10.第八章——中值定理1+考研数学李振（笔记）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第八章中值定理 1（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.29粉笔考研官方微信1第八章第八章中值定理中值定理 1 1（笔记笔记）【注意】简单几何体的体积在考试中的占比非常高，尤其数二、三每年几乎都有一个大题，属于必考题型。【注意】1.平行截面面积已知的立体图形的体积：立体在过 x=a，x=b 且垂直于 x 轴的两个平面之间（如上图所示），以 S（x）表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积，则所求立体的体积为 V=abS（x）dx?。2.以黄瓜为例，用刀切为黄瓜片（纵切），每片的横截面积是知道的，这个2称为平行截面面积已知的几何体。3.不规则的几何体的体积计算所用到的是微元法：（1）分割：沿着自变量的方向。（2）近似。（3）求和。（4）取极限。【解析】例 6.半径为 R，高度为 h，核心是表示出 x 处横截面的面积，先建立坐标系，原点建立在圆锥的顶点处，沿着该方向建立 x 轴，圆锥的横截面是一个圆，表示出圆的面积即可，可以转化为二维图形分析。3【注意】旋转体的体积：由连续曲线 y=f（x），直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形（如上图所示）绕 x 轴旋转一周而成的立体是旋转体，该立体的体积为 V=abf2（x）dx?。1.微元法：（1）分割：沿着自变量方向分割。（2）近似：横截面积可以近似看为不变。（3）求和：（4）取极限。2.通过简单几何体的体积，平行截面面积已知的几何体的体积，只要可以表示出 x 处的面积即可，这种模型叫做截面法。3.y=f（x），自变量为 x，旋转轴为 x 轴，它们是一样的，一样即平行，可以用截面法。4.y=f（x），x=a，x=b，与 x 轴所围的图形绕 y=-1 旋转，自变量为 x，旋转轴虽然不是 x 轴，但是与 x 轴平行，也属于截面法的情况，核心是找出横截面面积。4【注意】假设 y=f（x）与 x=a，x=b，y=-1 所围成的图形，绕 y=-1 旋转一周所得的旋转体体积公式。自变量为 x，旋转轴与 x 轴平行，用截面法，需要表示出横截面积，横截面积要找半径，需要注意旋转后不是圆环，整个图形与选项轴中间没有空隙，V=abf（x）+12dx?。【注意】该方法叫作截面法，适用于函数自变量与旋转轴方向平行的情况，截面法的关键是表示出坐标轴上任意一点且垂直于坐标轴的截面面积，再取定积分即得几何体体积。如：设函数 f（x）g（x）m，xa，b，则曲线 y=f5（x），y=g（x）与直线 x=a，x=b 所围成的图形绕直线 y=m 旋转一周所得到的旋转体体积为 V=abm f（x）2 m g（x）2dx?。【注意】1.由曲线 y=f（x），直线 x=a，x=b（0ab）及 x 轴所围成的曲边梯形（如上图所示）绕 y 轴旋转一周所得的旋转体体积计算公式为 V=2abxf（x）dx?，x表示到旋转轴的距离，f（x）表示高度。2.体积公式依然是用微元法推导。3.如果绕 x=-1 旋转，自变量 x 与旋转轴垂直，用柱壳法，核心是表现这条线到旋转轴的距离以及高度。6【注意】该方法叫柱壳法，适用于函数自变量与旋转轴方向垂直的情况，柱壳法的关键是表示出长度为 dx 的小区间对应的小竖条绕旋转轴旋转而来的小柱壳的体积 dv=2rhdx，其中 r 为半径，也就是小区间到旋转轴的距离，h 为柱壳的高，也就是函数值或者函数的差值。如：设函数 f（x）g（x），xa，b，ma，则曲线 y=f（x），y=g（x）与直线 x=a，x=b 所围成的图形绕直线 x=m 旋转一周所得到的旋转体体积 V=2ab（x m）g（x）f（x）dx?。7【解析】例 7.做这种题需要把图大体画一下，V1绕 x 轴旋转，整个区域 D自变量为 x，两个平行用截面法即可。V2绕 y 轴旋转，自变量与旋转轴是垂直的情况，用柱壳法，然后利用等量关系求解即可。【注意】1.计算 V1也可以用柱壳法，y=Asinx，y/A=sinx，x=arcsin（y-A）坐标为（arcsin（y-A），y），V1自变量是 y，旋转轴为 x 轴，可以用柱壳法求解，但是正常人计算 V1不会用柱壳法。计算 V2也可以用截面法。2.计算 V1两个方法都要会，有些题目看似用截面法，但是比较麻烦，有时候用柱壳法会有意想不到的收获，针对例 7，V1肯定用截面法，V2肯定用柱壳法，具体问题具体分析。8【解析】例 8.