16.2025考研数学基础考点精讲-高等数学电子讲义（前四章）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

目录 第一章第一章 函数、极限、连续性函数、极限、连续性.1 第一节 极限的概念.1 第二节 极限存在准则及重要极限.5 第三节 无穷小与无穷大.7 第四节 函数的连续性.9 第二章第二章 导数与微分导数与微分.13 第一节 导数的概念.13 第二节 求导法则.16 第三节 高阶导数.19 第四节 函数的微分.21 第三章第三章 微分中值定理及导数的应用微分中值定理及导数的应用.22 第一节 微分中值定理.22 第二节 洛比达法则.25 第三节 泰勒公式.26 第四节 单调性、极值及最值.28 第五节 曲线的凸凹性和拐点.31 第四章第四章 一元函数积分学一元函数积分学.34 第一节 不定积分的概念及性质.34 第二节 换元积分法.36 第三节 分部积分法.40 第四节 有理函数的积分.41 第五章第五章 定积分定积分.42 第一节 定积分的概念和性质.42 第二节 定积分的计算.45 第三节 反常积分.50 第四节 定积分的应用.54 第六章第六章 微分方程微分方程.58 第一节 微分方程的概念.58 第二节 一阶微分方程.58 第三节 可降阶的微分方程.60 第四节 线性微分方程解的性质及结构.61 第五节 常系数齐次线性微分方程.63 第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程.64 第七节 差分方程（仅数三）.66 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学.68 第一节 多元函数的概念.68 第二节 偏导数与全微分.70 第三节 多元复合函数的求导法则.73 第四节 隐函数的导数.75 第五节 多元函数的极值.76 第八章第八章 重积分重积分.79 第一节 二重积分的概念及性质.79 第二节 二重积分的计算.81 第九章第九章 无穷级数无穷级数.83 第一节 数项级数的概念及性质.83 第二节 正项级数.86 第三节 一般项级数.88 第四节 函数项级数.90 第五节 傅里叶级数(仅数一).94 第十章第十章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何.96 第一节 向量及运算.96 第二节 平面及其方程.99 第三节 空间直线及其方程.100 第四节 曲面及其方程、空间曲线.101 第五节 多元微分的几何应用.103 第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分.106 第一节 第一类曲线积分.106 第二节 第二类曲线积分.108 第三节 第一类曲面积分.111 第四节 三重积分.112 第五节 第二类曲面积分.115 第六节 斯托克斯公式.119 第七节 场论.120 1 第第一一章章 函数、极限、连续性函数、极限、连续性 第一节第一节 极限的极限的概念概念 一一、数列的数列的极限极限 1数列极限的定义数列极限的定义 设 na为一数列,如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式naa都成立，那么就称常数a是数列 na的极限，或称数列 na收敛于a，记为limnnaa=或者naa(n).(N定义)：lim0,nnaaNN+=，使得当nN时，恒有naa成立.【例 1】“对任意给定的(0,1),总存在正整数N,当nN时,恒有|2nxa”是数列nx收敛于a的【】(A)充分条件但非必要条件 (B)必要条件但非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 2数列极限的基本性质数列极限的基本性质(1)(唯一性)如果数列 nx收敛，那么它的极限唯一.(2)(有界性)如果数列 nx收敛，那么数列 nx一定有界，即：0M，使得n有Mxn.(3)(保号性)如果axnn=lim，且0a(或0a)，那么+NN，当Nn 时，有0nx(或0nx).(4)如果数列 nx收敛于a，那么它的任一子列也收敛于a.二、二、函数函数的的极限极限 1.x时，函数极限的定义时，函数极限的定义 设函数()f x当|x大于某一正数时有定义,如果存在常数A，对于任意给定的正数 2（不论它有多小），总存在正数X，使得当x满足不等式xX时,对应的函数值()f x都满足不等式()f xA，那么常数A就叫做函数()f x当x时的极限，记作lim()xf xA=或()f xA()x .