01.2025周洋鑫考研数学零基础提前学讲义【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2025 最新版 2025 考研数学周洋鑫 零基础提前学 微博/b 站/小红书考研数学周洋鑫 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 2 目录 零基础 1考研必备高中知识衔接.4【考点 1】函数的概念.4【考点 2】函数的四种特性.5【考点 3】基本初等函数.7【考点 4】分段函数.14【考点 5】初等函数.14【考点 6】复合函数.15 零基础 2函数极限定义.17【考点 1】函数极限的定义.17 零基础 3函数极限计算.18【考点 1】极限定型.18【考点 2】无穷小量.19【考点 3】利用泰勒公式求极限.23【考点 4】洛必达法则.26【考点 5】极限四则运算.27 零基础 4七种未定式极限专题.29【考点 1】方法体系（先定型后定法，定法之前先四化）.29【考点 2】七种未定式专题讲解.29【考点 3】左右开弓法求极限.33 零基础 5连续与间断.34【考点 1】函数连续的定义.34【考点 2】闭区间函数连续.35【考点 3】初等函数的连续性.35【考点 4】函数的间断点及其分类.35 提前学 6导数的定义.37【考点 1】导数的定义.37【考点 2】单侧导数.38【考点 3】函数的可导性与连续性之间的关系.39 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 3 提前学 7导数的计算.41【考点 1】必备知识.41【考点 2】复合函数求导.42【考点 3】隐函数求导法则.43【考点 4】参数方程求导（数一、二）.45【考点 5】分段函数求导.45 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 4 零基础 1考研必备高中知识衔接【考点【考点1】函数的概念函数的概念 设x与y是两个变量，D是一个非空的实数集，若存在一个对应法则f，使得对于每一个xD，按照这个对应法则，有唯一确定的实数值y与之对应，则称f为定义在D上的一个函数函数，记为()yf x=，称x为函数的自变量自变量，y为函数的因变量因变量，D为函数的定定义域义域，并把相应的函数值的全体(),Ey yf xxD=称为函数的值域值域.【小课堂】【小课堂】1.若两个函数为同一函数，当且仅当两函数的定义域的对应法则完全相同，例如()yf x=与()yf t=为同一个函数，也说明函数的表示与自变量用什么字母无关.2.函数定义域是指函数自变量的取值范围自变量的取值范围，具体问题中务必明确函数自变量是哪个部分，例如函数()25fx+与()f x的自变量均为x；3.在同一对应法则下，()f括号内整体的取值范围是一样的.【例【例1.1】设()f x的定义域为5,10，则2(1)f x+的定义域为（）A.3,2 B.2,3 C.3,22,3 D.3,3 【例【例1.2】设函数()21fx+的定义域为1,3，则函数()f x的定义域为（）A.0,1 B.1,0 C.1,1 D.3,7 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 5 【考点【考点2】函数的四种特性函数的四种特性 1.奇偶性奇偶性 设()f x的定义域D关于原点对称，若对xD，恒有()()fxf x=，则称()f x为偶偶函数函数；若对xD，恒有()()fxf x=，则称()f x为奇函数奇函数【小课堂】【小课堂】1.若()f x偶函数，则()f x图像关于y轴对称.2.若()f x奇函数，则()f x图像关于原点0 x=对称，且当()f x在0 x=处有定义时，()00f=.3.设()f x在区间(),l l内有定义，则()()()F xf xfx=+为偶函数，()()()G xf xfx=为奇函数 4.奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数.5.奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数无法确定.【例【例1.3】以下四个函数：()12xxeefx+=；()22xxeefx=；()31ln1xfxx=+；()()24ln1fxxx=+其中是奇函数的个数是（）.A0 B1 C2 D3 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 6 2.周期性周期性 设函数()f x的定义域为D，若存在一个正数T，使得对于任意xD，有xTD+，且()()f xTf x+=，则称()f x为周期函数，且正数T为()f x的周期.【小课堂】【小课堂】几个常见的周期函数及其最小正周期T：（1）sinyx=，2T=；（2）cosyx=，2T=；（3）tanyx=，T=；（4）cotyx=，T=；（5）sin,yx T=；（6）22sin,cos,yx yxT=.3.单调性单调性 设()f x在区间I上有定义，若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx时，恒有12()()f xf x成立，则称()f x在区间I上是单调递增单调递增.若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx时，恒有12()()f xf x成立，则称()f x在区间I上是单调递减单调递减.4.有界性有界性 设函数()f x的定义域为D，且区间ID，若存在常数0M，使得对于任意xI均有()fxM，则称()f x在I内有界有界，否则，则称()f x在I内无界无界.