022.第一章上课手稿【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

高等数学篇第一章函数、极限与连续复习笔记第一章函数、极限与连续一、重要考点分析1理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用句题的函数关系.伟2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。考研3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9苹提用洛必达法则术未定式极限的方法。方研10理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质并会应用这些性质。二、考试内容对拉例1.函数的概念及其性质1)(1)函数的基本概念即单位戈设x与y是两个变量，I是实数集的某个子集，若对于1中的每个值x,变登)，按照法则丫有个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=(x),这里的称为函数的定义域，而相应的函数值的全体称为函数的值域。心79光Mith【课堂讨论】如何判断两个函数是否为同一函数？当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，则它们就为相同函数。(2)函数的四大基本性质上忍强绿件中出讼森2问.-段利闭有向性1)奇偶性：设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，若对于任一xD,都有f(-x)=f(x)称fx)为偶函数；若对于任一xD,都有f(-x)=一f(),称f()为奇函数【注】(l)常见的奇函数：sinx,arcsinx,tanr,arctanx,1-xInIn(x+x)fix)1+x(2)记住以下几个关于奇、偶函数的结论：0两个偶函数的和仍为偶函数：itxX。计1X)1复习笔记第一章函数、极限与连续高等数学篇两个奇函数的和仍为奇函数：w伤两个偶函数的乘积仍为偶函数；岛偏则祸两个奇函数的乘积为偶函数；frfw)9c99cfyf9偶函数与奇函数的乘积为奇函数：问郭伟偶函数与偶函数的复合函数为偶函数；奇函数与奇函数的复合函数为奇函数；偶函数与奇函数的复合函数为偶函数：可导的奇函数的导函数为偶函数；可导的偶函数的导函数为奇函数；连续的奇函数的原函数为偶函数；连续的偶函数的原函数不一定为奇函数。(3)函数y=f(x)关于点(a,b)对称台f(x)+f(2a-x)=2b特殊的，y=()关于原点(0,0)对称台()+f(-x)=0（0)函数y=f(x)关于x=a对称台f(a+x)=f(a-x)(f(x)=f(2a-x)特殊的，y=f(x)关于y轴对称台(x)=(-x)若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0;郭伟偶函数y=f(x)在x=0可导，则f(0)=0(5)事实上，任何一个定义域关于原点对称的函数均可以看作奇函数和偶函数的和：设y=f(x)定义域(-l,),则F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数：E(x)=/()-(-)为奇函数，且f)=+E四。2该结论在后续课程中有重要应用，应熟练掌握。Vxe Df fix fa+T)2)周期性对函数y=f(x),若存在正数T,使得对定义域内的每一个x,x+T仍在定义域内，且有f(tT)f()称函数y三()为周期函数，T称为()的周期。【注】(1)判断给定函数是否为周期函数，主要用周期函数的定义判断来判定：刺定学郭伟(2)记住以下几个关于周期函数的结论：可导函数的导函数为周期函数；有投年连续函数的原函数不一定为周期函数；Q2体并非每个周期孟载均有最小正周期例如：余利克香Dmc面款DLx(0,xQii任何正有理数”均为其周期，故没有最小正周期)：XE仅xtrTD(0e/1芯)若/(y以T为周期，则f(a土b)以而为周期y=sing yo sin2x(4)若f(x),g(x)分别以T,T2为周期，k,tR,则f(x)+g(x)以T,T最小公倍数为周期a Sink bCosk+丫2高等数学篇第一章函数、极限与连续复习笔记:于教M.%1.时1)2M,网叫石配河2上3)有界性：设函数y=f(x)在一个数集I上有定义，若存在正数M,使得对于每个xI,都有f(xM成立，则称f(x)在I上有界：如果这样的M不存在，就称函数f(x)在I上无界。4)单调性：设函数y=f(x)在区间I上有定义，若对于I上任意两点x与x2,且x0或f(x)-f(x2)门(x-x2)0,a1)，定义域R,无界函数02Q 1)y=a*(0a0,a1)，定义域x(0，+)，无界y个y个y=log x(a1)y=log。x(0a1)nx郭伟u.o(5)三角函数正弦函数：y=sinx,有界函数，定义域x(-o,+o),值域y-l,1y=sinx,xR余弦函数：y=C0sx,有界函数，定义域x(-0，+o),值域y-1,1郭伟y=cosx,xR正切函款：y=anx，无界函数，定义城xk+化eZ,值城ye(-o,+o)年郭伟30322214高等数学篇第一章函数、极限与连续复习笔记余切函数：y=cotx,无界函数，定义域xxk，kZ,值域y(-o,+o)23N12正割函数：y=sCx=无界函数，定义域xxk+cosx2,(kZ),值城sec1-223i2T3-5z21221余割函数：y=CsCx=inx,无界函数，定义城xk，keZ,值城sc小13元(6)反三角函数反正弦函款：smx,定义城xe-1训，位城非序重危文线1.月，值线至.剑22+首搬专以从2