(X定 义)：lim()0,0 xf xAX=，使 得 当|xX时，恒 有()f xA成立.2.0 xx 时，函数极限的定义时，函数极限的定义 设函数()f x在点0 x的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当x满足不等式00 xx时，对应的函数值()f x都满足不等式()f xA，那么常数A就叫做函数()f x当0 xx时的极限，记作0lim()xxf xA=或者()f xA(0 xx).(定义)：0lim()0,0 xxf xA=，使得当00|xx时，恒有()f xA成立.3.单侧极限单侧极限 左 极 限：左 极 限：0lim()0,0 xxf xA=，使 得 当00 xxx时，恒 有()f xA成立，记作0(0)f x 或0()f x.右右 极 限：极 限：0lim()0,0 xxf xA+=，使 得 当00 xxx+时，恒 有()f xA成立，记作0(0)f x+或0()f x+.小结：Axfxx=)(lim0Axfxfxxxx=+)(lim)(lim00.【例 2】当1x时,函数1211()e1xxf xx=的极限【】(A)等于2 (B)等于0 (C)为 (D)不存在但不为 3 4.函数极限的性质函数极限的性质(1)(唯一性)如果)(lim0 xfxx存在，那么它的极限唯一，即：若Axfxx=)(lim0，且Bxfxx=)(lim0，则BA=.(2)(局部有界性)如果Axfxx=)(lim0，那么0M和0，使得当00 xx时，有Mxf)(.(3)(局部保号性)如果Axfxx=)(lim0，且0A(或0A)，那么0，使得当00 xx时，有0)(xf(或0)(xf).【例 3】设()21()(1)lim21xf xfx=，则存在1x=的某去心邻域(1)oU，使得当(1)oxU时，有【】(A)()(1)f xf (B)()(1)f xf (C)()(1)f xf=(D)大小无法确定 三、三、函数极限的函数极限的运算法则运算法则 1.函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则 如果Axfxx=)(lim0，Bxgxx=)(lim0，则(1)BAxgxfxx=)()(lim0；(2)BAxgxfxx=)()(lim0(3)BAxgxfxx=)()(lim0(0,()0Bg x)；(4)BxgxxAxf=)()(lim0(0A).推论推论 1：如果)(lim0 xfxx存在，c为常数，则)(lim)(lim00 xfcxcfxxxx=.推论推论 2：如果)(lim0 xfxx存在，而n是正整数，则nxxnxxxfxf=)(lim)(lim00.【例 4】求极限22123lim32xxxxx+.【例 5】求极限22123lim32xxxxx+.【例 6】求极限2131lim2xxxxx+.4 【例 7】求极限323224lim321nnnnnn+.【例 8】求极限333lim(22)xxxx+.【例 9】求极限3131lim()11xxx.2.复合函数极限的运算法则复合函数极限的运算法则 设()yf g x=是由函数)(xgu=和)(ufy=复合而成的，()yf g x=在0 x的某去心 邻域有 定义，若0)(lim0uxgxx=，Aufuu=)(lim0且 在0 x的邻 域内0)(uxg，则00lim()lim()xxuuf g xf uA=.【例 10】求极限1402esinlim.|1 exxxxx+3.归结原理归结原理(函数极限与数列极限之间的关系函数极限与数列极限之间的关系)如果)(lim0 xfxx存在，nx为函数)(xf的定义域内的任一收敛于0 x的数列，且满足：0 xxn(+Nn)，那么相应的函数值数列)(nxf必定收敛，且)(lim)(lim0 xfxfxxnn=.【例 11】求极限211limln 1.nnnn+5 【例 12】试证明01lim sinxx+极限不存在.第二节第二节 极限存在准则及重要极限极限存在准则及重要极限 一、一、两边夹法则两边夹法则 1.数列的两边夹法则数列的两边夹法则 如果数列 nx，ny，nz满足：(1)nnnyxz(3,2,1=n)；(2)aynn=lim，aznn=lim，那么数列 nx的极限存在，且axnn=lim.【例 1】求22212lim()12nnnnnnnnn+.【例 2】设0a,0b,0c,求1lim()nnnnnabc+.2.函数的两边夹函数的两边夹法则法则 如果函数()f x，()g x，()h x满足：(1)当),(0 xUx时，()()()g xf xh x；(2)Axgxx=)(lim0，Axhxx=)(lim0，那么)(lim0 xfxx存在，且Axfxx=)(lim0.3.第一个重要极限第一个重要极限：1sinlim0=xxx【例 3】求0arcsinlimxxx.6 【例 4】求0tanlim.xxx 【例 5】求0tanlim.xarcxx 【例 6】求201 coslimxxx 二、单调有界准则二、单调有界准则 1.