01.考研数学预备知识0基础知识点04讲义【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

0 基础知识 04一、知识框架二、知识点概要1.定理定理 1（洛必达法则）（洛必达法则）设(),()f xg x满足：（1）0)(lim)(limxgxf或)(lim)(limxgxf；（2）(),()f xg x在极限点的附近均可导且0)(xg（3）)()(limxgxf为某常数A或为.则有)()(lim)()(limxgxfxgxf.2.定理定理 2（泰勒（泰勒公式公式）（1）（泰勒中值定理）设)(xf在0 xx 的邻域内有直到1n阶导数，则有 2000000002!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxo xxn称此种形式的余项为佩亚诺型余项.特别地，若00 x，则 20000()2!nnnfff xffxxxo xn称为麦克劳林公式.（2）常用函数在0 x 处的泰勒公式：211e1()2!xnnxxxo xn 23111ln(1)(1)()23nnnxxxxxo xn 2131211sin(1)()3!(21)!nnnxxxxo xn 2221cos1(1)()2!(2)!nnnxxxo xn 331arcsin()6xxxo x331tan()3xxxo x331arctan()3xxxo x211()1nnxxxo xx211(1)()1nnnxxxo xx 2(1)(1)12!mm mxm xx(1)(1)()!nnm mmnxo xn3.函数单调性的判定函数单调性的判定设函数()yf x在,a b上连续，在(,)a b内可导，1）若在(,)a b内0)(xf,则函数()yf x在,a b上单调增加；2）若在(,)a b内0)(xf,则函数()yf x在,a b上单调减少4.极值极值（1）定义若存在0 x的某邻域0 xU，使得对任意的0 xU x，都有0()()f xf x，则称0 x为()f x的极大值点，0()f x为()f x的极大值.类似的可定义极小值.（2）极值的必要条件)(xf在0 x处可导，且)(xf在0 x取得极值，则0)(0 xf（3）极值的充分条件定理 1（第一充分条件）设函数()f x在0 x处连续，并在0 x的某去心邻域0(,)U x内可导：1）若00(,)xxx时，()0fx，而00(,)xxx时，()0fx，则()f x在0 x处取得极大值；2）若00(,)xxx时，()0fx，而00(,)xxx时，()0fx，则()f x在0 x处取得极小值；3）若0,xU x时，()fx符号保持不变，则()f x在0 x处没有极值.定理 2（第二充分条件）设)(xf在0 xx 处具有二阶导数，且0)(0 xf，则1）若0)(0 xf，则0 xx 为)(xf的极小点；2）若0()0fx，则0 xx 为)(xf的极大点；3）若0)(0 xf，则0 xx 可能是)(xf的极值点，也可能不是.5.函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性与拐点（1）凹凸性1）定 义：设 函 数()f x在 区 间I上 连 续，任 取 两 点12,x xI，恒 有1212()()()22f xf xxxf，则称曲线()yf x在区间I是凹（凸）的.2）凹凸性的判别定理若在I上()0fx（或()0fx），则()f x在I上是凸的（或凹的）.（2）拐点的定义及判定1）定义：连续函数凹凸性的分界点称为拐点.2）拐点的判定拐点的第一充分条件（用二阶导）设()yf x在点0 xx处连续，且在0 x的某去心邻域内二阶可导.若()fx在0 xx的左右两侧变号，则点00(,()xf x是曲线()f x的拐点；若()fx在0 xx的左右两侧不变号，则点00(,()xf x不是曲线()f x的拐点.注：上述“拐点的第一充分条件”反映在连续函数()f x的导函数()fx的图形上就是()fx的单调性相反的点.拐点的第二充分条件（用三阶导）设()f x在点0 xx处三阶可导，且00()0,()0fxfx，则00(,()xf x是曲线的拐点.三、练习题例 1.求极限30)12(cosarctanlimxxxx.例 2.求极限20sin1lim11xxexx.例 3.求极限xxxexx2220sincoslim2.例 4.设函数()yf x在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）.（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点