24考研数学基础教材（数一三适用）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

新东方在线考研1官方订阅号官方微博最幸福的事就是，陪你考上专属考研数学基础教材（数一、三适用）考研数学基础教材（数一、三适用）2 新东方在线考研1 目 录高等数学第一章 函数、极限、连续 2第二章 导数与微分 15第三章 中值定理及导数应用 21第四章 不定积分 31第五章 定积分及其应用 36第六章 常微分方程 46第七章 向量代数和空间解析几何（数一）54第八章 多元函数微分学 64第九章 多元函数积分学 75第十章 无穷级数（数一、三）93高等数学（答案）第一章 函数、极限、连续 104第二章 导数与微分 110第三章 中值定理及导数应用 113第四章 不定积分 120第五章 定积分及其应用 124第六章 常微分方程 130第七章 向量代数和空间解析几何（数一）138第八章 多元函数微分学 139第九章 多元函数积分学 143第十章 无穷级数（数一、三）151线性代数第一章 行列式 157 考研数学基础教材（数一、三适用）2 新东方在线考研1高等数学 1 第一章 函数、极限、连续 考考试试内内容容 函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立.数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限,无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限：0sinlim1xxx=,1lim 1exxx+=.函数连续的概念,函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.考考试试要要求求 1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题中的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小 值定理、介值定理）,并会应用这些性质 1函数的定义、性质及典型函数 1 1 函函数数的的定定义义 设D是一个非空的实数集,如果有一个对应规则f,对每一个xD,总有唯一确定的值y与之对应，则这个对应规则f称为定义在D上的一个函数,记()yf x=,称x为函数的自变量,y为函数的因变量或函数值,D称为函数的定义域,并把实数集()|,Zy yf xxD=称为函数的值域.【例例 1 1.1 1】绝对值函数.0,0,=xxxxxy 2 2 函函数数的的性性质质 考研数学基础教材（数一、三适用）2 新东方在线考研3 3 III）奇偶性：21k=+或121k=+时,yx=是奇函数；2k=时,yx=是偶函数,其中k为任意整数.三三角角函函数数：sinyx=；cosyx=；sintancosxyxx=；coscotsinxyxx=；1seccosyxx=；1cscsinyxx=.熟记前三个的以下性质：I）定义域：R,R,2x xk+；II）值域：1,1,1,1,R；III）奇偶性：奇,偶,奇；IV）周期性：2,2,；V）常用单调性：在(0,)2内,分别单调递增,单调递减,单调递增；VI）特殊函数值：x 0 6 4 3 2 3 2 2 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1 0 cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 1 tan x 0 3 3 1 3 0 0 反反三三角角函函数数：arcsinyx=；arccosyx=；arctanyx=；arccotyx=.I）arcsinyx=是sin22yxx=的反函数,arccosyx=是()cos0yxx=的反函数,arctanyx=是tan22yxx=的反函数；II）定义域：1,1,1,1,R；III）值域：,2 2,0,2 2；IV）奇偶性：奇,无,奇；V）单调性：单调递增,单调递减,单调递增；VI）性质：arcsinarccos(11)2xxx+=,arctanearctane2xx+=,lim arctan2xx=,lim arctan2xx+=.关于基本初等函数的概念,性质及其图像非常重要,影响深远.例如：以后经常会用xxarctanlim+；xxarctanlim；10lim exx+；10lim exx；xxlnlim0+等等.