25数学第六次习题练习【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

25 数学第六次带练题型 6-1：多元函数微分学的概念与性质1.二元函数的极限二元函数的极限设),(yxfz 在00(,)x y的某去心邻域有定义,若对任意0,存在0,使得当22000 xxyy时,有|(,)|f x yA,则 称A为 函 数(,)f x y当00(,)(),xyyx时的极限,记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00或00lim(,)xxyyf x yA.2.二元函数的连续性二元函数的连续性设二元函数(,)zf x y在00(,)x y的某邻域有定义,若0000lim(,)(,)xxyyf x yf xy,则称函数(,)f x y在点00(,)x y连续.3.二元函数的偏导数二元函数的偏导数一阶偏导：一阶偏导：设函数(,)zf x y在点),(00yx的某邻域内有定义，（1）如果00000,limxxf x yf xyxx,或xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点),(00yx处关于x的偏导数，记为00(,)xxfy（2）如果00000,limyyf xyf xyyy,或00000(,)(,)limyf x yyf x yy 存在，则称此极限为函数),(yxfz 在点),(00yx处关于y的偏导数，记为00(,)yxfy二阶偏导二阶偏导：一般情况,zf x y的偏导数,xfx y和,yfx y仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为,zf x y的二阶偏导数，记作2112,xxzfx yfx yx；212,xyzfx yfx yx y；221,yxzfx yfx yy x；2222,yyzfx yfx yy.4.全微分全微分（1）定义定义微分形式：微分形式：若函数,zf x y在点,x y处的全增量(,),zf xx yyf x y 可表示为()zA xB yo ，其中,A B不依赖于,xy，而仅与,x y有关，22()()xy，则称(,)zf x y在点(,)x y可微，而A xB y 称为,zf x y在点,x y处的全微分，记为dzA xB y 极限形式：极限形式：函数(,)zf x y在00(,)x y处可微的充要条件是，存在常数,A B使得00002200(,),lim0()()xyf xx yyfxyA xB yxy .其中00(,)xAfx y，00(,)yBfx y（2）计算计算若函数,zf x y可微，则全微分dddzzzxyxy.若函数,uf x y z可微，则全微分dddduuuuxyzxyz.5.可微的性质可微的性质（1）可微的充分条件可微的充分条件若函数(,)zf x y的一阶偏导(,)xfx y、(,)yfx y在00(,)x y处连续，则函数(,)zf x y在00(,)x y处可微（2）可微的必要条件可微的必要条件若函数(,)zf x y在00(,)x y处可微，则偏导00(,)xfx y、00(,)yfxy存在；若函数(,)zf x y在00(,)x y处可微，则函数(,)zf x y在00(,)x y处连续【1】已知二元函数22sin(),(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yf x yxyx y，则在(0,0)处，(,)f x y（A）极限存在但不连续；（B）连续但偏导数(0,0)xf 和(0,0)yf 不存在；（C）连续,偏导数(0,0)xf 和(0,0)yf 均存在但不可微；（D）连续,偏导数(0,0)xf 和(0,0)yf 均存在且可微.【2】二元函数(,)f x y在点(0,0)处可微的一个充分条件是（A）(,)(0,0)lim(,)(0,0)0 x yf x yf.（B）0(,0)(0,0)lim0 xf xfx且0(0,)(0,0)lim0yfyfy.（C）22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0 x yf x yfxy.（D）0lim(,0)(0,0)0 xxxfxf且0lim(0,)(0,0)0yyyfyf.【3】如果函数(,)f x y在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是（A）若极限00(,)lim|xyf x yxy存在，则(,)f x y在点(0,0)处可微.（B）若极限2200(,)limxyf x yxy存在，则(,)f x y在点(0,0)处可微.（C）若(,)f x y在点(0,0)处可微，则极限00(,)lim|xyf x yxy存在.（D）若(,)f x y在点(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyf x yxy存在.题型 6-2：偏导计算1.一般一般偏导数计算偏导数计算2.复合函数求偏导复合函数求偏导复合函数的链式求导法则为：如果,zf u vuu x yvv x y，则12(,)(,)zzuzvuvfu vfu vxuxvxxx；12(,)(,)zzuzvuvfu vfu vyuyvyyy.3.