数列数列 单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列 nx必定存在极限.【例 7】设12x=,112()(1,2,)2nnnxxnx+=+=,证明：数列 nx收敛.【例 8】设11x=,11,1,2,1nnnxxnx+=+=+,证明：数列 nx收敛.并求其极限.2.第二个重要极限第二个重要极限：exxx=+10)1(lim或1lim 1xxex+=(1lim 1nnen+=).【例 9】设2lim8xxxaxa+=（），求a的值.7 第三节第三节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一、无穷小一、无穷小 1.无穷小量的定义无穷小量的定义 如果函数()f x当0 xx（或x）时的极限为零,那么称函数()f x为当0 xx(或x)时的无穷小.2.无穷小的性质无穷小的性质(1)有限个无穷小的和仍是无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍是无穷小.(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.【例 1】求极限23sinlim34cos5xxxxx+.3.极限与无穷小的关系极限与无穷小的关系：lim()xaf xA=+=Axf)(，其中lim0 xa=.【例 2】设0(3)lim2xfxx=，求0lim(2)xxfx.4.无无穷小的比较穷小的比较 设,是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且0则：(1)1lim=，称与是等价无穷小，记作：.(2)0lim=c，称是的同阶无穷小.(3)如果0lim=，称是的高阶无穷小，记作：)(o=.(4)如果=lim，称是的低阶无穷小.8(5)0lim=ck，称是的k阶无穷小.5.等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理 设在自变量x的同一变化过程中，1，1都是无穷小，而且1，1，如果11lim()f xA=，则11lim()lim()f xf xA=.6.常见等价无穷小常见等价无穷小 当0 x时 2 sin arcsin tan arctan ln(1)1,(1)1,11ln(0,1),1 cos.2xxxxxxxxexxaxa aaxx+【例 3】求极限2352limsin.53xxxx+【例 4】求极限01coslim(1 cos)xxxx+.【例 5】求极限2013sincoslim.(1 cos)ln(1)xxxxxx+【例 6】求极限30tansinlimxxxx.【例 7】求极限120ee+elimxxnxxxn+，其中n是给定的自然数.9【例 8】已知当0 x时,123(1)1ax+与cos1x是等价无穷小,则常数a=.二、二、无穷大无穷大 1.无穷大的定义无穷大的定义 设函数()f x在点0 x的某一去心邻域内有定义(或|x大于某一正数时有定义),如果对于任意给定的正数M（不论它有多大）,总存在正数（或者正数X）,只要x适合不等式00 xx（或者正数XM）,对应的函数值()f x都满足不等式()f xM,则称函数()f x为当0 xx(或)x 时的无穷大.2.无穷无穷小和小和无穷大的关系无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，如果)(xf为无穷小，且0)(xf，则)(1xf为无穷大.3.无无穷穷大与大与无界的关系无界的关系 无穷大量必是无界变量，无界变量未必是无穷大量，但无界变量必有一个无穷大的子列.【例 9】设0 x时,变量211sinxx是【】(A)无穷小 (B)无穷大(C)有界的,但不是无穷小量 (D)无界的,但不是无穷大 第四节第四节 函数的连续性函数的连续性 一、连续一、连续 1.函数函数)(xf在在0 x点连续的定义点连续的定义 设函数()f x在点0 x的某一邻域内有定义，如果00lim()()xxf xf x=，那么称函数()f x在点0 x连续.10 2.单侧连续单侧连续 左连续：左连续：若00lim()()xxf xf x=，则称()f x在0 x处左连续，即00()()f xf x=.右连续：右连续：若00lim()()xxf xf x+=，则称()f x在0 x处右连续，即00()()f xf x+=.小结：小结：函数)(xf在0 x处连续)()()(000 xfxfxf=+.【例 1】讨论ln(1),00,0()11,0 xxxxf xxxxx+=+在0 x=处的连续性.【例 2】设函数lncos(1),11 sin()21,1xxxf xx=，问函数()f x在1x=处是否连续？