就需要对函数arctanyx=,exy=,xyln=的图像很清晰.(2 2)复复合合函函数数 设函数()yf u=的定义域是fD,函数()ux=的定义域是D,值域是R.若fRD，则称函数()()yfx=为复合函数，它的定义域是().fDxDxx且 u称为中间变量，x称为自变量.考研数学基础教材（数一、三适用）4 新东方在线考研5 5 【例例 1 1.5 5】判断对错 若对任意的0,总存在0N,当nN时,有|2naA,数列na是否以常数A为极限.若数列na有一个子列以常数A为极限,数列na是否以常数A为极限.若na有界,limnna是否一定存在.1 1.2 2.函函数数极极限限 自自变变量量趋趋于于有有限限值值时时的的函函数数的的极极限限 设函数()f x在点0 x的某一去心领域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数（无论它多么小）,总存在正数,使得当x满足不等式00 xx时，对应函数值满足不等式()f xA 那么常数A就叫做函数()f x当0 xx时的极限，记作()0limxxf xA=或()f xA（当0 xx）自自变变量量趋趋于于无无穷穷大大时时的的函函数数的的极极限限 设函数()f x当x大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数（无论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式xX时,对应的函数值满足不等式()f xA 那么常数A就叫做函数()f x当x 时的极限,记作()limxf xA=或()f xA（当x ）附附：(1)()limxf xA=任给0,存在0X,当xX时,有()f xA.(2)()0limxxf xA=任给0,存在0,当00 xx时,有()f xA.(3)()0limxxf xA+=（用0(0)f x+表示()f x在0 x的右极限值）任给0,存在0,当00 xx时,有()f xA.(4)()0limxxf xA=（用0(0)f x 表示()f x在0 x的左极限值）任给0,存在0,当00 xx时,有()f xA.其中0(0)f x+称为()f x在0 x处右极限值,0(0)f x 称为()f x在0 x处左极限值.考研数学基础教材（数一、三适用）6 新东方在线考研7 7 （3 3）两两个个无无穷穷小小的的比比较较 如果lim0,=那么就说是比的高阶无穷小,记作()=;如果lim,=那么就说是比的低阶无穷小;如果lim0,c=那么就说与是同阶无穷小;如果lim0,0kck=,那么就说 是关于的k阶无穷小;如果lim1,=那么就说 与是等价无穷小,记作;定理：与是等价无穷小的充分必要条件为()=+【例例 1 1.8 8】当0 x+时,与x等价的无穷小量是（）（A）1 ex （B）ln(1)x+（C）0 x （D）ln(1)xx+【例例 1 1.9 9】当0 x 时,下列无穷小中哪项是其它三个的高阶无穷小（）（A）2x （B）1 cosx （C）211x （D）sintanxx 3求极限的方法 1 1.四四则则运运算算 设()lim f xA=,()limg xB=,则()()lim f xg xAB+=+；()()lim f xg xAB=；()()lim f xg xA B=；()()limf xAg xB=()0B.【例例 1 1.1 10 0】若lim()()f xg x+存在,lim()f x及lim()g x是否存在？若lim()()f xg x+及lim()g x存在,是否一定有lim()f x存在？2 2.两两个个重重要要极极限限 1sinlim0=xxx.1lim 1ennn+=；1lim 1euuu+=；()10lim 1exxx+=.考研数学基础教材（数一、三适用）8 新东方在线考研9 9 设()=xflim,()=xglim,在x变化过程中,()xf,()xg皆存在且()0 xg,若()()Axgxf=lim（或）,则()()Axgxf=lim（或）.注注：当0 x 时,21ln(1)2xxx+,33321sintan,31arctan,31tanxxxxxxxxx,.61arcsin,61sin33xxxxxx 【例例 1 1.1 17 7】求极限).0(lnlim+nxxnx【例例 1 1.1 18 8】();0elim+为正整数，求nxxnx【例例 1 1.1 19 9】求极限sinlimxxxx+=.