01.考研数学预备知识0基础知识点09讲义【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

1 0 基础知识点基础知识点 09一、知识框架二、知识点概要（一一）微分方程的概念）微分方程的概念1微分方程含有未知函数导数的方程称为微分方程.2微分方程的阶微分方程的一般形式为()(,.,)0nF x y y yy.其中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的阶.求解微分方程的目的是要找出这样的函数()yx，把它代入微分方程后方程()(,(),(),(),()0nF xxxxx成为恒等式.3通解和特解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解通解.确定了通解中的任意常数之后，就得到微分 2 方程的特解特解.如果微分方程是一阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是00()y xy；如果微分方程是二阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是0000(),()y xyy xy.（二）一阶微分方程（二）一阶微分方程1.可分离变量方程形如：()()yf x g y 解法：分离变量得()()dyf x dxg y，所以()()dyf x dxg y.2.齐次方程形如：yyfx 解法：令yux，则yux，duyuxdx，原方程()duuxf udxln|()()dudxduxCf uuxf uu.3.一阶线性微分方程形如：()()yP x yQ x解法：（1）方程两边同乘积分因子()P x dxe，然后积分化简：()()()P x dxP x dxyeQ x edxC.（2）直接代入通解公式：()()()P x dxP x dxyeQ x edxC（三）高阶线性微分方程（三）高阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程形如：0ypyqy其中,p q均为常数 3 解法：特征方程为20pq（1）当12,为不同的特征根时，齐次方程的通解为1212()xxy xC eC e.（2）当12时，齐次方程的通解为12()()xy xCC x e.（3）当i（复根）时，齐次方程的通解为12()(cossin)xy xeCxCx三、练习题例 1.求微分方程2y40dxxx dy的通解例 2.求微分方程2223220 xxyydxxxy dy的通解.例 3.微分方程tancosyyxx的通解为y _.例 4.求下列微分方程的通解.（1）320yyy（2）20yyy（3）220yyy