若不连续，修改函数在1x=处的定义使之连续.3区间上的连续性区间上的连续性 如果函数()f x在区间I内的每一点都连续，称函数()f x在区间I上连续，也称()f x为区间I上的连续函数.4.连续连续的性质的性质(1)连续函数的和、差、积、商(分母的函数值不等于零)是连续的.(2)反函数的连续性：若)(xfy=在区间I上单调且连续，则其反函数在相应的区间上单调且连续.(3)复合函数的连续性：若函数)(xgu=在0 xx=连续，且00)(uxg=，而)(ufy=在0uu=连续，则复合函数()yf g x=在0 xx=也连续.11(4)初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.(定义区间指包含在定义域内的区间)二、二、闭区间上连续的闭区间上连续的函数函数 1定义定义 如果函数()f x在区间(,)a b内的连续，且xa=处右连续，xb=处左连续，称()f x在闭区间,a b上连续，也称()f x为闭区间,a b上的连续函数，记作(),f xC a b.2.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(1)(有界性有界性与最值定理与最值定理)若函数)(xf在,ba上连续，则它在,ba上有界且一定能取到最大值和最小值，即：0K，使得,bax，有()f xK，以及在,ba上存在1，2使得mf=)(1，Mf=)(2，其中m，M分别为)(xf在,ba上的最大值和最小值.(2)(零点定理零点定理)设函数)(xf在,ba上连续，且0)()(bfaf，则),(ba使得0)(=f.(3)(介值定理介值定理)设函数)(xf在,ba上连续，且)()(bfaf，c是介于)(af和)(bf之间的一个常数，则(,)a b使得cf=)(.推论推论：若函数)(xf在,ba上连续，m，M分别为)(xf在,ba上的最大值和最小值，Mcm，则,ba使得cf=)(.【例 3】设)(xf在0,1上连续,且非负,(0)(1)0ff=,证明：0,1),使得()()flf+=,01l.【例 4】证明：方程sinxaxb=+有不超过ab+的正根,其中0a,0b.【例 5】设)(xf在,ba上连续,12naxxxb,证明：1(,)nx x,使得 12()()()()nf xf xf xfn+=三、三、间断点及其分类间断点及其分类 1间断点的定义间断点的定义 设函数()f x在点0 x的某去心邻域内有定义.如果函数()f x有下列三种情况之一：12(1)在0 xx=没有定义；(2)虽在0 xx=有定义,但0lim()xxf x不存在；(3)虽在0 xx=有定义,且0lim()xxf x存在,但00lim()()xxf xf x；则函数()f x在点0 x处不连续，而点0 x称为函数()f x的不连续点或者间断点.2间断点的分类间断点的分类(1)第一类间断点：00(),()f xf x+均存在.可去间断点：000()()()f xf xf x+=；跳跃间断点：00()()f xf x+.(2)第二类间断点：00(),()f xf x+至少一个不存在.无穷间断点：00(),()f xf x+至少有一个趋于而不存在；振荡间断点：00(),()f xf x+至少有一个是因振荡而不存在，但均不是.【例 6】求2cos,|1()2|1|,|1xxf xxx=的间断点并分类.【例 7】求11()1xxf xe=的间断点并分类.【例 8】求2(1)()lim1nnxf xnx=+的间断点并分类.13 第二第二章章 导数与微分导数与微分 第一节第一节 导数的概念导数的概念 一、导数一、导数 1.导数导数的概念的概念 设函数()yf x=在点0 x的某个邻域内有定义，当自变量x在点0 x处取得增量x（点0 xx+仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()yf xxf x=+。如果y与x之比当0 x 时的极限存在，则称函数()yf x=在点0 x处可导，并称这个极限为函数()yf x=在点0 x处的导数，记为0()fx，即00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx +=.也可记作0 x xy=，0ddx xyx=或0d()dx xf xx=.【例 1】设23()(e1)(e2)(e3)(e)xxxnxf xn=,求(0)f.