【例【例1.4】（1990 年，数三）设函数sin()tanxf xxx e=，则()f x是（）.A偶函数 B无界函数 C周期函数 D单调函数 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 7 【考点【考点3】基本初等函数基本初等函数 基本初等函数包括：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数.1.三角函数三角函数（1）正（余）弦函数 正弦函数：sinyx=余弦函数：cosyx=图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 有界性 （2）正（余）切函数 正切函数：tanyx=余切函数：cotyx=图像 定义域 值域 周期性 奇偶性 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 8 （3）正（余）割函数 正割函数：secyx=余割函数：cscyx=图像 周期性 奇偶性 重点 公式 （4）诱导公式 关于周期性 sin(2)kx+=,cos(2)kx+,tan()kx+=,cot()kx+=.关于奇偶性 sin()x=,cos()x=,tan()x=,cot()x=.奇变偶不变，符号看象限 sin()x+=,cos()x+=,sin()x=,cos()x=,()k2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 9 sin()2x+=,cos()2x+=,sin()2x=,cos()2x=,tan()+=,tan()=,tan()2+=,tan()2=.（5）重点特殊函数值速记 0 6 4 3 2 sin x cosx tanx cot x secx cscx （6）二倍角公式（与降幂公式）二倍角公式 sin2x=,cos2x=.降幂公式 2sin x=,2cos x=.两角和、两角差公式()sin xy+=,()sin xy=,()cos xy+=,()cos xy=.万能公式 sin x=,cosx=,tan x=.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 10 2.反三角函数反三角函数（1）反正（余）弦函数 arcsinyx=arccosyx=定义 sinyx=在区间内的反函数，记为arcsinyx=.cosyx=在区间0,内的反函数，记为arccosyx=.图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 等式 （2）常见函数值 arcsin0=,arcsin1=,1arcsin2=,2arcsin2=,3arcsin2=，()arcsin1=,arccos0=,arccos1=,1arccos2=,2arccos2=,3arccos2=,()arccos1=,2 2 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 11 （3）反正（余）切函数 arctanyx=arccotyx=定义 tanyx=在区间,2 2 内的反函数，记为arctanyx=.cotyx=在区间()0,内的反函数，记为arccotyx=.图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 常用 极限 lim arctanxx=lim arctanxx+=lim arccotxx=lim arccotxx+=（4）常见函数值 arctan0=,arctan1=,arctan 3=,3arctan3=,()arctan1=,()arctan3=,2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 12 3.指数函数指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 单调性 极限 lim_xxa+=,lim_xxa=.lim_xxa+=,lim_xxa=.【小课堂】【小课堂】指数函数中常考xye=，图像与性质如下：图象 极限 (0 xyaa=1)a 1a 01a2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 13 4.对数函数对数函数 定义 函数logayx=(0a 且1a)叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 单调性 【小课堂】【小课堂】指数函数中常考lnyx=，图像与性质如下：图象 定义域 值域 过定点 单调性 运算性质 1a 01a2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 14 5.幂函数幂函数 名称 幂函数()yxR=第一象限内的函数图象 过定点 极限 运算性质（1）abxx=，（2）abxx=，（3）()bax=，（4）nmx=.【考点【考点4】分段函数分段函数 如果自变量的不同变化范围内用不同表达式表示的函数称为分段函数分段函数，例如()sin,01,0 xxxf xex=或()21sin,0,0,0.xxf xxx=【考点【考点5】初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的用一个表达式表示的函数称为初等函数初等函数，一般地，不能用一个数学式子表达的函数为非初等函数非初等函数，例如分段函数()sin,01,0 xxxf xex=，符号函数1,0sgn0,010 xxxx=均为非初等函数.