04.3.3笔记小结【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第三章第三章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用第三节第三节 泰勒公式泰勒公式主讲主讲 武忠祥武忠祥 教授教授 若若在在处可微，则处可微，则问题：问题：若若在在处处阶可导阶可导,是否存在是否存在次多项式次多项式使使 结论：结论：定理定理1(Taylor1(Taylor定理定理)设设在在处处阶可微，则阶可微，则 上式称为上式称为带带PeanoPeano余项的余项的TaylorTaylor公式；公式；在在处的处的次次TaylorTaylor多项式多项式 的的PeanoPeano余项余项缺点：缺点：1 1）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析;2)2)适用范围小适用范围小.若若在区间在区间中可微，中可微，定理定理2(Taylor2(Taylor定理定理)设设在区间在区间中中阶可导，阶可导，则则（在在与与之间），使之间），使上式称为上式称为带带LagrangeLagrange余项的余项的TaylorTaylor公式；公式；称为称为的的LagrangeLagrange余项余项若若则则若若，则，则 上式称为上式称为的的MaclaurinMaclaurin公式公式几个初等函数的几个初等函数的MaclaurinMaclaurin公式公式1 1）2 2）3 3）4 4）5)5)内容小结内容小结小结：小结：1 1本质：本质：用多项式逼近用多项式逼近用已知点的信息表示未知点用已知点的信息表示未知点 2 2PeanoPeano：定性定性;局部局部3 3LagrangeLagrange：定量；整体定量；整体 1 1）PeanoPeano余项余项2 2）LagrangeLagrange余项余项与一阶导数的关系；与一阶导数的关系；4 4LagrangeLagrange定理是定理是TaylorTaylor定理的特例定理的特例.四大中四大中值定理值定理 前三个建立前三个建立TayloyTayloy 建立建立与高阶导数之间的关系。与高阶导数之间的关系。例例1 1 求极限求极限 例例2 2 设设当当时，时，与与证明：当证明：当时，时，是等价无穷小是等价无穷小.作业作业 P143：4;5;10(1)(3);