先大致画出图像，自变量为 x，旋转轴为 x 轴，优先考虑截面法，用截面法要表示出 x 处的横截面积，会发现比较麻烦，且需要分情况，如果与 x 在红色线的左边，画线是一种情况，右边又是一种情况，整体不好计算。截面法计算比较麻烦时，考虑柱壳法。【注意】1.拿到一道题优先看自变量和旋转轴，只要平行优先用截面，只要垂直优先用柱壳，具体是否好用，看是否需要分情况，不用分情况直接用，不用分情况把函数反解，用 y 表示 x，用另一种方法看是否好用。2.以后碰到不是平行于坐标轴的，看是否可以转化为平行坐标轴，如果不能转化，直接“撕掉”，这种题考研是不会考查的。3.极坐标体积公式不需要管，属于超纲，遇到极坐标如何做后面会讲解，可9以把极坐标转化为直角坐标。10【解析】例 9.（1）大致画出图像，四个图形面积是一样的，只需要看第一象限，红色部分绕 x 轴旋转所得体积乘 2 就可以得到整个旋转体的体积，第一和第四象限与第二和第三象限旋转体积是重合的。（2）该图形是摆线的一拱，绕 x 轴，Vx用截面法，直接做变量代换；绕 y轴旋转，用柱壳法求解，也是做变量代换。【注意】参数方程下图形面积的公式不需要记忆，只要理解变量代换即可，对于参数方程下旋转体的体积也是一样的道理。【注意】考研每年的压轴题基本是中值定理。11【注意】基础阶段主要介绍对定理内容的考查、对闭区间上连续函数性质的考查、费马引理与罗尔引理、辅助函数的构造，由于这块比较难，基础阶段介绍常考的情况，双重中值和泰勒中值定理放在强化阶段进行介绍。虽然比较难，但是只要能够掌握规律、勤加练习，基本上考试面对 70%左右的题目是能够处理的。【注意】1.最值定理：设函数 f（x）在a，b上连续，则 f（x）在a，b上能够取得最大值与最小值，即，a，b，使得f（）=axbmaxf（x），f（）=axbmaxf（x）。2.函数 f（x）在a，b上连续，则函数 f（x）在a，b上一定有界。3.函数 f（x）在（a，b）上连续，且limxa+f（x）与limxbf（x）均存在，则函数 f（x）在（a，b）上一定有界。12【解析】例 987.函数有分母，x0，x1，x2，选项都是开区间，函数 f（x）在每个开区间内都是连续的，重点关注在哪个端点处单侧极限存在即可。【选 A】【解析】例 1.重点关注端点处的极限是否存在。limx0+f（x）极限存在，limx+f（x）极限不存在，如果开区间内连续，两头单独极限存在，一定有界，如果两头极限有一个不存在，不存在有多个情况，不存在可以是无穷，趋向于+时，极限等于，能说明函数在（0，+）是无解的，但是现在极限存在，13limx+x31x2+x=1，|sinx|1，当 x 足够大时，f（x）有界。当 x0 时，xx 时，f（x）有界，f（x）在（0，X）内有界，说明 f（x）在（0，+）是有界的，（-，0）同理。【选 A】【注意】连续函数在闭区间上一定可以取到最大值和最小值，连续函数在闭区间上不仅可以取到最大值和最小值，而且可以取到介于最大值和最小值中的一切值。【注意】1.介值定理：设函数 f（x）在a，b上连续。M 和 m 分别为 f（x）在a，b上的最大值与最小值，若 c 满足 mcM，则a，b，使得 f（）=c。2.零点存在定理：设函数 f（x）在a，b上连续，且 f（a）f（b）0，则（a，b），f（）=0。3.注意：（1）零点存在定理是介值定理的推论，若要证明的结论中无导数，则可考虑使用介值定理和零点存在定理。（2）对于这两个定理的选取，若要证明结论的中值属于开区间，则使用零点存在定理；若中值属于闭区间，则使用介值定理。14【解析】例 2.没有出现导数关系，考虑介值和零点定理，所属开区间，用零点定理。【注意】1.若要证明的结论中无导数，且中值属于开区间，则使用零点存在定理。2.使用零点存在定理时，先从结论出发，将其整合成 F()=0，再验证两端点异号即可。15【解析】例 14.本题可以当做没有导数，直接尝试用零点定理。【解析】例 3.属于闭区间，需要用介值定理，第一步需要先设出最值，证明 f（）介于最大值和最小值之间；第二步是构造介值。16【注意】1.使用上，若要证明的结论中无导数且中值属于闭区间，则使用介值定理。2.方法上，使用介值定理的基本步骤：构造介值，证明介值，要证明a，b时，f（）=A，先设出 f（x）在a，b上的最值 m，M，再证明 Am，M即可。3.结论上，本题的结论对c1，c2，cn0 都是成立的，特别地，当 ci=1（y=1，2，n）时其为平均值定理，即 f（x）在x1，xn上连续，则 f（）=f（x1）+f（x2）+f（xn）n，x1，xn，该定理在微分中值定理的相关证明中经常用到，使用前需证明。4.课后可以尝试证明积分中值定理，它是用介值定理证明的，如果不会证明没有关系，下节课会进行讲解。17遇见不一样的自己Be your better self