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 15 【考点【考点6】复合函数复合函数 设函数()f u的定义域为U，函数()ug x=的定义域为D，值域为Z.若ZU，则称()yfg x=是定义在D上的复合函数，其中x为自变量，y为因变量，u为中间变量.此外，()yf u=称为外层函数，()ug x=为内层函数.【例【例1.5】设2,0()2,0 xxg xxx=+，2,0(),0 xxf xxx=，故()gf x为（）.A.22,02,0 xxxx+.B.22,02,0 xxxx+.C.22,02,0 xxxx.D.22,02,0 xxxx+.【例【例1.6】设1,1,()0,1,xf xx=则()fff x=（）A.0 B.1 C.0,1,()1,1,xf xx=D.1,1,0,1,xx 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 16 【例【例1.7】已知2()exf x=，()1fxx=，且()0 x，则（）.A.()()ln 1,0 xxx=.B.()()ln 1,01xxx=.C.()()ln 1,0 xxx=.D.()()ln 1,01xxx=.【刻意刻意练习】练习】设()1,10,11,1xf xxx=，()xg xe=，求()fg x，()gfx.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 17 零基础 2函数极限定义【注】【注】本节零基础提前学阶段要求较低，重点以理解函数极限定义为主，至于函数极限定义的应用以及函数极限的性质将会在基础阶段重点学习，希望大家注意课程体系的安排。【考点【考点1】函数极限的定义函数极限的定义 【小课堂】【小课堂】类似地，还有以下几种类型的函数极限:（1）对于任意，有.（2）对于任意，有.（3）对于任意，有.（4）()limxfxA+=对于任意，有.（5）()limxfxA=对于任意，有.()Axfxx=+0lim0()Axf()Axfxx=0lim0()Axf()limxf xA=0()Axf0()Axf0()Axf2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 18 零基础 3函数极限计算【考点【考点1】极限定型极限定型 【例【例3.1】233lim1xxx+【例【例3.2】023lim7cosxxxexx+【例【例3.3】2123lim54xxxx+【例【例3.4】3232342lim753xxxxx+【例【例3.5】（经典题）.22411limsinxxxxxx+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 19 【考点【考点2】无穷小量无穷小量 1.1.定义定义 若()lim0 xfx=，则称()f x为x 时的无穷小.2.2.无穷小量比阶无穷小量比阶 若()()lim0,lim0,xxxx=且，对于()()limxxx，（1）若()()lim0 xxx=，则称为的高阶无穷小，记为()()()xox=；（2）若()()limxxx=，则称为的低阶无穷小；（3）若()()lim0 xxAx=，则称为的同阶无穷小，（4）当()()lim1xxx=时，称与互为等价无穷小，记为.3.3.常见等价无穷小常见等价无穷小 当0 x 时，有：sin,arcsin,tan,arctan,xxxxxxxx ()()21ln 1,11cos,11.2xxxexxxxx+,【方法总结】【方法总结】()0 x()x()x()x()x()x()x()x()x()()xx2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 20 【例【例3.6】当0 x 时，确定下列无穷小量的等价无穷小.（1）()2sin1 cosxx .（2）211x .（3）23arctan1xxe .（4）tansinxx .4.4.利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限 【例【例3.7】计算=.【例【例3.8】求下列极限：（1）；（2）()xxxxcos1)1ln(lim30+()()220tanlim1 1cosxxxxex()3321ln 11limarcsin21xxx+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 21 【例【例3.9】计算()()()2203arctansin1lim11 1 cosxxxxexx=.【例【例3.10】计算()0arctan ln 1limsinxxxex+=.【例【例3.11】计算222055lim1 sinxxxex+=.【例【例3.12】考虑下列式子 sinlim1xxx=.0lim0sinxxx=.1lim sin1xxx=11limsin1xxx=.其中正确的个数为（）.（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 22 【例【例3.13】时，下列无穷小中哪项是其它三个的高阶无穷小量（）（A）()2ln 1x （B）（C）（D）【例【例3.14】设33123(cos1)ln(1)1 1xxxxx=+=+，当0 x+时，以上3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A）123,（B）231,（C）213,（D）321,5.5.