【例 2】设函数()f x对任意x均满足等式(1)()fxaf x+=,且有(0)fb=,其中,a b为非零常数,则【】(A)()f x在1x=处不可导 (B)()fx在1x=处可导,且()1fa=()fx在1x=处可导,且()1fb=(D)()fx在1x=处可导,且(1)fab=【例 3】设函数()f x在区间内有定义,若当(,)时,恒有2()f xx,则0 x=必是()f x的【】(A)间断点 (B)连续而不可导的点 可导的点,且(0)0f=(D)可导的点,且(0)0f 14 2单侧导数单侧导数 左导数：左导数：若0000()()limlimxxf xxf xyxx +=存在，称()f x在点0 x处左可导，且极限值称为函数()f x在点0 x处的左导数，记作0()fx.右导数：右导数：若0000()()limlimxxf xxf xyxx+=存在，称()f x在点0 x处右可导，且极限值称为函数()f x在点0 x处的右导数，记作0()fx+.小结：小结：函数()f x在0 x点处可导的充分必要条件是()f x在0 x点处的左、右导数均存在且相等，即：)(0 xf 存在)()(00 xfxf+=.【例 3】设1e,0()0,0 xxxf xx=,则()f x在0 x=处的导数【】(A)等于0(B)等于1(C)等于2(D)不存在 【例 4】设21 cos,0,()(),0,xxf xxx g x x=其中()g x是有界函数,则()f x在0 x=处().(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导(D)可导 3.可导与连续性的关系可导与连续性的关系 若函数)(xfy=在0 x点可导，则它在0 x点连续，反之不成立.15【例 5】设e0,()sin2,0.axxf xbxx=+试确定,a b，使得()f x在0 x=处可导.【例 6】设()x在xa=处连续，讨论()|()f xxax=.在xa=处是否可导.【例 7】函数xxxxxf=32)2()(不可导点的个数是【】(A)3(B)2(C)1(D)0 二二、导导数的几何数的几何意义意义 函数)(xfy=在0 x点处的导数)(0 xf 在几何上表示曲线)(xfy=在点00(,)M xy处的切线的斜率，即tan)(0=xf,其中为切线的倾角.切线方程切线方程：)(000 xxxfyy=.法线方程法线方程：)()(1000 xxxfyy=.【例 8】设函数()f x满足0(1)(1)lim22xfxfx+=，求曲线()yf x=在点(1,2)处的法线方程.三、基本初等函数的导数公式三、基本初等函数的导数公式 1导函数的定义导函数的定义 若函数()f x在区间I内每一点处均可导，称函数()f x在区间I上可导.这时对于xI，都对应着()f x的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数()yf x=的导函数，记作y，ddyx或d()df xx，即0()()()limxf xxf xfxx+=.16 若函数()f x在区间(,)a b内可导，且在xa=处右可导，在xa=处左可导，称()f x在,a b上可导.2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)()0C =,(C为常数)；(2)1()xx=；(3)()lnxxaaa=(特殊地：(e)exx=)；(4)1(log)(0,1)lnxaaaxa=(特殊地：1(ln)xx=)；(5)(sin)cosxx=；(6)(cos)sinxx=；(7)2(tan)secxx=；(8)2(cot)cscxx=；(9)(sec)sec tanxxx=；(10)(csc)csc cotxxx=；(11)21(arcsin)1xx=；(12)21(arccos)1xx=；(13)21(arctan)1xx=+；(14)21(arccot)1xx=+.第二节第二节 求导法则求导法则 一、一、函数求导的四则运算法则函数求导的四则运算法则 如果函数)(xuu=及)(xvv=都在点x处具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x处具有导数，且(1)()()()()u xv xu xv x=；(2)()()()()()()u x v xu x v xu x v x=+；(3)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu=(0)(xv).【例 1】求下列函数的导数(1)44cossin8yxx=+；(2)e(sin2cos)xyxx=+；(3)322sin2xxxyx+=.(4)17 二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则 设函数)(xgu=在点x处可导，而)(ufy=在)(xgu=可导，那么复合函数()yf g x=在点x可导，且其导数为)()(xgufdxdy=或dydy dudxdu dx=.