2006年数一试题【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：一、填空题：16 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（1）0ln(1)lim1 cosxxxx .（2）微分方程(1)yxyx 的通解是 .（3）设是锥面22zxy(01z)的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy .（4）点(2,1,0)到平面3450 xyz的距离d .（5）设矩阵211 2 A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B .（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则 max(,)1PX Y .二、选择题：二、选择题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()yf x具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在0 x处的 增量，y与dy分别为()f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则（A）0.dyy （B）0.ydy （C）0.ydy （D）0.dyy （8）设(,)f x y为连续函数，则1400(cos,sin)df rrrdr等于（A）22120(,)xxdxf x y dy.（B）221200(,)xdxf x y dy.（C）22120(,)yydyf x y dx.（D）221200(,)ydyf x y dx.（9）若级数1nna收敛，则级数（A）1nna收敛.（B）1(1)nnna收敛.（C）11nnna a收敛.（D）112nnnaa收敛.（10）设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y.已知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（B）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（C）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（D）若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.（11）设12,s 均为n维列向量，A是m n矩阵，下列选项正确的是（A）若12,s 线性相关，则12,sAAA线性相关.（B）若12,s 线性相关，则12,sAAA线性无关.（C）若12,s 线性无关，则12,sAAA线性相关.（D）若12,s 线性无关，则12,sAAA线性无关.（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2 列得C，记110010001P，则（A）1CPAP.（B）1CPAP.（C）TCP AP.（D）TCPAP.（13）设,A B为随机事件，且()0,(|)1P BP A B，则必有（A）()().P ABP A （B）()().P ABP B（C）()().P ABP A （D）()().P ABP B （14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且 1211PXP Y，则必有（A）12.（B）12.（C）12.（D）12.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）设区域22(,)1,0Dx y xyx，计算二重积分2211DxyIdxdyxy.（16）（本题满分 12 分）设数列 nx满足110,sin(1,2,.)nxxx n.（I）证明limnnx存在，并求该极限;（II）计算211limnxnnnxx.（17）（本题满分 12 分）将函数2()2xf xxx展开成x的幂级数.（18）（本题满分 12 分）设函数()f u在(0,)内具有二阶导数，且22()zfxy满足等式 22220zzxy.（I）验证()()0f ufuu;（II）若(1)0,(1)1,ff 求函数 f u的表达式.（19）（本题满分 12 分）设在上半平面(,)0Dx y y内，函数(,)f x y具有连续偏导数，且对任意的0t 都有2(,)(,)f tx tytf x y.证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有(,)(,)0Lyf x y dxxf x y dy.（20）（本题满分 9 分）已知非齐次线性方程组 1234123412341,4351,31xxxxxxxxaxxxbx 有三个线性无关的解.（I）证明方程组系数矩阵A的秩()2rA;（）求,a b的值及方程组的通解.（21）（本题满分 9 分）设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3.向量12(1,2,1),(0,1,1)TT 是线性方程组 0Ax的两个解.（I）求A的特征值与特征向量;（II）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得TQ AQ.（22）（本题满分 9 分）设随机变量X的概率密度为 1,10,21(),02,40,Xxfxx 其他.令2,(,)YXF x y为二维随机变量(,)X Y的分布函数，求：（I）Y的概率密度()Yfy;（II）1,42F.（23）（本题满分 9 分）设总体X的概率密度为,01,(;)1,12,0,xf xx其他.，其中是未知参数12(01).,.nXXX为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值12,.nx xx中小于1的个数，求的最大似然估计.答案速查答案速查 一、填空题（1）2（2）xyCxe,C为任意常数（3）2（4）2（5）2（6）19 二、选择题（7）A（8）C（9）D（10）D（11）A（12）B（13）C（14）A 三、解答题（15）ln22（16）（）证明略，lim0nnx；（）16e（17）011()(1)32nnnnf xx，1x （18）（）验证略；（）()ln,0f uu u（19）证明略（20）（）证明略；（）2a，3b 通解为12 22 43 15 0 1 0 0 0 1kkx，1k，2k为任意常数（21）（）A的特征值为0,0,3；对应于特征值0的全体特征向量为1122kk（1k,2k为不全为零的任意常数），对应于特征值3的全体特征向量为33k（3k为任意非零常数），其中3(1,1,1)T（）111 62321 0 63111 623Q，0 0 3（22）（）3,01,81(),14,80,.Yyyfyyy其他（）11,424F（23）Nn