无穷小的重要性质无穷小的重要性质 无穷小与有界变量乘积仍是无穷小.6.6.高阶无穷小运算法则高阶无穷小运算法则 设,m n为正整数，（1）加减法的低阶吸收原则低阶吸收原则()()(),min,mnlo xo xo xlm n=（2）乘法的叠加原则叠加原则()()()mnm no xo xo x+=()()mnm nxo xo x+=（3）数乘的无关原则无关原则()()()()0mmmo xo kxko xk=，0 x 1 cosx211xtanxx2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 23 【例【例3.15】（2013 年，数三）当0 x时，用“)(xo”表示比x高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是（）.（A）)()(32xoxox=.（B）)()()(32xoxoxo=.（C）)()()(222xoxoxo=+.（D）22()()()o xo xo x+=7.7.等价无穷小充分必要条件等价无穷小充分必要条件 【考点【考点3】利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 24 【例【例3.16】证明：0 x 时，31sin6xxx.【例【例3.17】证明：0 x 时，()3211tan,ln 132xxx xxx+【例【例3.18】（2008 年，数一/数二，9 分）求极限()40sinsin sinsinlimxxxxx.【方法总结】【方法总结】务必记住由泰勒公式推出的 6 个等价无穷小公式（理解）当0 x 时，有（1）sinxx .（4）arcsinxx .（2）tanxx .（5）arctanxx .（3）()ln 1xx+.（6）1xex .2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 25 【例【例3.19】（2009 年，数一/数三）已知当0 x 时，()3sinsin3f xxx=与kcx是等价无穷小量，则（）.（A）1,4=kc.（B）1,4=kc.（C）3,4=kc.（D）3,4=kc.【例【例3.20】设0 x 时，()22cosxg xxe=与bax是等价无穷小，求,a b值.【例【例3.21】0arctanarcsinlimtansinxxxxx.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 26 【考点【考点4】洛必达法则洛必达法则【注】（1）洛必达法则的要求是极其严格的，虽然在大学学习过程中我们广泛地利用该方法求解函数极限，但经过多年教学发现这其实是很多同学的短板，很多同学对洛必达法则的理解只是浅显地停留在第一个基本要求上.（2）要想学习洛必达法则，就不得不使用到基本的函数的导数计算，在微积分教材的编排上导数极限将会在第二章进行学习，但作为考研的同学，一开始的学习不掌握洛必达法则这一方法，函数极限计算的基本体系就难以形成，大家也不用担心，在零基础阶段适用洛必达法则都是一些非常基本的导数计算，大家都可以直接入手！（3）要注意，这一定义在基础阶段我们将会更加深入地进行探讨.1.法则法则 1：（00型）设()0lim=xf，()0lim=xg，且x变化过程中，()xf，()xg皆存在且()0g x，且()()Axgxf=lim（或），则()()Axgxf=lim（或）.2.法则法则 2：（型）设()=xflim，()=xglim且x变化过程中，()xf，()xg皆存在且()0 xg，且()()Axgxf=lim（或），则（或）.【注】【注】如果()()xgxflim不存在且不是无穷大量的情形，则不能得出()()xgxflim不存在且不是无穷大量情形.【例【例3.22】()()32031lim111xxxxeeexx+()()Axgxf=lim2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 27 【例【例3.23】2limxxxe+=.【例【例3.24】3lnlimxxx+=.【例【例3.25】（2007 年）3231lim(sincos)2xxxxxxx+=+_.【考点【考点5】极限四则运算极限四则运算 若()lim fxA=，()limg xB=，则：（1）()()()()limlimlimf xg xf xg xAB=；（2）()()()()limlimlimf x g xf xg xA B=（3）()()()()()limlim0.limf xf xABg xg xB=【例【例3.26】判断下列命题的正确性.（1）若()()lim fxg x+存在，则()lim f x与()limg x均存在.（）（2）若()()lim fxg x+存在，且()limg x存在，则()lim f x存在.（）2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 28 【例【例3.27】（2010 年）若011lime1xxaxx=，则a等于（）.（A）0（B）1（C）2（D）3 【例【例3.28】()()2013sincoslim1 cosln 1xxxxxx+.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 29 零基础 4 七种未定式极限专题【考点【考点1】方法体系方法体系（先定型后定法，定法之前先四化）（先定型后定法，定法之前先四化）【考点【考点2】七种未定式专题讲解七种未定式专题讲解（1）00型未定式型未定式 【例【例4.1】（2015 年，数一/数三，4 分）20lncoslimxxx=【例【例4.2】（2008 年，数三，9 分）求极限201sinlimlnxxxx.