于 1，收敛；或根据根值判别法，让n=1（x a）n?开n 次方。13【解析】计算n=1an（x a）n?收敛域的一般步骤：1.先用比值审敛法或者根值审敛法计算出=limn|an+1an|或=limnn|an|，收敛半径 R=1，一般来说，an中有阶乘，则利用比值审敛法，an中无阶乘但有 n 次幂，用根值审敛法。2.写出收敛区间（a-R，a+R）。3.验证端点处的收敛性，从而得到收敛域。4.若=+，则 R=0无收敛区间，收敛域a；若=0，则 R=+收敛区间均为（-，+）。1415【解析】2.（1）任意多项式开 n 次方的极限都等于 1，且没有阶乘，用根值审敛法，写出收敛区间，验证端点处的敛散性，从而得到收敛域。注意乘以非0 常数，不改变敛散性。（2）有阶乘，用比值审敛法。（3）没有阶乘，优先用根值审敛法。（4）方法一：比值法，让后一项比前一项的绝对值小于 1，解出收敛区间，验证端点处敛散性，从而得到收敛域，这种级数叫做缺项级数，只有偶次幂，没有奇次幂。方法二：根值法，x 是多少次方，对应就开多少次。16【注意】对于收敛域、收敛半径，计算时，常见结论把握好，计算是比较方便的。1.任意多项式，开 n 次方的极限都等于 1。2.开 n 次方，快速口算。3.对于缺项级数有两种计算方法：（1）根值法：它是多少次，对应就开多少次。（2）比值法：让后一项比前一项的绝对值小于 1，解得收敛区间。【解析】3.多一个 n 的多项式，对收敛半径 R 没有影响，即 R 不变，收敛域可能改变，端点处的敛散性可能改变；x 次数的增减，R 不变，收敛域也不变；平移，R 也不变，对应收敛域平移即可。17【注意】1.平移：整体收敛域对应平移即可，收敛半径和对应端点处的敛散性不变。2.次数增减变化：对应收敛域不变。3.系数变化：如果乘/除一个多项式，对应的收敛半径不变，端点处的敛散性有可能改变。【解析】和函数的连续性：幂级数的和函数在收敛域内一定连续，幂级数是多项式的推广，在后期算个别点处的和函数有所帮助。18【解析】1.逐项求导定理：幂级数 s（x）=n=0an（x a）n?在收敛域区间内可导，且 s（x）=n=1nan（x a）n1?。2.注意：（1）逐项求导时注意下标 n 的变化，若幂级数的第一项是常数，则求导后下标需要变化；若幂级数的第一项不是常数，则求导后下标不需要变化，如 s（x）=n=1an（x a）n?，s（x）=n=1nan（x a）n1?。（2）该性质在后续幂级数的展开及求和时用的比较多。（3）逐项求导不改变收敛半径，但端点处的敛散性可能发生改变。19【解析】逐项积分定理：幂级数 s（x）=n=0an（x a）n?在收敛区间内可积，且0 xs（t）?dt=0 xn=0an（t a）n?dt。【注意】1.该性质在后续幂级数的展开及求和时用的比较多。2.逐项积分不改变收敛半径，但端点处的敛散性可能会发生变化。20【解析】幂级数下标 n 的变化：对于处理抽象的幂级数使用较多。【注意】这部分数二同学简单了解即可，强化阶段可以不听。21遇见不一样的自己Be your better self