5-1 导数的几何应用（知识点）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册高数上册核心串讲核心串讲 1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 导数的几何应用（理论）一一、单调性与极值单调性与极值 在前面的内容中，我们学会了函数极限的计算，也学会了导数的计算，我们不禁会问一个问题：我们学习这些东西有什么用呢？现在开始，我们来学习极限与导数的实际应用之一：研究函数图像.函数图像的主要研究内容，分为以下几个部分：单调性与极值，凹凸性与拐点，渐近线.（一一）基本概念基本概念 1.单调性单调性 设在区间 上有定义，且对于任意的，且，均有，则称在区间 上是严格的增函数；同理，可定义减函数.2.极值极值 设在点某邻域内有定义，若该点去心邻域内的函数值均大于，则称是的极小值，且是一个极小值点；若该点去心邻域的函数值均小于，则称是的极大值，且是一个极大值点.注注 1：极值，可以通俗的理解为“局部的最值”.注注 2：整个函数的最值，一定在极值与端点值中产生.注注 3：由极值定义可知，在闭区间上的极值，只能在开区间内取得，端点不可能取得极值.当然，也并非所有函数都有极值，比如开区间内的单调函数，就没有极值（也无最值）.注注 4：极大值不一定就大于极小值，因为极值描述的只是“局部”（最大值一定大于等于最小值）.注注 5：对于连续函数而言，若在的左邻域内递增，右邻域内递减，则在处一定取得极大值该命题中的“连续函数”不可省略！（二二）判别法判别法 1.单调性单调性 对于函数，若在区间 上有恒成立，则在区间 上严格递增；对于函数，若在区间 上有恒成立，则在区间 上严格递减.注注 1：可导函数严格递增，无法反推出，只能推出，比如在严格递增，但由可以看出，（导数为零的点为驻点），只有当时，才有.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册高数上册核心串讲核心串讲 2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 注注 2：事实上，若区间 内的个别孤立点处，其余地方，则仍然严格递增.注注 3：推不出在的邻域内递增，只能推出在右邻域的函数值比左邻域的函数值大.同理，推不出在的邻域内递减，只能推出在右邻域的函数值比左邻域的函数值小.（可用保号性进行证明）反例可以取为.易得.可以看到，但时，中的极限为，在振荡，叠加后的就在振荡，这说明在的过程中，不断变号，故单调性不断改变（即不断振荡），而且 越靠近 0，振荡得就越厉害.这个例子便说明了即使，也推不出邻域内递增！2.极值极值(1)必要条件必要条件（费马引理费马引理）设在处取极值，且可导，则必有.(2)充分条件充分条件 设在处二阶可导，且，则在处必定取极值；其实，若，则是极小值；若，则是极大值.注注：推广为：若，则当 是偶数时，是极值（若则是极小值，若则是极大值.），当 是奇数时，不是极值.3.最最值点值点 求出函数在整个定义域上，所有驻点、不可导点、端点处的函数值，然后比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.示例示例(2009 年)函数在区间上的最小值为 .考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册高数上册核心串讲核心串讲 3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 二二、凹凸性与拐点、凹凸性与拐点（一一）基本基本概念概念 1.凹凸性凹凸性 设在区间 上连续，则通过下列方式定义曲线的凹凸性(1)若对任意的且，均有，则称曲线是凹的；(2)若对任意的且，均有，则称曲线是凸的.请思考上述不等式的几何意义（提示：曲线与割线的高低）.2.拐点拐点 连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.（二二）判别法判别法 1.凹凸性凹凸性的判别法的判别法 若在区间 上恒成立（或但等号仅在个别孤立的点处取到），则曲线在区间 上是凹的；若在区间 上恒成立（或但等号仅在个别孤立的点处取到），则曲线在区间 上是凸的.注注：一个孤立点处的二阶导大（小）于零，推不出邻域内是凹（凸）的.2.拐点拐点的判别法的判别法(1)必必要条件要条件 设点是曲线的拐点，且存在，则必有.(2)充分条件充分条件 1 对于连续函数而言，若在左右两侧异号，则点是曲线的拐点.(3)充分条件充分条件 2 设在处三阶可导，且，则点是曲线的拐点.注注：该充分条件可推广若，则当 是奇数时（），点是曲线的拐点；当 是偶数时，点不是曲线的拐点.示例示例 求曲线的凹凸区间与拐点.