25考研数学基础结课测试卷解析（数学一）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

1 25 考研数学基础结课测试卷解析考研数学基础结课测试卷解析（数学（数学一一）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分，每小题给出的四个选项中，只有分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1、2lim()()xxxxa xb=+（）.（A）1 （B）e （C）ea b （D）eb a 解解 应选（C）.方法一：方法一：()()2limxxxxaxb+()()2lnlimexxx ax bx+=()()2limlnexxxx ax b+=，其中又因为()()22()()limlnlimln1()()xxxxx ax bxxx ax bx ax b+=+2()()lim()()xx xx ax bx ax b+=+2()lim()()xa b xabxx ax b+=+ab=，故原式极限为ea b.方法二：方法二：22()()limlimlim 1lim 1eee()()xxxxaba bxxxxxxa xbabxa xbxxx+=+=+2.不定积分3().dxxx=+（A）33ln|1|xxC+（B）3366ln|1|xxC+（C）3662366ln|1|xxxxC+（D）663arctanxxC+解解 应选（C）.由于 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以，令6xt=，则56dxt dt=，于是 323166111dxtdtttdtttxx=+322366ln1ttttC=+再将6tx=带入上式得36632366ln|1|dxxxxxCxx=+3.已知函数()f x满足20()de1xxf tt=,则10(2)dxfxx=().高途考研2(A)471e44+(B)471e44(C)451e33+(D)45133e 答案 A 解析 在已知等式中,取2x=,得22400()d()de1f ttf xx=,将已知等式两边对x求导,得2()2 exf xx=.令2xu=,则 12220000111(2)d()d()dd()444xfxxufuuxfxxxf x=2220001111()()d2(2)()d4444xf xf xxff xx=()4448171ee1e.4444=+4.下列级数中发散的是（）(A)21sinnnn=;(B)1121nnn=+;(C)111ln(1)nnn=+;(D)11(1)nnn=解解：应选 B 对选项 A，由22sin1nnn及比较审敛法，该级数收敛；对选项 B，由11lim212nnn=+及级数收敛的必要条件，该级数发散；对选项 C，由2111ln(1)nnn+及211nn=收敛，该级数收敛；对选项 D，由莱布尼兹定理知，该级数收敛.故选 B.5.设11124335a=A，且A的特征值为1236,2=.如果A有三个线性无关的特征向量，则a=().(A)2 (B)2 (C)4(D)4【解】因为三阶方阵A有三个线性无关的特征向量，而232=为二重根，故该特征值对应两个线性无关的特征向量，从而有(2)1R=AE，而 高途考研3 111111222002333000aa=+AE，显然当2a=时(2)1R=AE，故选(B).6.若向量组12,m 线性相关，则下列说法正确的是().(A)任何向量都可由其余向量线性表示 (B)去掉任一向量之后，仍线性相关 (C)某一向量可由其余向量线性表示 (D)添上一个向量以后，就会线性无关 解：根据相关组增 加向量仍相关，(D)不正确；举特例，设线性 相关向量组为123102,010 =，显然2不可由其余向量表示，且去掉3后线性无关，所以(A)、(B)也不正确，故选(C).7.设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为().(A)()Rn=A (B)A的所有特征值非负 (C),T=ACC(C是n阶可逆矩阵)(D)A的所有k阶子式都为正【解】()Rn=A是A正定的必要不充分条件，例如设二阶实对称矩阵1001=A，则满足()2R=A，但A的特征值为1,1，不正定，所以(A)错误；A的特征值非负，则A的特征值可能为 0，当A有特征值0时，A不正定，所以(B)错误；如果A的所有k阶子式都为正，则A正定；但如果A正定，则其左上角各阶顺序主子式都为正，未必保证所有k阶子式都为正，所以(D)错误；选项(C)正确，T=ACC且C可逆，则TC也可逆，则1111()()TT=C A CC A CE,令1(),T=CP则T=P APE即A与E合同，这是A正定的充要条件，所以选(C).8.在下述函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是（）(A)211)(xxF+=(B)21arctan1)(+=xxF (C)=0,00),1(21)(xxexFx (D)=xdttfxF)()(，其中1)(=+dttf 解解:应选 B 由分布函数的性质，A,C 不满足()1F+=，对 D，这里的()f t未必是非负的.故选 B.9.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 高途考研4 (A)()()()1P CP AP B+(B)()()()1P CP AP B+(C)()()P CP AB=(D)()()P CP AB=解：解：应选 B 由于已知得ABC,而()()()()1P AP BP ABP AB+=，故()()()()1P CP ABP AP B+.故选 B 10.设随机变量,X Y不相关，且2EX=，1EY=，3DX=，则(2)E X XY+=（）(A)3 (B)3 (C)5 (D)5 解：解：应选 D 由数学期望的性质，以及期望和方差的运算关系，得：22(2)2()2E X XYEXEXYEXDXEXEXYEX+=+=+又量,X Y不相关，则有EXYEX EY=，代入得：(2)5E X XY+=，故选 D.