1988数学一真题答案解析（试卷一）【公众号“不易学长”持续更新中】.pdf

1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）数 学（试卷一）一一(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 5 分分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.解：解：因11(3)1(1)3limlim33,(3)3(1)33nnnnnnxnnxxxnn故131 063xx即时，幂级数收敛.3 分 当0 x 时，原级数成为交错级数11(1)nnn，是收敛的.4 分 当6x 时，原级数成为调和级数11nn，是发散的.5 分 所以，所求的收敛域为0,6.(2)已知 f(x)=e2x,f()x=1-x,且(x)0.求(x)并写出它的定义域.解：解：由2()1xex，得()ln(1)xx.3 分 由ln(1)0 x，得11x即0 x.5 分 所以()ln(1)xx，其定义域为(,0).(3)设 S 为曲面1222zyx的外侧，计算曲面积分sdxdyzdxdxydydzxI333.解：解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()Ixyz dv（其中是由S所围成的区域）2 分 21220003dsindrrdr 4 分 125.5 分 二、填空题：二、填空题：(本题满分本题满分 12 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)若 f(t)=xlimttxx2)11(，则()f t2(21)tte(2)设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间1,1上的定 f(x)=01,210,3xxx,则 f(x)的付立叶级数在 x=1 处收敛于23.(3)设 f(x)是连续函数，且103,)(xxdttf则 f(7)=112.(4)设 4*4 矩阵 A=),(4,3,2，B=),(4,3,2，其中，4,32,均为 4 维列向量，且已知行列式,1,4BA则行列式BA=.40.三、选择题三、选择题(本题满分本题满分 15 分，每小题分，每小题 3 分分)(1)若函数 y=f(x)有21)(0 xf，则当0 x时，该函 x=0 x处的微分 dy 是 (B)(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yf x是方程042 yyy的一个解，若()0f x，且0)(0 xf，则函数()f x在点0 x(A)(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某个邻域内单调增加(D)某个邻域内单调减少(3)设有空间区域22221:Rzyx,;0z及22222:Rzyx,0,0,0zyx则(C)(A)124xdvxdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)若nnnxa)1(1在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处(B)(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,(3)ssn 线性无关的充分必要条件是(D)(A)有一组不全为 0 的数12,sk kk使11220sskkk.(B)12,s 中任意两个向量都线性无关.(C)12,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四四(本题满分本题满分 6 分分)设)()(xyxgyxyfu，其中 f,g 具有二阶连续导数，求222uuxyxx y.解：解：.uxyyyfggxyxxx2 分22231.uxyyfgxyyxx 3 分 222.uxxyyfgx yyyxx 5 分 所以2220uuxyxx y.6 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数 y=y(x)满足微分方程,223xeyyy 且图形在点(0，1)处的切线与曲线12xxy在该点的切线重合，求函数).(xyy 解：解：对应齐次方程的通解为212xxYCeC e.2 分 设原方程的特解为*,xyAxe 3 分 得2A.4 分 故原方程通解为2212()2xxxy xCeC exe.5 分 又已知有公共切线得00|1,|1xxyy，7 分 即12121,21cccc解得121,0cc.8 分 所以2(1 2).xyx e 六、六、(本题满分本题满分 9 分分)设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为2rk(k0 为常数，r 为质点 A 与 M 之间的距离)，质点 M 沿曲线22xxy自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功.解：解：0,1MAxy 2 分22(1).rxy 因引力f 的方向与MA 一致，故3,1kfxyr.4 分 从而3(1)BOkWxdxy dyr 6 分 1(1)5k.9 分七、七、(本题满分本题满分 6 分分)已知PBAP,其中112012001,100000001PB求 A 及5A.解：解：先求出1100210411P.2 分 因PBAP，故1100100100210000210211001411APBP100100100200210200201411611.4 分 从而555111511AAAAAAPBPPBPPBPPB PPBPA 个个（）()()=.6 分八、八、(本题满分本题满分 8 分分)已知矩阵xA10100002与10000002yB相似，(1)求 x 与 y；(2)求一个满足BAPP1的可逆矩阵P.解：解：(1)因A与B相似，故|EAEB，即 1 分 200200010001001yx，亦即22(2)(1)(2)(1)xyy.比较两边的系数得0,1xy.此时200001010A，200010001B.3 分(2)从B可以看出A的特征值2,1,1.4 分 对2，可求得A的特征向量为1100p .对1，可求得A的特征向量为2011p .对1，可求得A的特征向量为3011p.7 分 因上述123,ppp是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关.令123100(,)011011p ppP，则P可逆，且有BAPP1.8 分 九、九、(本题满分本题满分 9 分分)设函数)(xf在区间ba,上连续，且在),(ba内有0)(xf.证明：在),(ba内存在唯一的，使曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积1s是曲线)(xfy 与两直线axy),(所围平面图形面积2s的 3 倍.证：存在性证：存在性 在,a b上任取一点t，令 bttadxtfxfdxxftftF)()(3)()()()()()3()()()tbatf t taf t dxf x dxf t b t3 分 则()F t在,a b上连续.又因0)(xf,故()f x在,a b上是单调增加的.于是在(,)a b内取定点c，有()3()()3()()3()()bcbaacF af xf a dxf xf a dxf xf a dx 113()()3()()()0,bcf xf a dxff abccb .()()()()()()()bcbaacF bf bf x dxf bf x dxf bf x dx()()caf bf x dx22()()()0,f bfcaac.5 分 所以由介值定理知，在(,)a b内存在,使0)(F，即.321SS 6 分 唯一性唯一性 因()()()3()0F tf ttabt，8 分 故)(tF在(,)a b内是单调增加的.因此，在(,)a b内只有一个,使.321SS 9 分 十、填空题十、填空题(共共 6 分，每个分，每个 2 分分)(1)设三次独立实验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率等于2719，则事件A在一次试验中出现的概率为13.(2)在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3)设随机变量X服从均值为 10，均方差为 0.02 的正态分布.已知)(x=dueux2221，9938.0)5.2(，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)设随机变量X的概率密度函数为)1(1)(2xxfx，求随机变量31XY的概率密度函数)(yfY.解：解：因Y的分布函数()()YFyP Yy1 分 33311(1)PXyPXyP Xy 2 分 333(1)(1)211arctanar(ctan(11)2yydxxyx.4 分 故Y的概率密度函数为)(yfY363(1)()1(1)YdyFydyy.6 分