【例 2】设aaxaxayxaa=+，求.y 【例 3】设1sin1xyfx+=，求.y 【例 4】已知232,()arctan32xyffxxx=+，求0d.dxyx=三、反函数求导法则三、反函数求导法则 如果函数)(yfx=在区间yI内单调、可导且0)(yf，则它的反函数)(1xfy=在区间yxIyyfxxI=),(内可导，且11()()fxfy=或d1dddyxxy=.【例 5】若()yf x=与()xy=互为反函数,(4)1f=,(1)4f=,(4)1f=,(1)4f=,求(1),(4).18 四、四、参数方程参数方程所所确定函数的导数确定函数的导数(仅数一、数二仅数一、数二)1.定义定义 若参数方程()()xtyt=确定x与y间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为参数方程所确定的函数.2.参数方程所确定的函数的导数求法参数方程所确定的函数的导数求法 如果函数)(tx=具有单调连续反函数)(1xt=，且此反函数能与函数)(ty=构成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数)(ty=和)(1xt=复合而成的函数1()yx=.若)(tx=和)(ty=都可导，而且0)(t，于是根据复合函数的求导法则，得：)()(1ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy=，即)()(ttdxdy=.【例 6】设函数()yy x=由22e5arctantxtxyt+=，确定，求d.dyx 五五、隐函数隐函数的导数的导数 1.定义：定义：由方程(,)0F x y=所确定的函数()yy x=称为隐函数.2.隐函数的求导隐函数的求导：方程两边同时对x求导，将y视为x的函数.【例 7】设函数()yy x=由方程23ln()sinxyx yx+=+所确定，求d.0dyxx=19 六、对数求导法六、对数求导法 1、方程两端同时取以e为底的自然对数，然后再求导的方法，称为对数求导法.2.适用范围：多个因子的乘、除、乘方和开方及幂指函数的导数.对于一般形式的幂指函数vuy=)0(u，如果)(),(xvvxuu=都可导，则：lnvvuyuvuu=+.【例 8】设sin()(1cos)xf xx=+,求()fx.【例 9】设23(1)23(4)xxyxx+=+，求.y 第三节第三节 高阶导数高阶导数 一、一、高阶导数高阶导数的定义的定义 1.高阶导数的定义高阶导数的定义 如果函数()f x的导数()fx在x处可导，称0()()()limxf xxf xfxx+=为函数()f x的二阶导数.记作：2222dd(),ddyffxyxx.二阶导数的导数，称为三阶导数，记作：3333dd(),ddyffxyxx.三阶导数的导数，称为四阶导数，记作：44(4)(4)44dd(),ddyffxyxx.二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.2.复合函数的二阶导数复合函数的二阶导数()()2()()()()()()()yfxfxxfxxfxx=+20【例 1】设2sin()yf x=，其中f具有二阶导数，求22ddyx.3.反函数的二阶导数反函数的二阶导数 设()yf x=在区间xI上单调、二阶可导，且()0fx，则223dd()xyyy=.【例 2】设函数()yf x=具有二阶导数()fx，且()0fx，()xy=是()yf x=的反函数，求()y的二阶导函数()y.4.参数方程所确定函数的二阶导数参数方程所确定函数的二阶导数(仅数一、数二仅数一、数二)参数方程()()xtyt=，)(tx=和)(ty=二阶可导，则所确定函数的二阶导数为：222()()1()()()()1()()()()()d yddydtdttttttdxdx dxdttdxtttt=.【例 3】设21,cos,xtyt=+=求22d.dyx 5.隐函数的二阶导数隐函数的二阶导数【例 4】设函数()yy x=由方程e1yyx=所确定，求22d0dyxx=的值.二、二、高阶导数的计算高阶导数的计算 21 1.高阶导数的高阶导数的四则运算四则运算 设,u v的n阶导数存在，则(1)()()()(nnnvuvu=，(2)()(0)()(kknnkknnvuCuv=，其中(0)(0),vv uu=.2.常见函数的常见函数的n阶导数阶导数(1)()(e)exnnx=；(2)()()(ln)xnxnaaa=；(3)()(sin)sin()2nnkxkkxn=+；(4)()(cos)cos()2nnkxkkxn=+；(5)1(1)!ln()(1)()nnnnaaxbaxb+=+；(6)()11.!(1)()nnnna nbaxaxb+=+；(7)(1)(1)(2)(1)(1)nxnx+=+.【例 5】已知函数()f x具有任意阶连续导数，且2()()fxf x=，则当n为大于2的正整数时，()f x的n阶导数()()nfx为【】（A）1!