二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上）1121limln 1_.nnkkknn=+=解：解：应填14 根据定积分的定义有：()120111limln 1=limln 1=ln 1nnnnkkkkkkxx dxnnnnn=+()()()()()111222000111ln 1ln 1ln 1222x d xxxx dx=+=+()2112001111111ln2ln2221221xxdxdxxx+=+()()1120011111 1ln21ln21ln122122 2xdxxxx=+=+14=.12微分方程2d(3)d0y xxyy+=满足条件11xy=的解为 .解：解：应填yx=高途考研5 由题意知2d(3)dy xyxy=，所以d3dxxyyy+=为一阶线性微分方程，所以通解为3xyyC=+，代入1,1xy=可以得到0C=，所以2xy=.由11xy=得yx=.13若函数(,)zz x y=由方程ecos2zxyzxx+=确定，则(0,1)dz=.解：解：应填dx 令(,)ecos2zF x y zxyzxx=+，则1 sinxFyzx=+，yFxz=，ezzFxy=+，又当0 x=，1y=，0z=，此时有(0,1,0)1xzFzxF=，(0,1,0)0yzFzyF=，所以(0,1)ddzx=.14.已知曲线L：2xy=(20 x)，则dLx s=.解：由题意可知 222222220001d1()1414(14)8Lx sxxdxxx dxx dx=+=+=+322201 213(14)|8 36x=+=.15.二次型22212312312(,)2f x xxxxxx x=+的正惯性指数为 .解：二 次型的 化为22123123(,)()f x xxxxx=+,即利 用配方 法可得 到它的 一个标 准形 为2212fyy=+,所以正惯性指数等于2.16.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球 5 个黑球，现从中任取 4 个球，如果 4 个球中 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2个白球 2 个黑球为止，用X表示抽取次数，则()_1,2,P Xkk=.解：记iA=“第i次取出 4 个球为 2 白 2 黑”,由于是有放回取球,因而iA相互独立,则()22354837iC CP AC=,所以()1111334311,2,7777kkkkP XkP AAAk=.三、解答题（本题共解答题（本题共 6 小题，满分小题，满分 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分 10 分）讨论方程在内根的个数.解解：lnxxk=(0,)+高途考研6 令 则令 得驻点 当时当时 故在处取得最小 值()()0lim,limxxf xkf x+=+若即或0k 则方程在内根的个数 1 个.若即10ek()0;fx10 xe()0,fx()f x1xe=()11,f eke=10,ke=1,ke=lnxxk=(0,)+10,ke1,ke上 连 续，()g x为 偶 函 数，且()f x满 足 条 件()()f xfxA+=（A为常数），（1）证明：当0 x 时，1arctanarctan2xx+=恒成立.（1）证明：0()()()aaaf x g x dxAg x dx=（2）计算定积分22sinarctanxxe dx 解解：(1)令1()arctanarctanh xxx=+,(0)x,则 2222211111()011111h xxxxxx=+=+，所以()h x为一常数.而(1)arctan1arctan12h=+=，所以()2h x=恒成立.（2）0()()()()()()aaaf x g x dxf x g xfx gx dx=+,因为()g x为偶函数，所以()()gxg x=，所以 00()()()()()()aaaaf x g x dxf xfx g x dxAg x dx=+=.（3）取()arctanxf xe=，()sing xx=，2a=且()()arctanarctan2xxf xfxee+=+=，所以2202sinarctansin22xxe dxxdx=21.（本题满分 12 分）设向量组123111:2,22032Aabaab =+=+，及向量133=，问,a b何值时？高途考研8 （1）向量能由A线性表出且表法唯一；（2）向量不能由A线性表出；（3）向量能由A线性表出，且表法不唯一，并求一般表达式.解解：设3322111xxx+=.对方程组增广矩阵进行初等行变换.()12311111111,222 30103230323Aababaabaab =+111 101000abab.（1）当,0ab a时()()3=ArAr方程组有唯一解，且 321110,1,xxxaa=12111aa=+.（2）当0a=，()(),b r Ar A，方程组无解，即不能由321，线性表出.（3）当0,aab=时,()()23r Ar A=.此时，方程组有无穷多解.0110000111aaA，令得,3tx=：.11,112axatx=+=321111tata+=，t为任意常数.22.（本题满分 12 分）设随机变量X的概率密度为3(1),01()0,Axxxf x=其它.(1)求常数A;(2)求X的分布函数;(3)求3YX=的概率密度.高途考研9 解：解：(1)由概率密度的性质，得 130(1)120AAxx dx=,故20A=.(2)当0 x 时，()0F x=;当01x时，33220()20(1)(4152010)xF xttdtxxxx=+;当1x 时，()1F x=.综上，3220,0()(4152010),011,1xF xxxxxxx=+.(3)3yx=单调递增，其反函数为13,01xyy=，因此，3YX=的概率密度为 11113333320(1),01()(),01()=30,0,XYyyyfyyyfy=其它其它.高途考研