2016年数学三真题答案解析【公众号“不易学长”持续更新中】.pdf

2012016 6年年则limS,l从而级数2厂-1)收敛,-=nl石石厂言1 由正项级数的比较判别法知级数i=(-l)sin(n+k)绝对收敛故应选A.nl rn rn+f(5)C解设p-1AP-B,有(P-1AP)T=BT即有 PTA气pT)-1=BT,即A正确；(P-1AP)-1=B飞有p-iA-1P=B飞即B正确，而D正确故应选C.(6)C解二次型的矩阵A:由队E-A IO,alO.故应选C.(7)A解P(AB)P(A IE)=l,则PCB)=P(AB),PCB)故P(A U B)=P(A)+PCB)-P(AB)-P(A),所以PCB IA)PCB IA)1 P(A U B)1P(A)p CA)1 P CA)1-P CA)1.故应选A.(8)C解D(XY)=E(X2Y勹E(XY)2-E(X勹E(Y2)-(EX EY尸（由X与Y独立）-DX+(EX)2DY+(EY)勹1-14.故应选C.二、填空题(9)61 解由于当X_.Q时，,/1+f(x)sin Zx1 f(x)sin Zx,sin ZxZx,产13x,2 1 f(x)sin Zx-/1+f(x)sin Zx-1 2 f(x)圆Lllim=lim=lim=2,艾-oe31-1工-o3x丁-o3 所以limf(x)=6.工、-o(10)sinlcosl解由定积分的定义知1 1 2 n 严sin-;+2sin-;+nsm-;)11 1 2.2 n n=lim(sin+-sm+sin n-=n n n n n n n)=:x sinx dx=I:x dcosx=-x cosx I:+:cosx dx=-cosl+sinx/。=sinl-cosl.(11)dx+2dy 解等式(x+l)zy2=x汀(x-z,y)两边分别关于x,y求导，得z+(x+l)z:=2xf(xz,y)+x21:cx-z,y).(1-z:);(x+l)z:2y=x2f:(xz,y)(z:)+f(xz,y).再将x=O,y=1代入原式，可得z=l.将x=O,y=l,z=1代入上述两式，得已1,式=2.故dz I o,1)=已dx十式dy=也十 2dy.1 2(12)一3 3e 解积分区域D如右图所示，D关于y轴对称，记D1=(x,y)IOxl,x冬y1由对称性知2e-y2 dx dy=2 II X 2 e-y2 dx dy=2 r dy r X 2 e-y2 dxD D1 o o=r y:i e-y2 dyr te-dt=l3 0 令沪=t 3 0 J t d e一t3 0=te一，订1e-1 dt=上-3 0 3 0 3 3e(13)入4十入3+2炉+3入十 4解按最后一行展开，得y”。l X 1(-1)叶1x4入入(1)4+3 X 2。1 o入1一入。入+(1)11-2 X 3 O1 0 入+(1)4+4(A+1)01 0。矿入3+2 入2+3入+4.。1 1一入0o入 1。1。入2_9解）41（取球次数恰好为4次，说明第4次有一种颜色，前3次有两种颜色由古典概率公式，得P=c.c.2 2 349.三、解答题(15)解且因为1 lim ln(cos2工+2工sinx)lim(cos2x+Zx sinx)言=e-x 工-oln(cos2x+2x sinx)12sin2x+2sinx+Zx cosx lim 4=lim 工-oX工-0cos2x+Zx sinx4x 3 2cos2x+2cosxxsinx=lim 工-o6x2 4sin2x3 sinxxcosx=lim 工-0l2x，1_3 I I 所以E环(cos2x+2x sinx卢=e了(16)解C I)由题设p dQ p .=Q dp 120-p.所以厂=J1 Q 120-p dp,可得 lnQ=lnC120p)十lnC,即Q=CC120-p)又最大需求量为1200,故C=10,所以需求函数Q=l200-10p.1 C II)由C I)知，收益函数R=120QQ2边际收益R(Q)=120-Q.1 10 5 当p=100时，Q=200,故当p=100万元时的边际收益R(200)=80,其经济意义为：销售第201件商品所得的收益为80万元(17)解当O=f:I t2x2 I c1t 十J:I t2-x2 I cit=J:(x2-t2)dt十I:(t2x2)clt=x3-x2+;f(x)t;xt;主f,:八(1),1叩x;+2当X 1时，f(x)=r(x2t勹dt=x2-所以而故J_(1)=lim x-I-J(x)=4x22x,2x,0 l.Ox l,11 由J(x)=O求得唯一驻点x=，又!