第六章——向量组的秩与矩阵的秩1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.04.24粉笔考研·官方微信题型考频分值难度值区分度秩的基本概念及基本运算10290.6940.48秩的常用公式18720.5090.414合计281010.6020.447秩的基本概念及基本运算秩的常用公式7310.5020.417合计7310.5020.417近10年38年1第六章——向量组的秩与矩阵的秩1（笔记）【注意】考情：主要考查秩的基本概念、基本计算、秩的常用公式，近10年考了7个题。一、矩阵的秩【注意】子式：1.在矩阵中任意抽取k行k列，位于这些行列交叉处的k²个元素，不改变2它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。2.1阶子式为矩阵元素。3.3行4列的矩阵最高能抽取3阶子式，可以抽取出C（3,3）*C（4,3）=4个三阶子式。可以抽取出C（3,2）*C（4,2）=18个二阶子式。可以抽取出C（3,1）*C（4,1）=12个一阶子式。【注意】矩阵的秩：1.本质是矩阵A中非零子式的最高阶数。2.范围为0≤r（A）≤min{m,n}。3.秩都是整数。4.所有的一阶子式都等于0。5.1列*1行得到一个各行各列成比例的矩阵，1行*1列得到的是一个数。3【解析】1.矩阵的秩考方阵比较多，根据性质⑥，r（A）=3→|A|=0，计算|A|，具体步骤见上图。二、向量组的秩4【注意】极大线形无关组：1.等价描述：①𝛼i1……𝛼it线性无关，②𝛼1……𝛼m中任一向量均可由𝛼i1……𝛼it线性表示，则𝛼i1……𝛼it为向量组𝛼1……𝛼m的一个极大线性无关组。2.举例：向量的维数都一样，找极大线性无关组，先找两个向量，如果两个向量不成比例，就是无关的，具体步骤见上图。3.极大线性无关组就是原向量组中线性无关的向量个数最多的一个子向量组。4.极大线性无关组不唯一。5.向量组𝛼1,𝛼2……𝛼m线性无关的充要条件是它的极大线性无关组为其本身。5【注意】求向量组的极大线性无关组的步骤：1.一定要以列向量为矩阵，如果是行向量就需要转置一下。2.一定要化为阶梯型之后再找主元。【解析】2.以题干中的五个向量组成一个矩阵，化为阶梯型，找收个非零元，对应B项。具体步骤见上图。6【注意】与极大线性无关组有关的定理：1.定理1：向量组和它的任一极大线性无关组等价。（1）推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。（2）推论2：等价的向量组的极大线性无关组等价。可以按照等价的传递性理解。72.定理2：向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量的个数相同。2.向量组的秩【注意】向量组的秩：1.极大线性无关组中所含向量个数称为该...