【例例 1 1.2 20 0】求极限()211 coslim.1xxx+【例例 1 1.2 21 1】求求下下列列极极限限：（1 1）()tan032eelim11xxxxx+（2 2）xxxxsinln1lim20 （3 3）()2sin11coslnlim1xxx （4 4）xxxxxxsin114lim22+（5 5）2011limtanxxxx （6 6）21limln 1xxxx+（7 7）()xxxxx3lim22+（8 8）xxx2sin0lim+5 5.利利用用左左右右极极限限求求极极限限 【例例 1 1.2 22 2】求1402esinlim1 exxxxx+.6 6.极极限限存存在在的的两两个个准准则则 夹夹逼逼准准则则：如果数列,nnxy及 nz满足下列条件：（1）从某项起,即0nN+,当0nn时,有nnnyxz；（2）lim,lim,nnnnyaza=那么数列 nx的极限存在,且limnnxa=.考研数学基础教材（数一、三适用）10 新东方在线考研11 11 语语言言:0,0,.0|,|stxy 则称函数()yf x=在点0 x处连续.定定义义 3 3:如果()()=00limxfxfxx存在且等于()0 xf,即()(),00 xfxf=那 么 就 是 说 函 数()xf在 点0 x左左 连连 续续,如 果()()+=+00limxfxfxx存 在 且 等 于()0 xf,即()(),00 xfxf=+那么就是说函数()xf在点0 x右右连连续续.【例例 1 1.2 27 7】若2sin2e1,0(),0axxxf xxax+=,在(,)+上连续,则a=.2 2.函函数数的的间间断断点点及及其其分分类类 函函数数的的间间断断点点的的定定义义:如果函数()yf x=在点0 x的某个去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数()f x有下列三种情形之一：（1）在0 xx=没有定义;（2）虽在0 xx=有定义，但是()0limxxf x不存在；（3）虽在0 xx=有定义，且()0limxxf x存在，但()()00limxxf xf x；那么函数()f x在点0 x为不连续,而点0 x称为函数()f x的不连续点或间断点.函函数数的的间间断断点点的的分分类类 第第一一类类间间断断点点 设0 x是函数()yf x=的间断点.如果()f x在间断点0 x处的左、右极限都存在,则称0 x是()f x的第一类间断点.进一步地，若()()()()00000f xf xf x=+，则称0 x是()f x的第一类间断点中的可去间断点；若()()0000f xf x+，称0 x是()f x的第一类间断点中的跳跃间断点。第第二二类类间间断断点点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点.常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点.【例例 1 1.2 28 8】0 x=是()sin xf xx=的 间断点；是()xf xx=的 间断点；是()1f xx=的 间断点.考研数学基础教材（数一、三适用）12 新东方在线考研13 13 (4)设函数()yfg x=由函数()ug x=与函数()yf u=复合而成,()0.f gU xD若函数()ug x=在0 xx=连续,且()00g xu=,而函数()yf u=在0uu=连续,则复合函数()yfg x=在0 xx=也连续.(5)一切初等函数在它的定义域内是连续的.5 5.闭闭区区间间上上连连续续函函数数的的性性质质 在闭区间ba,上连续的函数()f x,有以下几个基本性质.定定理理 1 1:（有界定理）如果函数()f x在闭区间ba,上连续,则()f x必在ba,上有界.定定理理 2 2:（最大值和最小值定理）如果函数()f x在闭区间ba,上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m.其中最大值M和最小值m的定义如下：对于区间I上有定义的函数()f x，如果有0 xI,使得对任一xI都有()()0f xf xM=那么称()0f x是函数()f x在区间I上的最大值.同样可以定义最小值m.定定理理 3 3:（介值定理）如果函数()xf在闭区间ba,上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在ba,上至少存在一个,使得()cf=,即：闭区间上的连续函数必取得最大值和最小值之间的一切值.