()O,从而x2 2 2 值为f计）勹(18)解令u=xt则f:1cxt)dt=f勹(u)du由题设f:f(u)du=x f:f(t)dtf:汀(t0)dt+e-x1,求导得f(x)=f勹(t)dte-x且f(O)=1.。因此J(x)-f(x)=e-x,从而f(x)=efdx(c+f尸e-fdx dx)e 一x=Cex 2 1 1 由八0)=1,得C=，所以f(x)=(e+e-x).2 2 X 2n+4 为f(x)的最小值点，最小(19)解 因为lim(n+2)(2n+3)X 2n+2=x2所以当Ix ll时，n-。(n+l)(2n+D 幕级数发散=又当x=土1时，级数/1 I/门I收敛，所以幕级数的收敛域为-1,l no=X 2n+2 记fCx)=/,x E 1,1,则n-0 厂(x)-2 i=X 2n+l这Zn+l，广(x)=2x2-2 2,xEC-l.D.n-0 n-0 lx因为厂(0)=O,f(O)=0,所以当XE(1,1)时，f(x)r f Ct)dt=r 2 2 dt=ln(l+X)-ln(l X)0 0 1t f(x)=f:J(t)dt=J:1nC1+t)dt-J:ln(lt)dtCl+x)lnCl+x)+Cl-x)ln(lX)。，日吁41，J解）2 l，1.01-0 1a#(+I，,，2E_a 12 I+axxa,1az2a且2)2,nx-0-2 Cl11oza nX(）1002 fx/a f_换变m7-.l-l x(丁丿Iilf1，2 41 等01-A=+、丿初Za秩）1 x（以寸1施l)+P（2n)In门，霾allX _ 2，+2A )n1（cx广忆阵fE负m）t i凡I3X _（）fI）1(（f以刀牛又所角）。2（CA:Pl:a+1 1 由方程组尤解知，秩(Ala a(I)对矩阵(ATA:Arp)施以初等行变换CATA:APk:lli I II:,所以，方程组ATAx-ATP的通解x:+k I(k为任意常数）(21)解C I)因为J :入11I入EA I=2 入+3oI=入（入十1)(入+2)0 0入所以A的特征值为九=1,儿=2,入3-o.当入1时，解方程组(EA)x=0,得特征向量f1=Cl,l,O)勹当儿2时，解方程组(-2 EA)x-O,得特征向噩名=(1,2,0)飞当儿=0时，解方程组Ax=0,得特征向量f3=(3,2,2)T.1 1 3 令P(丘丘名）,2,则0 0 2 2 P-AlI 所以(-1)99 A99=P。1 1 3 1 2 2。2 299-22100 2。C II)因为B2=BA,所以。(-2)99。(-1)99。1299 1 2100。p-1。2 l2。11 1(2)99。2。1 2 2 298 2-299。BIOO=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=BA99 l299 即(p,p,p,)-(a,a三二二。l2100。2 2;所以P1=C2992)a i+(21002)a 2,-(1-2飞+(l2飞,-(2-Z)a,+(2Z)a,l(22)解(I)(X,Y)的概率密度为C II)对于OtY,X冬t1dxT3dy。3=-t2-t32 l PU冬OPX Y=,2 PX冬t)=dx厂3dyzt+t 3.0 r2 由于PU乏o,x冬t#-PUOPXt),所以U与X不相互独立c III)当zO时，F(z)=0;当Oz Y,X冬z)3 2 1=zz 2 当l乏zZ时，F(z)-PU+X冬z=PU=O,Xz+PU=l,Xz1 1 3=+Z(z-1)宁(z1)2;2 2 当z2时，F(z)=PU+Xz=l.F(之）o,3 z2z3 2 所以1 3+2(z1)主(z1)2 2 2 1,(23)解C I)总体X的分布函数为F(x);,二:B,I,X诊e.从而T的分布函数为Fr(z)F(z);,1,所以T的概率密度为9z8 fr(z)O,OzO,o,其他(Il)E(T)=z八(z)dz-=寸9z90 09 9 10 0 dz 9 从而E(aT)=a0.10 令E(aT)=0,得a=.10 9 10 所以当a=时，E(aT)=0 9 z o,Oz0,z0.z O,0z 1,1z 2,乏2.