()nnf x+（B）1()nn f x+（C）2()nf x （D）2!()nnf x 【例 6】求函数2()ln(1)f xxx=在0 x=处的n阶导数()(0)(3)nfn.第四第四节节 函数的微分函数的微分 一一、微分微分的概念的概念 1.微分的定义微分的定义 设函数()yf x=在某区间内有定义，0 x及0 xx+在这区间内，如果函数的增量00()()yf xxf x=+可表示为()yA xox=+.其中，A是不依赖于x的常数，那么称函数()yf x=在点0 x是可微的，线性主部A x叫做函数()yf x=在点0 x相应于 22 增量x的微分，记作0|x xdy=，即0|x xdyA x=.2可微可微的条件的条件(1)必要条件：函数)(xf在点x可微，则函数)(xf在点x处连续.(2)函数)(xfy=在点x处可微的充要条件是)(xf在x处可导，且)(xfA=，即dxxfdy)(=.3微分的几何意义微分的几何意义)()(00 xfxxfy+=是曲线)(xfy=在0 xx=处对应于自变量的 增 量x的 纵 坐 标 的 增 量，而 微 分0 xxdy=是 曲 线)(xfy=在 点)(,(00 xfx处的切线的纵坐标相应的增量.【例 1】设函数()yy x=由方程2cos1x yexye+=确定,求0 xdy=.二二、复合函数的微分复合函数的微分(微分的形式不变性微分的形式不变性)设)(ufy=可导。1.当u为自变量时，duufdy)(=.2.当u为中间变量时，设)(xgu=可导，则复合函数()yf g x=的导数为()()()()yf g xfg xg x=，从而，函数的微分为：()()dyfg xg x dx=.又由于dudxxg=)(，所以复合函数)(xgfy=的微分也可以写为duufdy)(=.因此，无论u是自变量还是中间变量，微分形式duufdy)(=保持不变，该性质称为一阶微分形式不变性.【例 2】设()(ln)f xyfx e=，其中f可微，求.dy 第三第三章章 微分中值定理及导数的应用微分中值定理及导数的应用 第第一一节节 微分微分中值定理中值定理 一、费马引理一、费马引理 设函数()f x在点0 x的某邻域0()U x内有定义，并且在0 x处可导，如果对任意的 23 0()xU x，有0()()f xf x(或0()()f xf x)，那么0()0.fx=二、二、罗尔定理罗尔定理 如果函数()f x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间(,)a b内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即()()f af b=；那么在(,)a b内至少存在一点()ab，使得()0f=.【例 1】设()f x在(,)a b内二阶可导，且123()()()f xf xf x=，其中12axx 3xb.证明：在13(,)x x内至少存在一点，使得()0.f=【例 2】设函数()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且0()lim2xf xx+=，证明：在(0,1)内存在，使得22()().1ff=三、三、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数()f x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间(,)a b内可导；那么在(,)a b内至少存在一点()ab,使等式()()()()f bf afba=成立.【例 3】求极限2sincos0eelim.1xxxxxx+24 【例 4】已知函数()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且(0)0(1)1ff=，.证明：()存在(0,1)，使得()1f=；()存在两个不同的点,(0,1)，使得()()1ff=.【例 5】设0ba，证明：22arctanarctan11babababa+.四、四、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数()f x及()F x满足(1)在闭区间,a b上连续；(2)在开区间(,)a b内可导；(3)对任一(,)xa b,()0F x；那么在(,)a b内至少存在一点()ab,使等式()()()()()()f bf afF bF aF=成立.【例 6】设函数()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()0fx.试证：存在,(,)a b，使得()eee.