定定理理 4 4:（零点定理）:如果函数()xf在闭区间ba,上连续,且()af与()bf异号,则在()ba,内至少存在一个点,使得()0=f.【例例 1 1.3 32 2】证明五次代数方程0155=xx在区间2,1内至少有一个根.【例例 1 1.3 33 3】假设函数()f x在闭区间0,1上连续,并且对0,1上任意一点x有()01.f x 试证明在0,1中必存在一点c,使得().f cc=【例例 1 1.3 34 4】设函数()f x在0,2上连续,且()()()0123fff+=,证明必存在0,2,使得()1.f=考研数学基础教材（数一、三适用）14 新东方在线考研15 15 （A）()()111!nn （B）()()11!nn（C）()()11!nn （D）()()1!nn 单单侧侧导导数数概概念念 右导数：0000000()()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx +=左导数：0000000()()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx +=()f x在点0 x处可导()f x在点0 x处左、右导数皆存在且相等.【例例 2 2.4 4】下列描述正确的是（）设)(af 存在,则hhafhafh)()2(lim0+存在.设hhafhafh)()2(lim0+存在,则)(af 存在.设20(1cos)(0)limln(1)hfhfh+存在,则)0(f 存在.【例例 2.5】设()xf在ax=的某个邻域内有定义,则()xf在ax=处可导的一个充分条件是（）（A）()1limhh faf ah+存在.（B）()()hhafhafh+2lim0存在.（C）()()hhafhafh22lim0+存在.（D）()()hhafafh0lim存在.2 2.导导数数的的几几何何意意义义与与物物理理意意义义 如果函数()yf x=在点0 x处导数0()fx存在,则在几何上0()fx表示曲线()yf x=在点()00,()xf x处的切线的斜率.切线方程：000()()()yf xfxxx=法线方程：00001()(),()0)()yf xxxfxfx=.设物体作直线运动时,路程S与时间t的函数关系为()Sf t=,如果0()f t存在,则0()f t表示物体在时刻0t时的瞬时速度.【例例 2 2.6 6】若曲线lnyx=的切线经过原点,求此切线方程.考研数学基础教材（数一、三适用）16 新东方在线考研17 17 6 6.可可微微与与可可导导的的关关系系 ()f x在0 x处可微()f x在0 x处可导,且00d()x xyA xfxx=,一般地,若()yf x=,则d()dyfxx=.所以导数d()dyfxx=也称为微商,就是微分之商的含义.7 7.高高阶阶导导数数的的概概念念 如果函数()yf x=的导函数()yfx=在点0 x处仍是可导的,则把()yfx=在点0 x处的导数称为()yf x=在点0 x处的二阶导数,记以0 x xy=或0()fx或022ddx xyx=等,也称()f x在点0 x处二阶可导.把()yf x=的1n阶导数的导数,称为()yf x=的n阶导数记以()ny,()()nfx,ddnnyx等,这时也称()yf x=是n阶可导.2.导数和微分的计算 1.常常用用导导数数公公式式()0=c（c为常数）()1xx=（实常数）()sincosxx=()xxsincos=()xx2sectan=()xx2csccot=()xxxtansecsec=()xxxcotcsccsc=考研数学基础教材（数一、三适用）18 新东方在线考研19 19 【例例 2 2.1 11 1】设3etan()xyxyy+=,求0ddxyx=.【例例 2 2.1 12 2】求由方程ee0yxy+=所确定的隐函数的导数xydd和.dd022=xxy 4.反反函函数数的的求求导导 设)(xfy=与)(ygx=互为可导的反函数,且()0g y,则1()()fxg y=.【例例 2 2.1 13 3】设3exyx=+其反函数为()xy=,求()e1+.5 5.莱莱布布尼尼茨茨公公式式 ()()1(1)2(2)()()nnnnnnnuvuvC uvC uvuv=+.【例例 2 2.1 14 4】已知2exyx=,求)(ny.6 6.