2015考研数一真题解析【公众号“不易学长”持续更新中】.pdf

2015年（数一）真题答案解析一、选择题(1)C解由二阶导函数y=(x)的图形可知，二阶导数为零的点有两个，而x=0则是二阶导数不存在的点.在二阶导数为零的点中只有一个点左、右两侧二阶导数的符号相反，因此对应曲线y=f(x)上一个拐点.在x=0左侧，f(x)为正，在x=0右侧，(x)为负，因曲线y=f(x)上点(0，f(0)也是一个拐点。故曲线y=f(x)共有2个拐点，故应选C.(2)A解由题设条件知，=产，：=一名心是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对应的齐次微分方程的两个特解，由此知r1=2,r2=1是特征方程r2十Qr十b=0的两个根.由一元二次方程根与系数的关系，得a=一(2十1)=一3，b=2,于是原方程化为y”-3y+2y=ce,由二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构知：y3=xe是原方程的一个特解，将y3=xe代人y”-3y+2y=ce2中，得c=-1,即a=-3,b=2,c=-1.故应选A.(3)B解由于级数a7”在r=1处条件收敛，因此该级数的收敛半径R=1,收敛区间为：(-1,1)：根据收敛半径R的计算定理，知级数4，(x一1)”的收敛半径也是R=2,而其收敛区间为：(0,2)：n=1而幂级数m,(x一1)”可视为由an(x一1)”逐项求导所得，根据幂级数的性质知，级数龙=1之0，一1D的收敛区间仍是(0,2)，因30,2)，所以x=3是收敛点而x=3不属于(0,2)，由数项级数收敛与发散的定义知级数mn2”发散，即x=3是发散点.(4)By3x解如右图示，在极坐标系中积分区域D为：y=x川音97aVsin20D-23y=1于是有/x)dw=高49y=11f(rcos0,rsin8)rdr.故应选B./2sin29(5)D111解A=(a-2)(a-1)(2-1)=(a-2)(a-1).14a2(14)1解由于相关系数为0，所以X,Y都服从正态分布，即XN(1,1),YN(0,1),且X和Y相互独立.由XN(1,1),可得X-1N(0,1),所以PXY-Y0=P(X-1)Y0=PX-10+PX-10,Y0=PX-10+PX-10PY0三、解答题(15)解由于1n(1+x)=x-女+2+3+o(x),sinz=x-6+o(x3),所以f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx=x+a-+写)+x+o(x)=1+a)x+(6-2)r2+号+ox).1+a=0,b因为f(x)与g(x)=x3在x0时等价，所以2ak=3解得a=-1,62k3(16)解曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线方程为y=f(xo)(x-xo)+f(xo),该切线与：销的交点为，一光品小根据题设条件可知号fx）./x)1=4,2 f(xo)即y=f(x)满足方程y=g)y.1解得y=一C+x因为f0)=2,所以C=-号8故f(x)=4-,xI.(17)解因为函数在每一点沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数是该点梯度向量的长度，而gradf(x,y)=(1+y,1+x),|gradf(x,y)|=W(1+x)2+(1+y).,因此，问题转化为求(1十x)2+(1+y)在条件x2+y2十xy=3下的最大值.令F(x,y,A)=(1+x)2+(1+y)2+(x2+y2+xy-3),由F=2(1+x)+A(2x十y)=0,Fy=2(1+y)+A(2y+x)=0,F=x2+y2+xy-3=0解得x=1,x=-1,x=2,x=-1,0=1,y=-1,=-1,=2.又|gradf(1,1)|=2W2,gradf(-1,-1)=0,|gradf(2,-1)=gradf(-1,2)|=3,所以f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为3.(18)解(I)因为函数u(x),v(x)可导，所以lim=0ux+)=2=M),mu+）-=x,且or+）=rxx+0 xA从而u(x)u(x)=im(x+x)u(z十x)-u(x)o()工*0 xlimu(x+x）-u(z+x）+u)ux+x）-)x+0 xxu(x+x)-(x）.limu(x+x)+u(x)im(x+x)-(x)lim八.rnxA了-*0 x=u(.x)w(.r)+u(x)v(x).()f(x）=u1(x)u2(x)un(x)十u1(x)u2(x)un(x)十十u1(x)u2(x)un(x).(19)解设L:是从点B到点A的直线段，为平面z=x上由L与L,围成的半圆面下侧，其法向量的方向余弦为（二0,由Stokes公式(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+x2y2dz1+L111022ds=1(2xy+1)dS.xay2y+222-x2十yx2y2由于曲面关于xOz平面对称，所以2x2ydS=0,故fy+d+d/ds=2.又L1的参数方程为x=0,y=y,之=0(y从一2到W2),所以(y+)dz+(-+y)dy+xydz=ydy=0.因此1=2元.(20)解(I)由于(B:,B2,B3)=(2a1+2ka3,2a2,a1+(k+1)a3）=(a1,a2,a3)P,20其中P=0202k0k+1且P=40，所以B1,B2,B3为R3的一个基.()设5在基a1,2,a3与基B1,B2,B3下的坐标向量为x,则5=(a1,a2,a3)x=(B1,B2,B3)x=(a1,a2,a3)Px,所以(P-E)x=0.对P一E施以初等行变换101101P一E=0100102k(00-k所以当=0时，方程组(P一E)x=0有非零解，且所有非零解为c为任意非零常数.-1故在两个基下坐标相同的所有非零向量为5=(a1,a2,030=c(a1一a3),c为任意非零常数.(21)解(I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr(A)=tr(B),A=B,于是3+a=2+b,2a-3=b,解得a=4,b=5.02-31一20()由(I)知A3-3,B=00-2403由于矩阵A与矩阵B相似，所以|E-A=|E-B=(A-1)2(A-5).故A的特征值为入1=入2=1，入3=5.当入，=入2=1时，解方程组(E一A)x=0,得线性无关的特征向量5