()baffba=25 第第二二节节 洛比达法则洛比达法则 一、一、ax时的未定型时的未定型 设(1)当ax时，函数)(xf和)(xg都趋于零；(2)在点a的某去心邻域内，)(xf 和)(xg都存在，且0)(xg；(3)()(limxgxfax存在(或为无穷大)，则)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax=.二、二、x时的未定型时的未定型 设(1)当x时，函数)(xf和)(xg都趋于零；(2)当Ax 时，)(xf 和)(xg都存在，且0)(xg；(3)()(limxgxfx存在(或为无穷大)，则)()(lim)()(limxgxfxgxfxx=.【例 1】求极限02limsinxxxeexxx.【例 2】求极限lnlimnxxx+(n为正整数).26【例 3】求极限lim(0)nxxxe+.【例 4】求极限()12lim1xxxx+.【例 5】求极限01 2sin1lim.ln(1)xxxxx+【例 6】求极限03sinlim.2cosxxxxx+第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 一、泰勒一、泰勒(Taylor)中值定理中值定理 1.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 1 如果函数)(xf在0 x处具有n阶导数，那么存在0 x的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+=，其中0()()nnR xoxx=称为皮亚诺余项.特殊情形：特殊情形：当00 x=时，()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn=+称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式.2.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 2 如 果 函 数)(xf在0 x的 某 个 邻 域0()U x内 具 有(1)n+阶 导 数，那 么 对 任 一0()xU x，有 27)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+=，其中10)()!1()(1()(+=nnxxnnfxR称为拉格朗日余项.这里是介于0 x与x之间的某个值.特殊情形：当00 x=时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!nnnnffff xffxxxxnn+=+称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式.3.常见函数的麦克劳林展开式常见函数的麦克劳林展开式(1)21()2!nxnxxexO xn=+.(2)24221cos1(1)()2!4!(2)!kkkxxxxO xk+=+.(3)352112sin(1)()3!5!(21)!kkkxxxxxO xk=+.(4)21ln(1)(1)()2nnnxxxxO xn+=+.(5)2311(1)()1nnnxxxxo xx=+(6)0122(1)()nnnxCC xC xC xo x+=+,且(1)(1)!kkCk+=.二、泰勒二、泰勒(Taylor)中值定理的中值定理的应用应用 【例 1】设函数2sin()1xf xx=+在0 x=处的 3 次泰勒多项式为23axbxcx+，则【】(A)71,0,6abc=(B)71,0,6abc=(C)71,1,6abc=(D)71,1,6abc=【例 2】将函数22exy=在0 x=处展开成带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式.28【例 3】将函数2132yxx=+在3x=展开成带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式.【例 4】求2220coselimln(1)xxxx xx+.【例 5】试确定常数,A B C的值，使得23e(1)1()xBxCxAxo x+=+.其中3()o x是当0 x 时比3x高阶的无穷小量.【例 6】函数2()2xf xx=在0 x=处的n阶导数()(0)_.nf=第四节第四节 单调性单调性、极值及最值极值及最值 一、单调性一、单调性 设函数)(xfy=在,ba上连续，在),(ba内可导(1)如果在),(ba内()0fx，且使得()0fx=的点仅有有限个，则()f x在,ba内单调增加.(2)如果在),(ba内()0fx，且使得()0fx=的点仅有有限个，则()f x在,ba内单调减少.【例 1】试证明函数1()(1)xf x