2010年考研数学一真题.pdf

2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题参考答案 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题参考答案 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)极限2lim()()xxxxa xb=+（）(A)1 (B)e (C)a be (D)b ae 答案：C 详解：()()()()()()223322221lnlimlimlimlimxxxxxaxbxabxxxx ax bx ax ba bxax bx abxxxxxeeexaxb+=+e=(2)设函数,由方程(,)zz x y=(,)0y zFx x=确定，其中为可微函数，且，则F20F=zzxyuy+=（）(A)x (B)z (C)x (D)z 答案：B 详解：122212221xzyzyzFFFFFzxxxxxFFFx+=,112211yzFFFzxyFFFx=,1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF+=(3)设是正整数，则反常积分,m n()210ln1mnxdxx的收敛性(A)仅与的取值有关 (B)仅与取值有关 mn(C)与取值都有关 (D)与取值都无关,m n,m n答案：C 详解：数学（一）试题答案 第 1 页 共 11 页 考研数学助手您考研的忠实伴侣()()()1221222111110011111ln1ln1ln1111mmn mmmmnnpppnnnxxppdxdxpxxpp=?,2121121n mmnpnmmnnmpmn=收敛，发散，.(4)()()2211limnnnijnninj=+(A)()()1200111xdxdyxy+(B)()()100111xdxdyxy+(C)()()1100111dxdyxy+(D)()()11200111dxdyxy+答案：D 详解：()()22211112limlim11nnnnnnijijnnninjijnnnn=+2211111lim11nnnijinjnn=+()()11200111dxdyxy=+(5)设 A 为型矩阵，B 为型矩阵，E 为 m 阶单位矩阵，若 AB=E，则（）mnnm(A)秩 r(A)=m,秩 r(B)=m (B)秩 r(A)=m 秩 r(B)=n (C)秩 r(A)=n,秩 r(B)=m (D)秩 r(A)=n,秩 r(B)=n 答案：A 解析：由于ABE=，故。又由于()()r ABr Em=()(),()(r ABr A r ABr B)，故 (),()mr A mr B由于 A 为矩阵，B 为矩阵，故 mnnm(),()r Am r Bm 数学（一）试题答案 第 2 页 共 11 页 由、可得(),()r Am r Bm=，故选 A。(6)设 A 为 4 阶对称矩阵，且，若 A 的秩为 3，则 A 相似于（）20AA+=(A)(B)11101110(C)(D)11101110答案：D 解析：设为 A 的特征值，由于20AA+=，所以20+=，即(1)0+=，这样 A的特征值为-1 或 0。由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即A?，因此，即。()r Ar()3=1110=1110A=?(7)设随机变量 x 的分布函数001()01211xxF xxex=，则1P X=（）(A)0 (B)12 (C)112e (D)11e答案：C 解析：()()111111111 0122P XP XP XFFee=44(A)(B)32 (C)23ab+=ab+=1ab+=(D)2ab+=数学（一）试题答案 第 3 页 共 11 页 答案：A 解析：()22112xfxe=，()21,1340,xfx=其它 利用概率密度的性质()()()()031210013124aa24f x dxafx dxbfx dxfx dxbdxb+=+=+=+4 所以 23ab+=二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)设()20ln 1ttxeyudu=+，求220td ydx=.答案：0 详解：()()22ln 1ln 1tttdytedxe+=+,()()()(22222ln 12ln 11tttdted ydttetedxdtdxt+=+)te,202|0 xd ydx=(10)20cosxxdx=.答案：4 详解：令xt=，2xt=，dx 2tdt=原式 22000cos22cos2sintttdtttdtt d=t20002sin2 sin22costtttdttdt=0002 2 cos2cos4 cos2sin4tttdt=(11)已知曲线 L 的方程为 y=11,1x x,起点是()1.0，终点是()1,0，则曲线积分2Lxydxx dy+=.答案：0 详解：1222LLL2xydxx dyxydxx dyxydxx dy+=+数学（一）试题答案 第 4 页 共 11 页()()(01221011)xx dxx dxxx dxxdx=+()()012210222xx dxx dxxxdx=+01322310223223xxxx=+211203223=+=(12)设()22,1x y z xyz=+，则的形心的竖坐标z=v .答案：1 详解：22122121100002rrzdrdrzdxdydzdrdrzdzVVV=4421210000112222rrdrdrdrdVV=r1262200011241266113rrddVV=)3(13)设,若由()()(1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TT=T12,形成的向量空间维数是 2，则=.答案：6a=解析：因为由123,形成的向量空间维数为 2，所以123(,)2r =。对123(,)进行初等行变换：123112112112211013013(,)1010130060202000aaa =所以。6a=(14)设随机变量 X 概率分布为!CP XkK=,k=0,1,2.则=2EX .答案：2 数学（一）试题答案 第 5 页 共 11 页 解析：001!kkCP XkCek=（利用0!kkek=），所以1Ce=111!keP Xkekk=即X服从参数为 1 的泊松分布。()()()2221 12E XD XE X=+=+=三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定的位置上指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求微分方程322xyyyxe+=的通解 解 先求方程的通解 32yyy+=00由特征方程解得特征根232+=121,2=所以方程的通解为32yyy+=0212xxcyC eC e=+设特解为*()xyx axb e=+，带入得1,2ab=，故特解为*(2)xyxxe=故方程的通解为*212(2)xxxcyyyC eC ex xe=+=+(16)(本题满分 10 分)求函数()()2221xtf xxt e=dt221xt的单调区间与极值 解 22222211()()xxttf xxt edtxedttedt=2t 所以222443311()2222xxtxxfxxedtx ex exedt=+=令，则()0fx=0,1xx=又22421()24xtxfxedtx e=+201(0)20tfedt=，所以为极小值。