参参数数方方程程求求导导（数数一一、二二）若=),(),(tyytxx则dd()ddd()dyyy ttxxx tt=dxdttxtydtddxdydxddxyd=)()(22【例例 2 2.1 15 5】设=.1,22tytx,求22ddyx.【例例 2 2.1 16 6】设()=+=.arctan,1ln2ttytx,求22ddyx.7 7.分分段段函函数数求求导导 【例例 2 2.1 17 7】设()cos0()0 xxxf xxax=,其中()x具有二阶导数,且(0)1=,(0)0=.确定a的值,使()f x在0 x=处连续.求()fx.考研数学基础教材（数一、三适用）20 新东方在线考研21 21 【例例 3 3.1 1】设函数()f x在0,1上连续,()0,1内可导且()()00,11,ff=证明:存在()0,1,使得()1.f=【例例 3 3.2 2】如果函数()f x在0,3上连续,在()0,3内可导,()()()0123,fff+=且()31.f=证明：存在()0,3,使得()0.f=【例例 3 3.3 3】若函数()f x在(),a b内具有二阶导数,且()()()123f xf xf x=,其中123,axxxb 证明：在()13,x x内至少存在一点,使得()0.f=【例例 3 3.4 4】不用求出函数()()()()()1234f xxxxx=的导数,说明方程()0fx=有几个实根,并指出它们所在的区间.3 3.拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 设函数()f x满足:（1）在闭区间,a b上连续；（2）在开区间(),a b内可导；则在(),a b内至少存在一点(),a b,使得()()()f bf afba=.有时也写成()()()000f xxf xfxxx+=+,()01,这里0 x相当a或b都可以,x可正可负 【例例 3 3.5 5】设,0ba 证明：bbabaabaln 【例例 3 3.6 6】证明当0 x时,()xxxx+1ln1 推推论论 1若函数()f x在区间I上连续,I内可导且()0fx,则()f x在区间I上是一个常数.推推论论2若()f x,()g x在(),a b内皆可导,且()()fxgx,则在(),a b内()()f xg xc=+,其中c为一个常数【例例 3 3.7 7】证明恒等式：arcsinarccos(11)2xxx+=.考研数学基础教材（数一、三适用）22 新东方在线考研23 23 【例例 3.9】求极限.sin21)1ln(lim30 xxxxxx+【例例 3.10】求极限)1ln(ecoslim2202xxxxxx+（2）（拉格朗日型余项）泰勒中值定理（泰勒公式）如果函数()f x在0 x的某个邻域0()U x内具有(1)n+阶导数，那么对任一0()xU x，有()()()()()()()()()()()(1)2+1000000002!(1)!nnnnfxfxff xf xfxxxxxxxxxnn+=+这里是0 x与x之间的某个值。当00 x=时，也称为带有拉格朗日型余项的麦劳考林公式.()()()()()()()(1)2+1 000 02!(1)!nnnnffff xffxxxxnn+=+【例例 3 3.1 11 1】设0()lim1xf xx=,且()0fx,证明().f xx 2导数的微分学应用 1 1.函函数数的的单单调调性性 定定理理：设函数()f x在,a b上连续,在(),a b内可导.如果在(),a b内()0,fx 且等号仅在有限多个点处成立,那么函数()yf x=在,a b上单调增加;如果在(),a b内()0,fx 且等号仅在有限多个点处成立,那么函数()yf x=在,a b上单调减少;【例例 3 3.1 12 2】当20 x时,证明：331tanxxx+【例例 3 3.1 13 3】证明：()+xxxxx,11ln122【例例 3 3.1 14 4】当2eeba时,证明：()abab222e4lnln 2 2.函函数数的的极极值值 （1 1）极极值值定定义义 设函数()f x在点0 x的某邻域()0U x内有定义,如果对于去心邻域()0U x内的任一x,有 考研数学基础教材（数一、三适用）24 新东方在线考研25 25 1.求出()f x在(),a b内的驻点及不可导点;2.计算()f x在上述驻点、不可导点处的函数值及()(),f af b;3.比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是()f x在,a b上的最大值，最小的便是()xf在,a b上的最小值。