【例【例4.3】求极限 )cos1(limtan0 xxeexxx2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 30 【例【例4.4】求极限301tan1sinlimxxxx+.（2）型未定式型未定式【例【例4.5】求极限()ln 1limxxex+.【例【例4.6】求极限()()4384ln2limln51xxxxx+.（3）型未定式型未定式【例【例4.7】求极限2011lim()tanxxxx 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 31 【例【例4.8】求极限12lim(1)xxxex （4）1型未定式型未定式（重要）（重要）【大招大招方法总结】方法总结】【例【例4.9】求极限21ln(1)0lim(cos)xxx+【例【例4.10】（2011 年，数一，10 分）求极限1e10ln(1)limxxxx+.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 32 【例【例4.11】（2022 年）求极限cot01lim2xxxe+=（5）0型未定式型未定式【例【例4.12】求极限0limlnxxx+.（6）0型未定式型未定式（7）00型未定式型未定式【例【例4.13】求极限sin0limxxx+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 33 【考点【考点3】左右开弓法求极限左右开弓法求极限（1）()()()000limlimlim.xxxxxxf xaf xf xa+=（2）()()()limlimlimxxxfxafxfxa+=【例【例4.14】设，如果存在，则a=.【例【例4.15】求.【例【例4.16】当1x 时，函数12111xxex的极限（）.（A）等于 2 （B）等于 0 （C）为 （D）不存在但不为 1arctan,1()1,1xf xxaxx=1lim()xf x11011limarctan1xxxexe+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 34 零基础 5连续与间断 【考点【考点1】函数连续的定义函数连续的定义 设函数在点的某个领域内有定义，若 则称函数在点处连续.【例【例5.1】2(cos)0()0 xxxf xax=，在0 x=处连续，则a=.【例【例5.2】（2017 年）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx=在0 x=处连续，则（A）12ab=（B）12ab=（C）0ab=（D）2ab=【例【例5.3】设函数tan21,0arcsin()2,0 xxexxf xaex=在0 x=处连续，则a=.()xfy=0 x()()00limxfxfxx=()xfy=0 x2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 35 【考点【考点2】闭区间函数连续闭区间函数连续 【考点【考点3】初等函数的连续性初等函数的连续性 【例【例5.4】若2sin21,0(),0axxexf xxa x+=，在(,)+上连续，则a=.【考点【考点4】函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 36 【例【例5.5】求下列函数的间断点，并判定间断点的类型.（1）()sin xf xx=；（2）()1xf xe=；（3）()111221xxef xe+=+；（4）()1sinf xx=.【例【例5.6】求函数11()e1xxf x=的间断点，并判定间断点的类型.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 37 提前学 6导数的定义【考点【考点1】导数的定义导数的定义 若函数()yf x=在点0 xx=的某个邻域内有定义，若极限()()0000limlimxxf xxf xyxx +=存在，则称()f x在点0 x处可导，并称此极限值为()f x在点0 x处的导数，记为()0fx，即()()()0000limxf xxf xfxx+=，也记做0 x xdydx=.【小课堂】【小课堂】导数定义也可取不同的形式，在解题中常用的有：（1）增量定义：()()()0000limhf xhf xfxh+=（2）计算型定义：()()()0000limxxf xf xfxxx=.（3）若判定函数()f x在0 xx=处是否可导，仅需判定极限()()000limxxf xf xxx是否存在.【例【例6.16.1】已知函数()1cos,0sin0,0 xxf xxxx=，则()0f=（）.A1 B23 C13 D16 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 38 【例【例6.26.2】（2012 年，数一/数二/数三，4 分）设函数2()(e1)(e2)(e)xxnxf xn=，其中n为正整数,则(0)f=（）.（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn （C）1(1)!nn （D）(1)!nn 【例【例5.1】设在处连续，且，求=.