25数学第四次习题带练讲义【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

悄悄的努力！25 数学第四次带练 题型题型 4-1：不定积分不定积分 1.不定积分的概念不定积分的概念（1）如果在区间I上，可导函数()F x的导函数为()f x；即对任一xI都有()()F xf x或d()()dF xf xx，那么函数()F x就称为()f x或()df xx在区间I上的一个原函数；（2）称()d()f xxF xC为()f x或()df xx在区间I上不定积分.【注】【注】原函数存在性相关结论：连续的函数一定存在原函数 有第一类间断点和第二类无穷间断点的区间一定不存在原函数 有振荡间断点的区间可能存在原函数 2.不定积分的不定积分的性质性质（1）()()kf x dxkf x dx（0k 为常数）（2）11()()d()d()dkkf xfxxf xxfx x（3）()d()f xxf x或微分形式：d()d()df xxf xx（4）()d()F x xF xC或d()()F xF xC（C是任意常数）3.不定积分的计算不定积分的计算（1）第一类换元法：设()f u有一个原函数()F u，()ux可导，则有（也称凑微分）()()()d()d()()uxfxxxf uuF uCFxC （2）第二类换元法：设()xt单调可导，且()0t，()()ftt原函数为()G t，则 1()()d()()d()()xtf xxftttG tCGxC 三角换元三角换元：22ax 22ax 22xa 22 21()ax n次根式换元：次根式换元：naxb 21ex （3）分部积分法：ddu vuvv u.悄悄的努力！（4）两类常见的不定积分.有理函数积分有理函数积分 真分式拆分类型模板 类型一：类型一：21(1)(2)(3)xyxxx 类型二：类型二：321(1)(2)xyxx 类型三：类型三：221(1)(1)xyxxx 类型四：类型四：2221(1)(1)xyxxx .三角函数积分三角函数积分 形如(sin,cos)dRxxx a.一般方法（万能代换）令tan2xt 2222212,(sin,cos1dd)11ttRxxxRtttt b.特殊方法（凑微分变为有理函数）第一种情况第一种情况：若(sin,cos)(sin,cos)RxxRxx，则令 cosux 例.d2sin(cos1)xxx 第二种情况第二种情况：若(sin,cos)(sin,cos)RxxRxx，则令 sinux 例.d2cos(sin1)xxx 第三种情况第三种情况：若(sin,cos)(sin,cos)RxxRxx 或上下同阶，则令 tanux 例.dsin(sincos)xxxx，d1sinxx【1】下列函数中哪些是21xx的原函数？（1）arcsin(21)x （2）arccos(12)x（3）2arctan1xx （4）12arctan1x 悄悄的努力！【2】设()F x是()f x的原函数，则下列命题正确的是（A）11(ln)d(ln)faxxFaxCxa （B）1(ln)d(ln)faxxFaxCx（C）1(ln)d(ln)faxxaFaxCx （D）11lndlnfaxxFaxCxx 【3】求解不定积分221d(4)xu 【4】计算32224d21()()xxxxxxx 【5】计算241dsincosxxx 悄悄的努力！题型题型 4-2：定积分定积分 1.定积分的概念定积分的概念 1lim()dbninababafaif xxnn【注【注 1】几何意义【注【注 2】若取0a，1b，即为常见形式：1011lim()dnniiff xxn n【注【注 3】x的对应方式有三种常见形式.【注【注 4】夹逼准则和定积分定义的使用.2.定积分的性质定积分的性质 性质 1：(),mf xM xa bm M设其中为常数，则()()d()bam baf xxM ba.性质 2：积分中值定理 设()f x在,a b上连续，则在,a b上至少存在一个，使()d()()baf xxba f【注【注 1】此处的所属区间可以改为(,)a b.【注【注 2】推广：若()f x，()g x在,a b上连续，()g x不变号，则()()d()()dbbaaf x g xxfg xx，其中ab.3.积分上限函数积分上限函数（1）设函数()f x在区间,a b上可积，则称()()d ()xa xf ttaxb为变上限积分（积分上限函数）.