（2）求实际问题的最值的方法 首先,建立实际问题的函数()f x,其次求()f x的驻点（一般情况下驻点唯一）,最后判定驻点是极大值点还是极小值点,从而得到极大值点为最大值点,极小值点为最小值点【例例 3 3.1 17 7】函数2cosyxx=+在区间0,2上的最大值为 【例例 3 3.1 18 8】函数2xyx=在(0,1上的最小值为 【例例 3 3.1 19 9】求数列 nn的最大项.4 4.函函数数的的零零点点或或方方程程的的根根 方程()0f x=的根就是函数()f x的零点,讨论函数的零点（或方程的根）的问题常利用零点定理及单调性,结合数形结合的思想方法,作出函数的简图（奇偶性可以简化做题）.【例例 3 3.2 20 0】设常数0k,函数()lnxf xxke=+在(0,)+内零点个数为()（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 5 5.曲曲线线的的凹凹凸凸性性与与拐拐点点 （1）凹凸性定义:设()f x在区间I上连续,若对任意不同的两点12,x x,恒有()()()()12121212112222xxxxff xf xff xf x+则称()f x在I上是凸（凹）的 在几何上,曲线()yf x=上任意两点的割线在曲线下（上）面,则()yf x=是凸（凹）的如果曲线()yf x=有切线的话,每一点的切线都在曲线之上（下）,则()yf x=是凸（凹）的（2）凹凸性的判定 设函数()f x在,a b上连续,在(,)a b内具有一阶和二阶导数,那么 如果在(,)a b内()0fx,则曲线()yf x=在,a b上是凸的；考研数学基础教材（数一、三适用）26 新东方在线考研27 27 1 1.1 1.增增长长函函数数 (1)线性增长函数：()f tAat（其中A、a为常数）,它是时间t的线性函数.(2)复合增长函数：()(1)tf tAr.(3)指数型增长函数；()ertf tA=.1 1.2 2.需需求求函函数数 设某产品的需求量为Q,价格为p，需求函数()pQ=.一般地，需求函数是单调减少的.其反函数()Qp1=1 1.3 3.供供给给函函数数：设某产品的供给量为Q，价格为p，供给函数()pQ=.一般地，供给函数是单调增加的.1 1.4 4.成成本本函函数数 设C为总成本,1C为固定成本,2C为可变成本,C为平均成本,Q为产量,则有 总成本函数：12()()CC QCC Q.平均成本函数:12()()()CC QC QCC QQQQ.1 1.5 5.收收益益函函数数 设R为总收益,Q为销售量,P为价格,称()RR QPQ为总收益函数.1 1.6 6.利利润润函函数数 设R为总收益,C为总成本,则称()()()L QR QC Q为总利润函数.2 2.边边际际函函数数 2 2.1 1.边边际际函函数数 设函数()yf x可导,则在经济学中称()fx为边际函数.边际函数值表示在0 xx=处函数对自变量的变化率,即自变量改变 1 个单位时函数的改变量.2 2.2 2.边边际际成成本本 设总成本函数为()CC Q,则()CC Q称为边际成本函数.产量为0QQ时的边际成本0()C Q表示：当产量为0Q时,产量Q改变一个单位,总成本()C Q将改变0()C Q个单位.考研数学基础教材（数一、三适用）28 新东方在线考研29 29 0000()()sPPPPP 其经济意义为：当价格为0P时,若提价（降价）1%,供给量则增加（减少）%d.4 4.求求经经济济问问题题的的最最值值的的方方法法 (1)写出经济问题函数关系式；(2)求导,令()0=xf,求得函数的驻点；(3)根据经济问题的实际意义确定函数的最大值还是最小值.【例例 3 3.2 25 5】设总成本C关于产量x的函数为21()40032C xxx=+,需求量x关于价格P的函数为100Px=,求：边际成本；边际收益；边际利润；收益对价格的弹性 考研数学基础教材（数一、三适用）30 新东方在线考研31 31 【例例 4 4.2 2】()(),0,dsin,0 xxf xf xxxx=设求 3 3.不不定定积积分分的的性性质质 （1）设函数()xf及()xg的原函数存在,则 ()()d()d()df xg xxf xxg xx=+（2）设函数()xf的原函数存在,k为非零常数,则()d()dkf xxkf xx=（3）()d()f xxf x=或d()d()df xxf xx=.