【考点【考点2】单侧导数单侧导数 右导数：()()()()()00000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx+=左导数：()()()()()00000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx +=【注】【注】定理定理：()()()000=.fxAfxfxA+=)(xf2=x14)(lim22=xxfx)2(f 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 39 【例【例5.2】设()322,13,1xxfxxx=，则()f x在1x=处的（）.（A）左、右导数都存在 （B）左导数存在、右导数不存在（C）左导数不存在、右导数存在 （D）左、右导数都不存在 【考点【考点3】函数的可导性与连续性之间的关系函数的可导性与连续性之间的关系 若函数()f x在0 xx=处可导，则()f x在0 xx=处连续，反之不成立.【例【例5.3】判断下列命题的正确性.（1）若()f x在0 xx=处存在，则()f x在0 xx=处连续.（2）若()f x在0 xx=处可导，则()fx在0 xx=处连续.（3）若()0fx存在，则()f x在0 xx=处连续.（4）若()0fx存在，则()fx在0 xx=处连续.若()0fx存在，则()fx在0 xx=处连续.若()0fx存在，则()f x在0 xx=处连续.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 40 【例【例5.4】设函数，试确定、的值，使在点处可导.【刻意练习】【刻意练习】设()2,2,1,2,xb xf xaxx+=+，若()f x在2x=可导，则（）.（A）4,7ab=.（B）4,1ab=.（C）4,5ab=.（D）2,3ab=.()+=1,1,2xbaxxxxfab()xf1=x2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 41 提前学 7导数的计算【考点【考点1】必备知识必备知识（1）导数表导数表【必背】【必背】（实常数）()sincosxx=()eexx=()21arccot1xx=+22221ln()xxaxa+=（2）求导法则求导法则()()()()xgxfxgxf=()()()()()()xgxfxgxfxgxf+=()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf2=()()0 xg ()0=c()1=xx()xxsincos=()xx2sectan=()xx2csccot=()xxxtansecsec=()xxxcotcsccsc=()axxaln1log=()1,0aa()xx1ln=()aaaxxln=()1,0aa()211arcsinxx=()211arccosxx=()211arctanxx+=()22221lnaxaxx+=+2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 42 【考点【考点2】复合函数求导复合函数求导 设()ufy=，()xu=，如果()x在x处可导，()uf在对应点u处可导，则复合函数()xfy=在x处可导，且有()()xxfdxdududydxdy=.【例【例7.1】求下列函数的导数（1）（2）【例【例7.2】设221cossinyxx=，则y=.【例【例7.3】已知()ln(1)(2)(3)f xxxx=，求()fx.【例【例7.4】设()(ln)f xyfx e=，其中f可微，则y=.3tanxey=()221ln1xxxy+=2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 43 【例【例7.5】设(1 sin)xyx=+，则y=.【例【例7.6】设()21arcsinf xxxx=+，则()fx=.【例【例1.8】设()21xf xx=+，()()()()nfxfff x=（n个f），则()nfx=.【考点【考点3】隐函数求导法则隐函数求导法则 2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 44 【例【例7.7】函数()yy x=由方程222sin()0 xxyexy+=所确定，则dydx=.【例【例7.8】设函数()yy x=由方程1eyyx=确定，则0ddxyx=.【例【例7.9】（2012 年，数二，4 分）设()yy x=是由方程21eyxy+=所确定的隐函数,220ddxyx=.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 45 【考点【考点4】参数方程求导（数一、二）参数方程求导（数一、二）【例【例7.10】设sinsincosxtyttt=+（t为参数），则224ddtyx=【考点【考点5】分段函数求导分段函数求导 【例【例7.11】设()sin,0 ,0 x xf xxx=，求()fx.2025 考研数学周洋鑫零基础提前学讲义（最新版）新浪微博考研数学周洋鑫 46 【例【例7.12】设()23max,f xx xx=，求()fx.【例【例7.13】已知函数sin0()10 xxf xxx=，则(0)(1)ff+=().（A）cos1 sin1 （B）sin1 cos1 （C）cos1 sin1+（D）1 cos1 sin1+【例【例7.14】设()22ln 1,0()0,0 xxxf xx+=，则（）.（A）()f x在0 x=处不连续.（B）()f x在0 x=处连续，但不可导.（C）()fx在0 x=处不连续.（D）()fx在0 x=处连续.