3.5向量的内积 长度及正交性【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第三章向量考研数学线性代数新东方在线孟小玉基础阶段 线性代数第章向量向量3第三章向量向量的基本概念一向量的线性表示二向量组的线性相关性三考研数学线性代数极大线性无关组与向量组的秩四向量的内积、长度及正交性五向量空间(数一)六基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性2.正交矩阵基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点（1）内积：内积：已知n维向量T12,na aa 及 T12,nb bb，则 TT1 12 2n naba ba b 称为向量 与 的内积，记作,（2）正交：正交：当TT0 时，称向量 与 正交【注】零向量与任何向量正交（3）向量长度：向量长度：T22212naaa ，也叫向量 的模.（4）单位向量：单位向量：长度为 1 的向量，可表示为T1 （5）向量单位化：向量单位化：向量除以自身长度 1.向量的内积、长度及正交性基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性（6）正交向量组：正交向量组：若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组【注】正交向量组一定线性无关 基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性（6）正交向量组：正交向量组：若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组【注】正交向量组一定线性无关（7）规范正交向量组：规范正交向量组：若正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为规范正交向量组 基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性（8）施密特正交化：施密特正交化：已知向量组123,线性无关，令 11，1222111,，132333121122,，从123,到123,的这一过程称为施密特正交化，此时123,两两正交，若再将其单位化，有 111 ,222 ,333 ，此时123,为规范正交向量组.基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性【例【例 3.153.15】分别求下列两个向量的内积，并判断是否正交，若没有正交，请利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.（1）1101 ,2111 （2）1210 ,2010 基础阶段 线性代数第章向量向量3【例【例 3.153.15】分别求下列两个向量的内积，并判断是否正交，若没有正交，请利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.（1）1101 ,2111 （2）1210 ,2010 (2)正交么？问题基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性【例例 3.163.16】设1231142,3,1110，利用施密特正交化过程将其化成规范正 交向量组.基础阶段 线性代数第章向量向量3【例例 3.163.16】设1231142,3,1110，利用施密特正交化过程将其化成规范正 交向量组.基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点1.向量的内积、长度及正交性2.正交矩阵基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性重点2.正交矩阵（1 1）定义：定义：若n阶矩阵A满足TA AE（即T1AA），则称A为正交矩阵（2 2）性质：性质：A为正交矩阵 A的列（行）向量组是规范正交向量组 A为正交矩阵1 A 基础阶段 线性代数第章向量向量3五向量的内积、长度及正交性小结重点1.向量的内积、长度及正交性2.正交矩阵(1)内积(2)正交(3)向量长度(4)单位向量(5)向量单位化(6)正交向量组(7)规范正交向量组(8)施密特正交化（1 1）定义：定义：若n阶矩阵A满足TA AE（即T1AA），则称A为正交矩阵（2 2）性质：性质：A为正交矩阵 A的列（行）向量组是规范正交向量组 A为正交矩阵1 A 基础阶段 线性代数第章向量向量3向量空间(数一)六新东方在线 孟玉