006.第七章上课手稿【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

高等数学篇第七章无穷级数复习笔记第七章无穷级数（数一三）一、重要考点分析丨，圳解带数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握致数的基本性质及收敛的必要条数学郭伟2.掌握儿何级数与卫级数的收敛与发散的条件；学墀止负级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根判别法，会川积分判别法3学墀交排级数的莱布尼茨判别法。4.了解仟意项缴数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。5业解幂级数收敛半伦的慨念、并掌握幂级数的收敛半价、收敛区问及收敛域的求法。6.了解幂级数在其收敛区间内的基木性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会山此水某些数项级数的和。7.了解函数长开为泰勒级数的允分必要条什激学郭8.掌握c,sinx.cosx.1m(I+x及(l+x)的麦克芳林(Maclaurin)展式，会刀它们将些简单数学郭伟函数间接展开成希级数，9.了解傅卫叶数数的概念和狄利儿出收敛定现，会将定义在-1，门上的函数展开为得卫叶级数，会将定义在0，门上的数展为止弦级数与余弦级数，会写山傅卫叶级数的和函数的表达式二、考试内容1.无穷级数的概念和性质oSn=Uituzt+Unm-Sn(1)无穷级数的概念设丝是工个数列，则称立“.=比，+“，+十，t为个数项级数，间称级数。考研教学郭伟其中“，称为数项级数的通项或一般项，S。=。+42+4。称为级数的部分。、若imS。=S,称级数收敛，S为级数4。的和：若该极限值不有在，称级数4，发做=【铜1者数数空，的的，顶利长方2。求。”1子：S-S=-主-2n):hnneJn二z【例题72】判断下列级数的敛散性：g；1水化n(a+1)4:5n.at abtabamg若B1从em-&3n,&1-多1浪11发【有在良1以5：+码+玩-龙+公方+术所对西复习笔记第七章无穷级数高等数学篇(2)无穷级数基本性质【,五用性)级数知，与立4，敛散件相问，其中及0。的r数空作发统空+-子空、R效=1=1考研【注】若4，收敛考研数学郭伟立发散，则4y)必发散：n=1若“。发散，发散，则4，）的敛散性不确定。在级数中去、加或政变行限项、不改变级数的收敛性。【注】研究级数的敛散性时，不必一定从=1开始，可以从某=V开始讨论。如宋级数立“。收敛，则对这级数的项们意加括片所战的级数竹收敛，口共和不变。考研级数收敛的必些条件：若级数立“，收领，划m二0.1上？式)研数学郭伟【证】设级数“的部分和为9，且im,=s,则2网吊风教lim,-lim()=lim.s-lim.s,=s-s=0【例题73】以下命题止确的足()。名)扩+丛)收敛，划“.收敛父若，=0，则立“.收敛E以若立a,+)收敛，奥立.暇敛考研数学郭佛考研教学郭“附考研数学郭伟2.常数项级数的概念及中敛准则(1)正项级数(“：，4，0)=11)项皱数收敛的充要条件元-y二Um2正项级影立，收效分和数列白上外。【证】必要性：由于，0，则S,-,+42+Hn0，且S,S,Sn考研显然，数列S是一个单调不减数列考研数学郭伟当“，收敛时，imS,存在，则S,必有界，即S,有上界充分性：若S有上界，由于S是一个单调不减数列116高等数学篇第七章无穷级数复习笔记根据单调有界准则，lims,存在收敛比较判别法eim Un=o小发)发放比较中敛法的一般形式n致字大牧毁两个项级数“，与，A在山然数N,使当nN时有4，成立考研数学郭情如果级数收敛，则级数“，收敛；如果级数“。发散，侧级数.发散比较判别法的极限形式00设两个止项级数2，与公、，如有在极限2-4，则当011流确员则11时.发散；当1=1时九法判糊,4)根值屯敛法C柯西中敛法)(0)考研数字郭佛)考研数学郭伟若正项级数“。满足im。=1则当11时立.发散：当1=1时无法判附糊65)积分判别法对丁单调递减的非负函数f(x)(1x-心)，满足4。=f()则当广1收敛时。盈数工“、收敛：当”adr发改时，级数豆，包发战h=女学郭【注】记住以下常见级数的敛散性：秀研数儿何级数：g:41时收敛，p器1时发散：AA一广义p级数：，12(n)。:p1时收敛，p1时发散an-o务所致a小下新教字郭用考研数学郭伟1-cos1ed月n11x=l-)2”(40)方2(1=12e22ee(Sa(a71)2h考研hn92品激字郭佛t00ceRim la人今o认apeeim unt1发e3”a-e、e0ue(品。(及m:(+划”h,4)e研教学郭伟o考研教字部安青研数学郭佛h-22c1a118高等数学篇第七章无穷级数复习笔记总【例邀7.5】正项级数&.收敛，则下列说法个下确的是(er aianhaVa,可能收敛，也可能发散考研G可能收领，影研教学郭佛收敛ya。收敛Vanf-e、annve It an2(2+am)nQn9120nc an2n=2)交猫级数)0】考研数学郭伟莱布尼茨判别法考研数学郭伟浮交俏级数上-)x,满足条件：M.产“1：im4,=0,则级数(-1)，收敛。【注】莱布尼兹判别法是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件。文错级数(-1)-“。收敛，但“，不一定单调递减，知(-1)2+(-1)2水=【例题7.6】判别下列级数的敛散性：(-1)n(1(以22)w考研数学郭佛w品:tA22)(3仟意项级数（4，“：为仟意实数）君高性欣层作以时牧)位烹仙发日晨“条科从设立“，为们意项级数，若锁数4收敛，就称。绝对收敛：若“。发做，而4。=1=1收敛，则称“。为条件收敛。如果级数“。绝对收敛，则级数“。必定收敛。数学郭伟【注】只有绝对收敛级数具有交换性，即任意交换级数中的无穷多项，得到的新级数仍是绝对收敛，且和不变绝对收敛级数与条件收敛有如下结论：119