18.2025周洋鑫考研数学零基础提前学讲义（补·不定积分）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 最新版 2025 考研数学周洋鑫 零基础提前学补 微博/b 站/小红书考研数学周洋鑫 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 2 【补】提前学 8 不定积分【考点【考点1】原函数原函数的定义的定义 若对Ix，有()()Fxf x=，则称()F x为()f x在区间I上的一个原函数【例【例8.1】（1）证明：2ln(1)xx+是211x+的一个原函数；（2）证明：ln x是1x的一个原函数.【考点【考点2】不定积分不定积分定义定义 函数()f x在区间I上的全体原函数()F xC+（C为任意常数）称为()f x在区间I上的不定积分，记为()f x dx，即()()f x dxF xC=+【例【例8.2】判断下列不定积分是否正确.（1）21sin cossin2xxdxxC=+；（2）()221ln11dxxxCx=+.（3）()()fax dxf axC=+.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 3 【例【例8.3】已知()sinxfx dxeC=+，则()f x=.【例【例8.4】利用不定积分定义求下列不定积分.（1）3x dx=.（2）1dxx=.（3）xa dx=.（4）xe dx=.（5）sin xdx=.（6）cos xdx=.（7）2sec xdx .（8）2csc xdx=.（9）sectanxxdx .（10）csc cotxxdx=.（11）211dxx .（12）211dxx+=.（13）221dxxa+.（14）221dxxa .2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 4 【考点【考点3】不定积分不定积分运算运算性质性质（1）数乘：()()kf x dxkf x dx=（2）加减法：()()()()f xg xdxf x dxg x dx=.【考点【考点4 4】基本积分表基本积分表（不定积分运算基础，必记！）（不定积分运算基础，必记！）1Cxdxx+=+11()，实常数1 2+=Cxdxxln1 3+=Caadxaxxln1()1,0aa 4.Cedxexx+=5+=Cxxdxcossin 6+=Cxxdxsincos 7Cxxdx+=coslntan 8Cxxdx+=sinlncot 9Cxxxdx+=tanseclnsec 10Cxxxdx+=cotcsclncsc 112sectanxdxxC=+122csccotxdxxC=+13Cxxdxx+=secsectan 14Cxxdxx+=csccsccot 15+=Caxxadxarcsin22()0a 16Caxaxadx+=+arctan122 17221ln2dxxaCxaaxa=+()0a 18()2222lndxxxaCxa=+()0a 182222lndxxxaCxa=+()0a 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 5 【例【例8.5】求不定积分()33sinxxex dx+.【例【例8.6】求不定积分211x xdxx.【例【例8.7】求不定积分()21xdxx.【例【例8.8】求不定积分()223xxdx.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 6 【例【例8.9】求不定积分2tan xdx.【例【例8.10】求不定积分21 cos1 cos2xdxx+.【例【例8.11】求不定积分221(1)dxxx+.【考点【考点5】第一第一类类换元积分法换元积分法（凑微分法凑微分法）1.内容 已知()d()f uuF uC=+，且可导，则()()d()d()fxxxfxx=()()d()C()Cuxf uu F uFx=+=+.()x2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 7 2.常见的凑微分形式（1）1()d()d()f axbxf axbaxba+=+（2）21111()d()dfxfx xxx=（3）1()d()d2fxxfxxx=（4）e(e)d(e)dexxxxfxf=（5）11()d()d,0nnnnxf xxf xxnn=【例【例8.12】求下列不定积分.（1）sin2xdx （2）57xedx 【例【例8.13】求下列不定积分.（1）21sinxdxx （2）221secxdxx 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 8 【例【例8.14】求下列不定积分.（1）cosxxee dx （2）ln xdxx 【例【例8.15】求下列不定积分.（1）xedxx （2）sin2121xdxx 【例【例8.16】求下列不定积分（1）21xx dx （2）21xdxx+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 9 【例【例8.17】求下列不定积分（1）2cos xdx （2）3sin xdx.【考点【考点6】第二第二类类换元积分法换元积分法 已知()xt=可导，且，若()()d()CftttG t=+，则 1()()d()()d()C()Cxtf xxftttG tGx=+=+令.其中，1()tx=为()xt=的反函数.【例【例8.18】求不定积分29dxx.()0t2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 10 【例【例8.19】求不定积分21d4xx+【例【例8.20】211dxx x.【例【例8.21】计算不定积分d1xxx+.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 11 【例【例8.22】112dxx+.【考点【考点7】分部积分法分部积分法 【例【例8.23】求下列不定积分（1）e dxxx （2）2e dxxx 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 12 【例【例8.24】求下列不定积分（1）cos dxx x （2）2cosdxx x 【例【例8.25】求下列不定积分（1）ln dxx x （2）lnxxxdx 【例【例8.26】求下列不定积分（1）arctan dxx x （2）2arctanxxdx 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 13 【例【例8.27】求下列不定积分（1）ln xdx （2）arctan xdx