【例例 4.3】求：（1）()321dxxx；（2）2tandx x；（3）221dsincos22xxx 4 4.基基本本积积分分公公式式 1Cxxx+=+1d1 ()，实常数1 2+=Cxxxlnd1 3+=Caaxaxxln1d ()1,0aa 4.Cxxx+=ede 5+=Cxxxsindcos 6+=Cxxxcosdsin 7Cxxxxx+=tandcos1dsec22 8Cxxxxx+=cotdsin1dcsc22 9Cxxxx+=secdsectan 10Cxxxx+=cscdcsccot 11Cxxx+=sinlndcot 12Cxxxx+=tanseclndsec 13Cxxxx+=cotcsclndcsc 14+=Caxxaxarcsind22()0a 15Caxaxax+=+arctan1d22()0a 16Cxaxaaxax+=ln21d22()0a 17.Cxxx+=coslndtan 18Caxxaxx+=2222lnd()0a【例例 4 4.4 4】已知(ln)1fxx=+,则()f x=.考研数学基础教材（数一、三适用）32 新东方在线考研33 33 22ax)0(x 令xasect=nbax+令tbaxn=+abtxn=【例例 4 4.6 6】求不定积分22daxx（0a）.【例例 4 4.7 7】求不定积分()()0d23223+axaxx【例例 4 4.8 8】求不定积分+3dxxx【例例 4 4.9 9】求不定积分21 e dxx+【例例 4 4.1 10 0】已知,0a 计算不定积分:xaxxxad1;d12222+3 3.有有理理函函数数的的积积分分 （1）有理函数的相关定义：有理函数是指两个多项式的商表示的函数101101()()nnnmmma xa xaP xQ xb xb xb+=+,其中01,naaa及01,mb bb为常数,且00a,00b.如果分子多项式)(xP的次数n小于分母多项式)(xQ的次数m,称分式为真分式；如果分子多项式)(xP的次数n大于或等于分母多项式)(xQ的次数m,称分式为假分式.利用多项式除法可得,任一假分式可转化为多项式与真分式之和.（2）定理：若上面定义中的真分式的分母)(xQ可以被因式分解成()()()()slkqpxxbxaxbxQ+=20（)042 qp 则 12212211222222()()()()()()()()kkllsssAAAP xQ xxaxaxaBBBxbxbxbPxQPxQP xQxpxqxpxqxpxq=+公式：2211ln(0)2axC aaxax+=+【例例 4 4.1 11 1】求下列不定积分 考研数学基础教材（数一、三适用）34 新东方在线考研35 35 第五章 定积分及其应用 考考试试内内容容 定积分的概念和基本性质,定积分中值定理,积分上限的函数及其导数,牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式,换元积分法与分部积分法,反常（广义）积分,定积分的应用.考考试试要要求求 1.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿莱布尼茨公式 2.理解反常积分的概念,了解反常积分收敛的比较审敛法和极限审敛法，会计算反常积分.3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值（数数 学学一一、二二）.4.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积以及函数的平均值,会利用定积分求解简单的经 济问题.(数数学学三三).1定积分的定义、几何意义及其性质 1 1.定定积积分分的的定定义义 设()yf x=在,a b上有界,在ba,中任意插入若干个分点 0121=nnaxxxxxb,把区间,ba分成n个小区间,12110nnxxxxxx 各小区间的长度依次为 1102211nnnxxx,xxx,xxx,=在每个小区间iixx,1上任取一点i（iiixx1）,作函数值()if与小区间长度ix的乘积iixf)(（1,2,in=）,并作和iinixfS=)(1,记12max,nxxx=,只要当0时,这和的极限总存在,且与闭区间ba,的分法及点i的取法无关,那么称这个极限I为函数)(xf在区间,ba上的定积分,记作()xxfbad,即 考研数学基础教材（数一、三适用）36 新东方在线考研37 37 （1）当ab=时,()d0aaf xx=.