【注【注 1】函数可积的条件：闭区间连续的函数一定可积 在闭区间上有界且只有有限个间断点的函数一定可积 在闭区间上有界且单调的函数一定可积【注【注 2】变上限积分可导的条件 若()f x有可去间断点0 xx，则()()dxa xf tt在0 xx可导 若()f x有跳跃间断点0 xx，则()()dxa xf tt在0 xx不可导 悄悄的努力！（2）变限积分求导 定理：如果函数()f x在区间,a b上连续，则变上限积分()()dxa xf tt在,a b上可导，且()()d)()xa xf ttf x，()axb.变限积分求导公式：()d()xaf ttf x，()axb；()d()bxf ttf x，()axb；()()d()()u xaf ttf u x u x；()()()d()()()()u xv xf ttf u x u xf v x v x.四种特殊变限积分形式及其求导形式：()()dxaxt f tt ()dxaf xtt ()dxaf xtt 1()dxnnnatf xtt 4.定积分的计算定积分的计算（1）换元法 设函数()f x在区间,a b上连续，函数()xt满足条件：()a，()b；()t在区间,上具有连续导数，其值域(,),a b ，则有：()d()()dbaaf xxfttt.（2）分部积分法(),(),(),(),u x v xa bu x v x设在上具有连续导函数则()()d()()()()dbbbaaau x v xxu x v xv x u xx（3）利用函数的奇偶性和周期性 a.0()d()()daaaf xxf xfxx b.00 ,()()d2()d,()aaaf xf xxf xx f x奇函数偶函数 c.0()d()da TTaf xxf xx.【注】【注】关于对称性的推广.悄悄的努力！（4）利用公式求解定积分 wallis（华里士）公式：2200131,22 2sindcosd132 ,23nnnnnnnx xx xnnnnn为偶数为奇数 公式：200(sin)d2(sin)dfxxfxx 2000(sin)d(sin)d(sin)d2xfxxfxxfxx 【6】12lim1 cos1 cos1 cosnnnnnn 【7】设函数()f x在区间0,1上连续，则10()df xx （A）1211lim22nnkkfnn （B）121 1lim2nnkkfnn（C）211 1lim2nnkkfnn （D）202lim2nnkkfn n 【8】判断下列数列极限求和用夹逼准则还是定积分定义判断下列数列极限求和用夹逼准则还是定积分定义？（1）0111lim12nnnnn（2）2220123lim12nnnnn 悄悄的努力！【9】sin,0()2 ,2xxf xx ，0()()dxF xf tt，则（A）x 是()F x的跳跃间断点 （B）x 是()F x的可去间断点（C）()F x在x 处连续但不可导 （D）()F x在x 处可导 【10】利用奇偶性把下列积分化为最简形式并计算.（1）121(2sin)1dxxx（2）2441lncosd1xxxxx（3）21212(ee)d11xxxxxx 【11】计算积分2230(sin)(1 cos)(1 cos)dttttt.悄悄的努力！【12】计算积分01 sin2 dnx x 【13】计算积分20sind1 sinxxxx 【14】求解定积分244tand1exxx 悄悄的努力！题型题型 4-3：反常积分反常积分 1.无穷区间的反常积分无穷区间的反常积分 2.无界函数的反常积分无界函数的反常积分 3.反常积分相关反常积分相关题型题型（1）计算（2）反常积分敛散性的判定 法一法一：直接计算直接计算 法二法二：常见公式常见公式 1,1,d(0),1,papxapx收敛发散 1,1,d(0),1,lnpapxaxpx收敛发散 0e d!(0,1,2,)nxxxn n 20ed2xx d,1,(),1.bpaxpbapxa收敛发散 法三法三：比较比较判别法判别法 一般形式：一般形式：设xa且0()()f xg x，若()dag xx收敛，则()daf xx收敛；若()daf xx发散，则()dag xx发散.极限形式：极限形式：设()0g x 且()lim()xf xlg x，若0l，则()daf xx和()dag xx敛散性相同.悄悄的努力！【15】已知广义积分0sind2xxx，则20sindxxx_.【16】下列关于反常积分201d(1)(1)xxx的结论正确的是（）（A）对任意的实数，该反常积分都发散（B）对任意的实数，该反常积分都收敛（C）当且仅当0时，该反常积分收敛（D）当且仅当0时，该反常积分收敛