隐函数求偏导隐函数求偏导设函数(,)F x y z在点000(,)xyz的某一邻域内具有连续偏导数，且000(,)0F xyz，000(,)0zF xyz，则方程(,)0F x y z 在点000(,)xyz的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)zf x y，它满足条件000(,)zf xy，并有xzFzxF，yzFzyF 4.全微分计算全微分计算若函数,zf x y可微，则全微分dddzzzxyxy.若函数,uf x y z可微，则全微分dddduuuuxyzxyz.【4】设函数20,edxyxtf x yt，则21,1fx y【5】设22(,)(),eyz x yf xyg x yx,且,f g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,求2,zzxx y.【6】设函数(,)f u v可微,(,)zz x y由方程22(1)(,)xzyx f xz y确定,则(0,1)dz.题型 6-3：已知偏导反求原函数已知偏导数反求原函数已知偏导数反求原函数由于对自变量x求偏导时把自变量y当作了常数，因此在已知(,)xfx y反求(,)f x y时(,)(,)d()xf x yfx yxy.由于对自变量y求偏导时把自变量x当作了常数，因此在已知(,)yfx y反求(,)f x y时(,)(,)d()yf x yfx yyg x.【7】设函数(,)zz x y具有一阶连续偏导数,且d(,)e d(1)e dyyf x yyxxyy,(0,0)0f，则(,)_f x y.题型 6-4：多元函数的极值与最值1.二元函数极值（无条件极值）二元函数极值（无条件极值）（1）定义定义设),(yxfz 在00(,)xy点的某邻域内有定义，如果对在此邻域内任意异于00(,)xy的点(,)x y都有00(,)(,)f x yf x y，则称),(yxfz 在00(,)xy取得极大值，称00(,)x y为极大值点；若00(,)(,)f x yf x y，则称),(yxfz 在00(,)xy取得极小值，称00(,)x y为极小值点（2）必要条件必要条件设(,)f x y在点00(,)xy处具有偏导数，且在点00(,)x y处取得极值，则它在该点的偏导数必然为零，即000 xfxy,，000yfxy,.【注注】若0000(,)0(,)0 xyfxyfxy，则称点00(,)x y为(,)zf x y的驻点（3）充分条件充分条件设(,)f x y在点00(,)x y处具有二阶连续偏导数，若000 xfxy,，000yfxy,，令000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy,，算出2ACB.若0，则00(,)f x y 不是极值.若0，则不确定.若0，则00(,)f x y 是极值：当0A 时，则00(,)f x y 为极小值；当0A 时，则00(,)f x y 为极大值.2.多元函数条件极值（最值）多元函数条件极值（最值）求目标函数(,)uf x y z在约束条件(,)0 x y z下的极值（最值），采用拉格朗日乘数法：第一步：构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y zf x y zx y z；第二步：令所有偏导等于 0，/0000 xyzLLLL；第三步：解方程组得到的点为驻点（若唯一，则默认为最值点；若有多个，则比大小）推广：如果有两个条件(,)0 x y z，(,)0g x y z 则令(,)(,)(,)(,)L x y zf x y zx y zg x y z.3.闭区域最值闭区域最值求二元连续函数(,)zf x y在有界闭区域D上的最大最小值步骤：（1）求出(,)f x y在D内的全体驻点，并求出(,)f x y在各驻点处的函数值；（2）求出(,)f x y在D的边界上的最大值和最小值；（3）将(,)f x y在各驻点处的函数值与(,)f x y在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者为(,)f x y在D上的最大值，最小者为(,)f x y在D上的最小值【8】设()f x、()g x均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0fg且(0)(0)0fg则()()zf x g y在点(0,0)取得极小值的一个充分条件是（A）(0)0,(0)0fg.（B）(0)0,(0)0fg.（C）(0)0,(0)0fg.（D）(0)0,(0)0fg.【9】已知函数(,)f x y连续且满足2200(,)lim1xyf x yxy则（A）点(0,0)不是(,)f x y的极值点（B）点(0,0)是(,)f x y的极大值点（C）点(0,0)是(,)f x y的极小值点（D）无法判断【10】已知函数(,)zz x y由方程22()ln2(1)0 xyzzxy确定，求(,)zz x y的极值.【11】求函数2222(,)2f x yxyx y，在区域22(,)4,0Dx y xyy上的最大值和最小值.