（2）当ba 时,()d()d.abbaf xxf xx=（3）设与均为常数,则()()()()xxgxxfxxgxfbababaddd+=+（4）设,bca 则()()()xxfxxfxxfbccabaddd+=（5）如果在区间ba,上(),0 xf 那么()()baxxfba0d;推推论论 1 1：如果在区间ba,上()()xgxf,那么()()()baxxgxxfbabadd 推推论论 2 2：()()()baxxfxxfbabadd (6)设M及m分别是函数()fx在ba,上的最大值和最小值,则：()()()abMxxfabmbad(7)定积分中值定理：如果函数()fx在积分区间,a b上连续,则在,a b上至少存在一点,使得下式成立：()d()()baf xxfba=.定义：我们称1()dbaf xxba为函数()fx在区间ba,上的平均值.（8）奇偶函数的积分性质：若()f x为奇函数,则()d0aaf xx=；若()f x为偶函数,则0()d2()daaaf xxf xx=.（9）周期函数的积分性质:设()fx以T为周期,a为常数,则 考研数学基础教材（数一、三适用）38 新东方在线考研39 39 ()()()()aFbFxFxxfbaba=d 推广形式：设()()()(),d21ttfxFxx=()()xx21,可导,()xf连续,则()()()()()2211Fxfxxfxx=.【例例 5 5.1 11 1】设()xf具有三阶连续导数,()xfy=的图形如下图所示,问下列积分中哪一个为负？（A）()xxfd31（B）()xxfd31（C）()xxfd31 （D）()xxfd31 3定积分的换元积分法和分部积分法 1 1.定定积积分分的的换换元元积积分分法法 定定理理：假设函数()xf在区间ba,上连续,函数()tx=满足条件：（1）()a=,()b=;（2）()t在,（或,）上具有连续导数,且其值域,baR=则有；()()()=batttfdxxfd.【例例 5 5.1 12 2】计算下列定积分：520cossin dxx x 402d21xxx+xxxdsinsin053 +axaxx022d 【例例 5 5.1 13 3】设()xf在1,0上连续,证明:()();dcosdsin2020 xxfxxf=()();dsin2dsin00 xxfxxxf=考研数学基础教材（数一、三适用）40 新东方在线考研41 41 ()xxfbd发散；类类似似的的也也有有()()()ttfttfttfxaxaxxdlimdlimd+=,若这两个极限同时存在,则称()txfd+收敛且收敛于上述极限值,否则就发散.【例例 5 5.1 17 7】计算：xxxde0+exxdx2ln 21d1xx+常常用用的的广广义义积积分分的的公公式式：+0e d!nxxxn=；()1;1d0;1;papxaxp+收敛发散 1,1d(1)ln1,papxaxxp+收敛发散.无无界界函函数数的的反反常常积积分分（也叫瑕积分有三种形式：下限为瑕点、上限为瑕点、区间内有点为瑕点）基本概念：设)(xf在点a的任何一个邻域内都无界,则称a为()fx的瑕点,包含了瑕点的定积分就是瑕积分.当a为瑕点时,若()ttfbxaxdlim+存在,则称瑕积分()xxfbad是收敛的且收敛于上述极限值,否则就发散,即()().dlimdttfxxfbxaxba+=当b为瑕点时,若()ttfxabxdlim存在,则称瑕积分()xxfbad是收敛的且收敛于上述极限值,否则就发散,即()().dlimdttfxxfxabxba=当),(bac为瑕点时,若()ttfxacxdlim和()ttfbxcxdlim+同时存在时,则称()xxfbad是收敛的且收敛于上述极限值,否则就发散.即()xxfbad()+=ttfxacxdlim()ttfbxcxdlim+.【例例 5 5.1 18 8】计算：10ln xdx；120d1xxx；e211d1(ln)xxx.常常用用公公式式：1,1d()1,bpapxxap收敛发散.【例例 5 5.1 19 9】以下关于反常积分敛散性说法中正确的是（）考研数学基础教材（数一、三适用）42 新东方在线考研43 43 设曲线 C 的参数方程=)()(tyytxxt则由该曲线、bxax=,以及x轴所围成的平面图形的面积为()()dSy t x tt=.【例例 5 5.2 22 2】计算心形线()()1 cos0aa=+所围成的图形的面积.2 2.平平面面曲曲线线的的弧弧长长 直角坐标系 设光滑曲线()yy x)bxa（