(1)0f=因为当1x 时，()0fx，01x时，()0fx，10 x 1x ()0fx 所以()f x的单调递减区间为(,1)0,1 U)数学（一）试题答案 第 6 页 共 11 页()f x的单调递增区间为 1,0)1,)+U(17)(本题满分 10 分)（I）比较()10lnln 1nttdt+与10lnntt dt()1,2,n=L的大小，说明理由（II）记()10lnln 1nnuttdt=+()1,2,n=L，求极限 limnnu解：（I）当01x时0ln(1)xx+，故ln(1)nnt+t，所以lnln(1)lnnnttt+t 1100lnln(1)lnnnttdtt t dt+（II）()11110001lnlnln1nnn()t t dtt t dttd tn+=+211n=+故由()12010ln1nnut t dtn=+，根据夹逼定理得()210limlim01nnnun=+故.lim0nnu=(18)(本题满分 10 分)求幂级数()121121nnnxn=的收敛域及和函数。答案：收敛域为1,1.详解：（1）令(1)1222(1)2221122(1)(1)(21)212(1)121limlimlimlim1(1)(1)21212121nnnnnnnnnnnnxxnxnnnxxxnnxnn+=+=1 1x 时级数收敛.当时，1x=11211(1)(1)2121nnnnnxnn=，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为1,1.(2)设 112211(1)(1)()2121nnnnnnS xxxxnn=1 数学（一）试题答案 第 7 页 共 11 页 令 12111(1)()21nnnS xxn=，12221111()(1)()nnnnnSxxx=，12211()1()1Sxxx=+，1201()(0)arctan01xSxdxSxx=+=+.()arctanS xxx=.arctanxx幂级数的和函数为.(19)(本题满分 10 分)设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为P222:S xyzyz+=1SPxOy面垂直，求点的轨迹C，并计算曲面积分。P()223244xyzIdSyzyz+=+，其中是椭球面位于曲线C上方的部分。S解析：（）令()222,1F x y zxyzyz=+故动点的切平面的法向量为(,P x y z)()2,2,2xyzzy；由切平面垂直xOy，故所求曲线的方程为 C222120 xyzyzzy+=（）由2221xyzyz+=得2213:124zyxy=+在xOy的投影为 22:1D xy+故()()()2232434 344Dxyzdsxdxdyyzyz+=+=+(20)(本题满分 11 分)设 110111aAb =0=1 1 ，已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解（）求，a;数学（一）试题答案 第 8 页 共 11 页（）求方程组 Ax=b 的通解。解析：（I）已知Axb=有 2 个不同的解 ()(,)3r Ar A b=又0A=，即211010(1)(1)11A=+=0，知1=或-1。当1=时，此时，()1(,)2r Ar A b=Axb=无解，1=。代入由()(,)r Ar A b=得。2a=（）31012111211121(,)020102010102111100000000A b=原方程组等价为1323212xxx=，即132333212xxxxx=+=，123332110210 xxxx =+。Axb=的通解为32110210 xk =+，k 为任意常数。(21)(本题满分 11 分)已知二次型123(,)Tf x x xx Ax=在正交变换xQy=下的标准型为21yy22+，且的第三列为Q220,)22T(,.()求矩阵 A；(）证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵 解析：（1）由于二次型在正交变换xQy=下的标准形为21yy22+，所以 A 的特征值为1231,0=。数学（一）试题答案 第 9 页 共 11 页 由 于 Q 的 第 3 列 为22,0,22T，所 以 A 对 应 于30=的 特 征 向 量 为322,0,22T=。由于 A 是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于121=的特征向量为()123,Tx x x=，则30T=，即1322022xx+=。取()(120,1,0,1,0,1TT=)，则12,与3是正交的，且为对应于121=的特征向量。由于12,是相互正交的，所以只需单位化：()()12121210,1,0,1,0,12TT=。取()12311022,100111022Q =，则，110TQ AQ=1102201011022TAQ Q=。（2）由于 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 的特征值为 2，2，1，由于 A+E 的特征值全大于零，故 A+E 是正定矩阵。(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2222(,)xxy yf x yAe+=，x +，y +，求常数A及条件概率密度|Y X(|)fy x 解析：()()()222222221122222211,112222y xxy xxxy yxf x yAeAeeAee+=数学（一）试题答案 第 10 页 共 11 页 利用概率密度的性质得到()()2222112222111,112222y xxf x y dxdyAedxedyA+=（利用正态分布的概率密度为 1，即()222112xedx+=）得到1A=即()()222211222211,112222y xxf x yee=X的边缘概率密度为()()()2222122111,122y xxxXfxf x y dyeedye+=条件概率密度()()()222,1,xxy yY XXf x yfy xexyfx+=+(23)(本题满分 11 分)设总体X的概率分布为 X 1 2 3 P 1-2 2 其中未知，以来表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为）中等于i的个数（）。试求常数，使为()0,1iN=n1,2,3i=123,a a a31iiiTa=N的无偏估计量，并求的方差。T数学（一）试题答案 第 11 页 共 11 页